Le dimensionnement des poutres passe généralement par la résolution des équations d’équilibre intérieur (Eq.1.28). Pour intégrer ces équations différentielles en efforts, on dispose des conditions aux limites cinématiques (Eq.1.27), utilisables via la loi de comportement (Eq.
1.30), ainsi que des conditions d’équilibre au bord (Eq. 1.29). Les équations des discontinuités sont également nécessaires si des efforts sont appliqués ailleurs qu’aux extrémités de la poutre (Eq.1.29). Enfin, lorsque les déplacements sont connus les déformations peuvent être calculées (Eq. 1.31) et les contraintes évaluées en tout point à partir des efforts internes (Eq. 1.32).
Bilan de la théorie des poutres
1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A.
{U }(l
i)= Ud (l
i) ,∀ li ∈ {l1, l2} (1.27) 2. Équilibre intérieur
d dx1
{τ}+{Fv}={0} ⇔ ( −→
R0(x1) +−→p(x1) =−→
−→ 0
M0(x1) +−→x1∧−→
R(x1) +−→c(x1) =−→
0 ,∀x1 ∈[0, L]
(1.28) 3. Équilibre au bord et discontinuités
{τ}(l
i) = Fd (l
i) ,∀ li ∈ {l1, l2} [| {τ} |](x
i) =
τ(x+i ) −
τ(x−i ) =− {Fi}(x
i) ,∀ xi ∈[0, L]
(1.29)
4. Loi de comportement ( −→
R(x1)
−→ M(x1)
)
=
"
[A] [B] [B] [D]
#
·
( −→e(x1)
−
→κ(x1) )
⇔ {τ(x1)}= [L]{(x1)} (1.30) 5. Relations utiles :
— Relations déplacements/déformations ( −→r0(x1) = −→κ(x1)
−
→u0(x1) +−→x1∧ −→r(x1) =−→e(x1) (1.31)
— Expressions des contraintes en fonction des efforts internes tension :σ11m(x1) = N(x1)
S(x1) flexion : σf11(x1, M) = Mf2(x1)
I2(x1) x3− Mf3(x1) I3(x1) x2 cisaillement : σ1αm(x1) = Tα(x1)
S(x1) (α= 2,3) torsion : τ(x1, r) =f(σt1α(r, x1))(R
c) = Mt(x1) I0(x1)r
(1.32)
Théorie des poutres droites
Sommaire
2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan . . . 34 2.1.1 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées
dans ce plan. . . 35 2.1.2 Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques . . . 35 2.1.3 Prise en compte du cisaillement transverse . . . 36 2.1.4 Formulation des problèmes de flexion-tension . . . 37 2.2 Applications. . . 39 2.2.1 Tension . . . 39 2.2.2 Flexion simple . . . 41 2.2.3 Flexion déviée . . . 50 2.2.4 Sollicitation composée . . . 57 2.2.5 Torsion . . . 57 2.3 Bilan . . . 61
33
Généralement, les poutres présentent des sections et des courbes moyennes dont les particularités peuvent être utilisées pour réduire la complexité des problèmes traités. Dans la plupart des cas en effet, les sections présentent des symétries, c’est la cas en particulier des poutres à plans moyens. De plus, les poutres droites sont les plus largement utilisées.
2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan
Dans le cas des poutres courbes, la rotation du repère de la section par rapport au repère de référence doit être pris en compte, par exemple en utilisant un repère de Frénet. Les poutres droites ont la particularité de posséder une ligne moyenne rectiligne. Dans ce cas les axes du repère de référence et du repère attaché aux sections sont confondus, et le restent dans le cadre HPP. On notera dorénavant ce repèreR(O,−→x ,−→y ,−→z).
Comme il a été défini au début de ce document, les poutres à plans moyens sont des poutres dont la section présente un plan de symétrie (Figure 2.1). Généralement ces poutres sont chargées dans le plan de symétrie de la section, on parle alors de poutres à plan moyen chargées dans leur plan. Des sections à plan moyen plus particulières peuvent être utilisées, il s’agit des profils creux ou de profils ouverts (Figure 2.1). Dans le cas des profils ne possédant pas de plan de symétrie par rapport à −→y, le centre de gravité n’est plus confondu avec le centre géométrique, il y a donc apparition de flexion déviée. De plus dans le cas des profils ouverts, des théories spécifiques doivent être utilisées, notamment pour prendre en compte le cisaillement qui peut se développer dans les parois minces des sections. Dans cette introduction à la RdM, nous nous limiterons aux sections fermées présentant 2 plans de symétrie (xGy et xGz), telles que les 3 premières sections de la Figure 2.1.
Figure 2.1: Exemples de sections à plans moyens et section ouverte.
Ces hypothèses de symétrie conduisent à des problèmes beaucoup plus simples que les cas généraux présentés jusqu’alors. En effet dans ce cas, les moments produits des sections sont nuls, il n’y a donc pas de couplage entre les 2 déformations de flexion (voir Eq. 1.15).
On supposera de plus que le chargement s’applique dans le plan de symétrie de la section, ce qui évite notamment la prise en compte de la flexion déviée.
2.1.1 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan
Lorsqu’une poutre à plan moyen est chargée dans son plan, les efforts internes en tout point d’abscissex(qui joue ici le rôle de l’abscisse curvilignel) sont contenus dans le plan du chargement et sont :
— une réaction −→
R dans le plan xOy, donc avec deux composantes,
— un moment −→
M dirigé selon Oz, donc avec une composante.
Les deux composantes de−→
R sont alors notéesN (effort normal) etT2 =T (effort tranchant), tandis que la composante non nulle de−→
M est notée M3 =M (moment de flexion).
De même, les déplacements de tout point de la poutre (y compris des points situés hors de la ligne moyenne) sont représentés par :
— un vecteur déplacement de la fibre moyenne−→u dans le plan xOy,
— un vecteur rotation−→r de la section selon Oz.
Les deux composantes non nulles de −→u sont notées ux =u (déplacement normal) et uy =v (flèche), tandis que la composante non nulle de −→r est notée rz =φ (rotation). Nous voyons dans ce cas que nous travaillons sur trois degrés de liberté (au lieu de six). Les équations d’équilibre (Eqs. 4.14) deviennent dans ce cas fonctions des efforts N, T, et M, eux-même fonctions de l’abscissex sur la poutre. Elles s’écrivent :
N0(x) +px(x) = 0 T0(x) +py(x) = 0
M0(x) +T(x) +cz(x) = 0
On remarque dans ces équations que les charges et couples répartis sur la fibre moyenne de la poutre (issus des forces volumiques) se réduisent à :
— une force par unité de longueur−→p avec seulement deux composantes non nullespx et py,
— un couple par unité de longueur−→c porté par l’axe z.
Le problème à traiter dans le cas des poutres droites à plan moyen chargées dans ce plan est totalement plan, et grandement simplifié par rapport au cas des poutres courbes dans l’espace. On note que la torsion n’apparaît pas ici, c’est en effet un mécanisme qui fait intervenir une rotation hors du plan de symétrie des sections (κ1(x1) = r01(x1)). Cette sollicitation sera traitée séparément.
2.1.2 Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques
Dans ce cas plan de la théorie des poutres, on peut donner aisément une interprétation physique simple des quantités telles que la rotation des sections. Les hypothèses de poutre ont conduit à poser une cinématique dans laquelle le déplacement de tout point M de la section
s’exprime en fonction des déplacements plans du centre de gravité (u(x)etv(x)) de la section et d’une rotation (φ(x)) de cette section (Figure 2.2).
Figure 2.2: Cinématique de poutre, sans cisaillement (Bernoulli) et avec cisaillement (Timo-shenko).
2.1.3 Prise en compte du cisaillement transverse
Dans la cinématique sans cisaillement ou de Bernoulli, les sections sont supposées rester normales à la ligne moyenne (φ(x) = dv(x)dx ). Dans ce cas, la connaissance du déplacement de la ligne moyenne suffit, par des considérations géométriques simples, à définir complètement les déformations de membrane et de courbure. Dans la cinématique avec cisaillement ou de Timoshenko, la rotation totale de la section (φ(x)) est indépendante de la rotation de la section due à la flexion (dv(x)dx ) . Cet effet peut-être schématisé simplement en flexion pure : la flèche totale est la somme de la flèche de la poutre possédant uniquement une rigidité de flexion et de la flèche de la même poutre possédant cette fois-ci une rigidité de cisaillement uniquement (Figure 2.2). Dans cette théorie, le cisaillement (γ(x)) est donc la différence de la rotation totale (φ(x)) et de la rotation due à la flexion (dv(x)dx ). Ou vu autrement, pour une flèche donnée, le cisaillement provoque une rotation totale moindre par rapport à la flexion seule. Ce point sera abordé plus en détails dans les applications ci-dessous. Finalement, les théories avec et sans cisaillement reposent sur les cinématiques suivantes :
Bernoulli - sans cisaillement Timoshenko - avec cisaillement
uM(x, y) = u(x)−ydv(x) dx vM(x, y) =v(x)
uM(x, y) = u(x)−yφ(x) vM(x, y) =v(x)
γ(x) = dv(x)dx −φ(x)
(2.1)
Pour la théorie avec cisaillement, l’introduction du cisaillement nécessite de corriger la contribution de cette rigidité. En effet, compte-tenu de l’hypothèse de répartition constante du cisaillement dans l’épaisseur de la poutre (γ fonction dexseul), la répartition réelle qui est pa-rabolique (maximum au centre et condition de contraintes nulles sur les bords) est légèrement surestimée. On introduit un coefficient de correction, souvent noté k, qui permet d’ajuster cette approximation. Ce coefficient est calculé à partir de considérations énergétiques, il est égal à 56 pour une section prismatique (voir §5.3.3). La loi de comportement en cisaillement s’écrit donc :T(x) =kGSγ(x)
2.1.4 Formulation des problèmes de flexion-tension
Au final, les problèmes de flexion-tension pour les poutres droites tels que représenté sur la Figure 2.3, sont complètement formulés grâce aux équations suivantes données pour la théorie avec cisaillement.
Figure 2.3:Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan : conditions aux limites en x1 et x2 et chargements répartis et concentrés en xi.
Bilan de la théorie des poutres droites chargées dans leur plan moyen
1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A.
u(xi) =ud, v(xi) = vd, φ(xi) = φd 2. Équilibre intérieur
N0(x) +px(x) = 0 T0(x) +py(x) = 0
M0(x) +T(x) +cz(x) = 0 3. Équilibre au bord et discontinuités
N(xj) =Nd(xj) N(x+i )−N(x−i ) =−Nd(xi) T(xj) = Td(xj) T(x+i )−T(x−i ) = −Td(xi) M(xj) = Md(xj) M(x+i )−M(x−i ) =−Md(xi) 4. Loi de comportement
N(x) = ESdu(x) dx T(x) =kGSγ(x) M(x) = EIdφ(x)
dx 5. Relations utiles :
— Relations déplacements/déformations
(x) =u0(x)−yφ0(x) γ(x) =v0(x)−φ(x)
— Expressions des contraintes en fonction des efforts internes tension :σxxm(x) = N(x)
S(x) flexion :σxxf (x, y) = −M(x)
I(x) y cisaillement :σxy(x) = T(x)
S(x)
En pratique, la contribution du cisaillement dans la rigidité de la poutre est souvent né-gligée. En effet, ce terme est très souvent d’un ordre de grandeur inférieur au terme de rotation φ(x)lors du calcul de la flèchev(x). Ceci est illustré dans les second et troisième exemples de
flexion traités ci-dessous (exercice Flexion 2 et Flexion 3 ). On remarque finalement que, en négligeant la contribution du cisaillement, et en dérivant la dernière équation d’équilibre, on obtient une équation différentielle en v(x) et M(x). Cette équation est souvent utilisée pour obtenir rapidement la flèche de la poutre en fonction du momentM(x) calculé par transport des actions extérieures en un pointxquelconque de l’abscisse. La méthode est appelée double intégration de la ligne élastique :
EIv(x)00 =M(x)