De la méthode de Galerkin aux éléments finis

Partant de cette méthode de Galerkin, nous allons dans un premier temps lever une des difficultés qui porte sur l’ordre élevé de l’approximation, en travaillant sur des sous-domaines sur lesquels l’approximation peut être plus basique. Conservons pour cela le découpage utilisé pour la collocation par sous-domaine, et tel que la barre soit l’union de n segments de longueur l_x = _n^l délimités par n + 1 points. Afin de travailler sur ces sous-domaines, l’espace des fonctions test est composé de fonctions continues qui varient linéairement sur chaque segment l_i = [xi−1, x_i], comme présenté sur la Figure 6.7 et définies telles que :

On notera quen+ 1fonctions sont générées ainsi, en prolongeant aux extrémités les fonctions telles queN₁(−l) =N_n+1(0) = 1, soitx₀ =−(l+l_x) et x_n+2 =l_x.

Figure 6.7: Fonctions linéaires par morceaux.

L’espace des fonctions test choisi doit assurer que les fonctions sont C.A.(0)(v(0) = N_n+1(0) = 0 ici), prenons les n^iemes première fonctions N_i(x) (i= 1, . . . , n) :

v(x) =

n

X

i=1

βi Ni(x) (6.42)

L’approximation d’ordre n ainsi obtenue est formée de la combinaison linéaire de valeurs v₁, v₂, . . . , v_nprises par les fonctions aux pointsx₁, x₂, . . . , x_n. Entre ces points, la fonction est interpolée linéairement par construction des fonctionN_i(x). La quantité à annuler représentant l’équilibre s’écrit alors :

n

X

i=1

β_i Z 0

−l

−ESd˜u(x) dx

dN_i(x)

dx +ρgS N_i(x)

dx

−R^dN₁(−l) = 0, i= 1, . . . , n (6.43) l’information sur l’effort terminal apparaissant naturellement enx=−l, c’est-à-dire en produit avec la fonction N₁(x) définie telle que N₁(−l) = 1. Comme précédemment, on introduit dans cette quantité nulle pour tout β_i l’approximation du champ solution qui est de la forme

’champ C.A.’ + ’approximation issue de Vⁿ’, où le champ C.A. est représenté par le terme u^? =Nn+1(x)u^d avec Nn+1(x) définie telle que Nn+1(0) = 1 :

˜

u(x) =N_n+1(x)u_d+

n

X

j=1

u_j N_j(x) (6.44)

où les paramètres scalairesu_i sont les inconnues à déterminer. En introduisant cette approxi-mation dans l’expression6.43 on aboutit finalement à un système linéaire carré symétrique de dimension n×n de la forme du système 6.38 :

n

X

j=1

Z 0

−l

ESdN_j(x) dx

dN_i(x) dx dx

u_j =

Z 0

−l

ρgS N_i(x)dx−R^dN₁(−l), i= 1, . . . , n (6.45)

ou encore, sous une forme proche de celle des approximations précédentes :

n

X

j=1

K_ij Q_j =F_i, i= 1, . . . , n (6.46) avec les composantes des matrices du système discret :



















K_ij = Z 0

−l

ESdN_j(x) dx

dN_i(x) dx dx F_i =

Z 0

−l

ρgS N_i(x)dx−R^dN₁(−l) Q_i =u_i ,les déplacements aux abscisses x_i

(6.47)

Si on construit ce système, les calculs des composantes K_ij et F_i se font en prenant en compte le domaine de définition des fonctions de l’espace test Vⁿ. Ces fonctions sont en effet définies telles queN_i(x)6= 0 pour x∈[xi−1, x_i+1]. Les intégrales sont donc définies sur ce même intervalle de longueur2l_x et non plus sur toute la poutre. On se ramène bien à une résolution locale. Par exemple :

K_ij = Z 0

−l

ESdN_j(x) dx

dN_i(x) dx dx

= ES

Z min(xj+1,xi+1) max(xj−1,xi−1)

dN_j(x) dx

dN_i(x) dx dx

(6.48)

car les fonctions sont définies par morceaux, comme illustré sur la Figure6.8 ci-dessous.

Figure 6.8:Distribution des fonctions d’approximation pour notre problème de poutre.

En utilisant la définition des fonctions d’approximation (Eq.6.41), on calcule les termes de la matrice de rigidité. Par exemple, pour les premières fonction de formeN₁(x)/x∈[x₁, x₂]

et N₂(x)/x∈[x₁, x₃] :

et ceux du vecteur des efforts extérieurs : F₁ =

On voit que les seuls termes non nuls de la matrice de rigidité, ceux pour lesquels une partie de l’intervalle de définition des fonctionsN_i(x)etN_j(x)est commun, sont les termes de type|i−j| ≤1. Une explication ’mécanique’ peut être donnée à ceci, il s’agit de l’assemblage des rigidités définies sur chaque intervalle, ce que nous verrons dans la suite. Finalement, le système à résoudre est un système tri-diagonale de la forme :



Figure 6.9: Solution analytique et par éléments finis pour le cas d’une poutre droite corres-pondant à la Figure 6.2.

Comme précédemment on vérifie sur la Figure 6.9 que plus la dimension de l’espace d’approximation est grande, plus on approche la solution exacte. Cette approximation corres-pond à une approximation de type éléments finis qui présente les mêmes avantages qu’une approche de type Galerkin,i.e.conduit à un système carré symétrique défini positif. Par contre

une telle approche présente un double avantage par rapport aux autres approximations : le découpage, ou maillage, du domaine étudié permet de diminuer le degré des fonctions d’ap-proximation par rapport aux apd’ap-proximations polynômiales recherchées sur le domaine d’étude, et les coefficients solution ont une signification physique directement interprétable par l’in-génieur, il s’agit des valeurs prises par l’approximation du champ solution aux noeuds du maillage puisqu’en ces points les fonctions d’approximation sont unitaires. Enfin, le recours aux intégrations numériques permet de rendre systématique l’utilisation de cette technique, ces intégrations numériques sont très souvent du type intégration de Gauss.

Il reste, afin de rendre l’utilisation de ce type d’approximations plus ’intuitif’, à donner un sens physique aux grandeurs intervenant dans l’équilibre écrit sur le domaine, et considérés sur chaque sous-domaine. De plus, les conditions aux limites de Dirichlet, qui peuvent s’avérer problématique à prendre en compte dans les cas complexes, doivent être traitées de façon plus systématique. Une vision de ce type est proposée ci-dessous.

Les éléments finis en mécanique des structures

La méthode des éléments finis, pour être utilisable ’en routine’ doit être systématique dans son écriture, son implémentation, et son utilisation. Illustrons cela sur la formulation d’un élément fini de barre en tension correspondant au problème de notre barre soumise à son propre poids.

Soit un élément de barre défini par ses abscissesx₁ etx₂ et les déplacementsu₁ et u₂ correspondants mesurés en ces points. On choisit, indépendamment des conditions aux limites de Dirichlet, une interpolation linéaire pour le déplacement, i.e. le déplacement à l’intérieur de l’élément (x ∈ [x1, x2]) est une combinaison linéaire des déplacements nodaux u₁ et u₂ :

u^e(x) = u₁ N₁(x) +u₂ N₂(x)

= < N1(x), N2(x)>· ( u1

u₂ )

= < N(x)>· {u}

(6.52)

Ce type d’approximation basé sur la valeur du déplacement nodal nous assure également que le déplacement est continu entre 2 éléments contigüs.

Pour des raisons de commodité de stockage, et également pour assurer une bonne précision des intégrations numériques des quantités élémentaires, il est classique de recourir à un élément de référence. Cet élément fictif possède une géométrie fixe permettant de ne pas faire apparaître explicitement les bornes d’intégration de l’élément réel dans les calculs et également de s’assurer que la géométrie sur laquelle ces calculs sont réalisés ne se déforme pas, ce qui assure une qualité optimale des intégrations numériques. Considérons cet élément de référence défini pour la variableξ ∈ [−1,1]tel que présenté sur la Figure6.10ci-dessous.

Figure 6.10:Définition de l’élément réel et de l’élément de référence.

Dans ce cas, le passage entre l’élément réel et l’élément de référence se fait en écrivant la position sur l’élément réel comme la combinaison linéaire des positions connues aux extrémités de l’élément, soit :

x^e(ξ) = x1 N1(ξ) +x2 N2(ξ) (6.53) ce qui équivaut à une interpolation géométrique linéaire, tout comme l’interpolation en dépla-cements. L’élément fini que nous formulons ici est dit isoparamétrique. Les expressions de ces fonctions d’interpolation s’établissent aisément en écrivant que d’après6.52, on a :

u^e(x₁) =u₁ N₁(−1) +u₂ N₂(−1) =u₁

u^e(x₂) =u₁ N₁(1) +u₂ N₂(1) =u₂ (6.54) soit des fonctions d’interpolation :











N₁(ξ) =−ξ−1 2 N₂(ξ) = ξ+ 1

2

(6.55)

Revenons maintenant au problème de notre barre telle que présentée sur la Figure 6.2 page 148. Lorsque nous formulons l’élément fini, nous cherchons à résoudre le problème de l’équilibre de cette barre dans son ensemble, écrit dans les Eqs. 6.24, et plus précisément l’expression :

Z 0

−l

−ESd˜u(x) dx

dv(x)

dx +ρgS v(x)

dx= 0, ∀v C.A.(0)+ cond. limites

Introduisons, comme dans la méthode de Galerkin, l’approximation du champ testv dans cette expression. Cette approximation est de la forme proposée dans l’Eq.6.52, où les déplacements nodauxu₁ etu₂ se réfèrent aux déplacements mesurés aux extrémités de chacun des éléments de longueur l^e. Comme la barre est maintenant maillée par des éléments de longueur l^e,

l’intégrale sur la barre devient égale à la somme des intégrales des grandeurs définies pour chaque élémente :

Z

Les conditions aux limites de Dirichlet et de Neumann seront introduites ultérieurement dans le système. Pour simplifier les écritures, supposons que les grandeurs physiques ne varient pas sur la longueur de l’élément. En introduisant enfin l’approximation deu(x) par la même interpolation linéaire, nous aboutissons au système caractérisant l’équilibre d’un élément :

−E^eS^e

C.A.(0)+ cond. limites + cond. raccord

(6.57) Considérant que notre poutre est maillée avec des éléments numérotés de1à n et que les n+ 1 degrés de liberté correspondants sont numérotés de façon à ce que l’élément i ait pour extrémitésx_i et x_i+1, l’équilibre discrétisé de notre poutre s’écrit :

−E¹S¹ On voit bien, dans cette formulation que les noeuds ’intermédiaires’ vont contribuer 2 fois à la rigidité et aux efforts appliqués sur l’ensemble. Ceci rejoint la remarque sur les intégrations

des éléments de la matrice de rigidité dans la méthode de Galerkin (Eqs. 6.49 page 163) ci-dessus, où cette contribution apparaissait naturellement au travers du domaine de définition des fonctions d’approximation. Ici, les éléments finis sont intuitivement assemblés par rap-port aux degrés de liberté communs. Le système qui en découle est très simple, tridiagonal symétrique carré et défini positif, identique aux conditions aux limites prés au système issu de l’approximation de Galerkin (Eqs. 6.51 page 164) puisque les interpolations sont linéaires également.

Notons que l’assemblage des grandeurs élémentaires, en 2D et 3D ou plus généralement dés que les connectivités deviennent multiples, ne conduit pas à ce type de système car les noeuds peuvent être communs à plusieurs éléments. Il s’agit alors de stocker les grandeurs globales du système de façon à minimiser la largeur de bande, caractéristique du nombre d’inversions à effectuer pour calculer la solution.

Comme nous utilisons un élément de référence pour généraliser les calculs, définissons les grandeurs élémentaires calculées sur un élément de longueur l^e. On remarquera que dans nos calculs d’intégrales sur l’élément de référence, il faut prendre en compte le rapport de longueur entre l’élément réel et l’élément de référence, car d’après les fonctions de forme de l’interpolation géométrique (Eq.6.55) choisie :

dx^e

et de même, les différentielles devront être exprimées dans cet élément, par exemple d·

Les quantités élémentaires s’écrivent donc : Déplacements nodaux q_i^e = ui

Figure 6.11: Barre en tension modélisée avec 2 éléments finis.

Posons le système à résoudre pour une discrétisation en 2 éléments de notre barre en tension soumise à son propre poids, tel que sur la Figure6.11-a. Les conditions aux limites du problème avec changement d’origine sontN(−l) = R^d etu(0) =u^d. La condition aux limites de Neumann est introduite directement dans le système puisque la contribution de cet effort ponctuel agit comme un force extérieure produisant un travail dans le déplacementu₁. Comme dans le cas de la méthode de Galerkin, cette condition de Neumann est prise en compte très facilement. La condition de Dirichlet est quant à elle prise en compte par élimination, avec une méthode vue ci-après. Le système avec effort terminal s’écrit donc :

E^eS^e

La longueur l^e des éléments étant égale à la demi-longueur de la poutre réelle, et les propriétés matériaux et géométriques étant les mêmes pour ces éléments, notre système devient : ce qui correspond bien au système (6.51) obtenu précédemment, en définissant des fonctions de forme locales sur chaque sous-domaine. Mais ici la présentation de la méthode permet une approche plus physique, puisque les grandeurs globales que sont la rigidité et le chargement extérieur peuvent être vues simplement comme la somme des contributions de chaque élément à l’ensemble.

Il reste enfin à prendre en compte la condition aux limites de Dirichlet qui ici n’est pas incluse dans l’espace des solutions. Pour simplifier les choses, revenons au problème initial de la Figure 6.11-b tel que u(0) = 0 et u(l) = u^d. Soit, en termes de degrés de liberté (ddl) : u₁ = 0 et u₃ = u^d. La condition homogène peut être traitée en réduisant le système, i.e. en éliminant les contributions relatives à ce degrés de liberté. On obtient bien une solution à ce problème qui n’est plus singulier puisqu’un mouvement de corps rigide est bloqué, ce qui assure de pouvoir solliciter la structure. Mais dans les codes de calcul industriels, l’assemblage des

grandeurs élémentaires est une opération coûteuse, et redimensionner le système obtenu est très rarement employé. On préférera garder la taille du système en annulant les contributions correspondants auddl et le terme diagonal à l’unité :



Dans le cas de conditions non-homogènes, on peut procéder de plusieurs façons, et notam-ment par élimination. Il s’agit de la solution la plus directe que nous utiliserons ici pour des raisons de clarté, mais qui dans les codes industriels n’est jamais employée pour les raisons de redimensionnement évoquées précédemment. On préférera plutôt procéder par pénalisation (ou méthode du terme diagonal dominant) ou en introduisant des inconnues supplémentaires appeléesMultiplicateurs de Lagrange, le principe étant d’introduire des grandeurs équivalentes aux efforts de réaction produits par ces ddls imposés.

De façon générale, si n_D conditions de Dirichlet sont imposées, le système à résoudre possède (en 3D), 3n−n_D ddl car le champ test est C.A.(0) (équilibre ∀−→v C.A.(0)),i.e. les déplacements imposés sont annulés. Ceci conduit à annuler le travail virtuel des efforts de réaction. Considérons plutôt le cas où ce champ test est simplement C.A. L’équilibre s’écrit alors :

où les termes de rigidité relatifs auxddls libres notés{u_l}sont regroupés dans une sous-matrice [K_ll] et un vecteur des efforts extérieurs connus {F_l}. De la même façon, les termes relatifs aux n_D ddls imposés notés {u_b} sont regroupés dans la sous-matrice[K_bb] et un vecteur des efforts extérieurs connus{F_b}complété par les efforts de réaction{R_b}. La sous-matrice[K_bl] relie les contributions ’croisées’ desddls imposés et inconnus.

La solution recherchée {u_l}est donc solution de : [K_ll]{u_l}={F_l} −[K_bl]^T {u_b} sur la Figure6.9 page 164.

Pour information, l’utilisation d’une pénalité pour assureru₃ =u^dreviendrait à imposer une réaction R₃ = α u^d−u₃

avec α un scalaire à choisir grand (de l’ordre de 10⁵⁻⁸, ou plus généralement max(K_ij)). Le travail des efforts de réaction étant nul, la condition

sera d’autant mieux vérifiée queα sera grand. Par contre le système pourrait être moins bien conditionné car en introduisant ces efforts de réaction, le système à résoudre est :







[K_ll] [K_bl]^T [K_bl] [K_bb] +α[I]







( {ul} {u_b}

)

=

( {Fl} {F_b}+α

u^d )

(6.67)

On remarquera par ailleurs que les réactions introduites n’apparaissent plus dans ce système final oùα peut être assimilé à une rigidité.

Dans le document Théorie des poutres (Page 172-183)