6.3 Applications à la mécanique des structures : Barre soumise à son poids propre 147
6.3.3 Méthodes de collocation
Les méthodes de collocation permettent de résoudre le problème initial, tel que posé en 6.3 page 142, mais reformulé à l’aide des résidus pondérés (Eq. 6.4 page 142). Si nous appliquons la même approche à notre cas particulier de barre, nous arrivons à la formulation équivalente, utilisant un espace de fonctions test à définir et qui s’écrit :
Trouver une fonction u∈ U(C.A.)/∀v ∈V Z l avec les conditions aux limites
u(0) = 0 et u(l) = ud
(6.18)
Il reste maintenant, dans cette formulation intégrale, à préciser l’espaceV dans lequel les fonctions test vont être choisies, ce qui conduira à une résolution par collocation par point et collocation par sous-domaine, comme indiqué de façon générale précédemment.
Collocation par points
Pour résoudre, comme par différences finies nous allons réaliser un découpage de la géométrie, et ramener la résolution en des points particuliers. Conservons le découpage tel que la solution soit recherchée en n + 1 points également répartis le long de l’axe de la poutre (entre x= 0 et x =l), d’abscisse xi =i∆x (avec ∆x= nl et i= 0, . . . , n) connue à partir de l’indice i. Choisissons comme espace V des fonctions test, l’ensemble des distributions de Dirac associé à ces points : V = {δ−→xi, i = 0..n}. La résolution consiste donc à trouver une approximation de la fonctionu(x) différentiable 2 fois, satisfaisant les conditions aux limites, et annulant le résidu en chacun des pointsxi :R(−→u)|−→x=−→xi = 0, ∀i= 0..n. Puisqu’on travaille sur une approximation deu(x)et non pas sur des valeursui comme dans le cas des différences finies par exemple, on obtient alors n + 3 équations correspondant à l’équilibre écrit en les n+ 1 points, complété par les conditions aux limites ; soit pour des propriétés constantes de la barre :
Si les grandeurs physiques dépendent de la position le long de la barre, elles seront donc évaluées en les abscissesxi, les points de collocation.
Choisissons maintenant pour l’espace des solutions U l’espace des polynômes du type u(x) = a0 +a1x+. . .+apxp. Compte-tenu des contraintes de dérivabilité fortes sur cette
solution, on doit au minimum avoir des polynômes d’ordre 2. Les 3 coefficients de ces poly-nômes seront donc déterminés par les n+ 3 relations, donc n = 0, ce qui correspond à une collocation en un seul point. Il s’agit du minimum pour que l’approximation ait un sens. Dans ce cas, le système à résoudre s’écrit :
De façon générale, l’espace U doit correspondre aux polynômes d’ordre n+ 2 (avec n ≥ 0 le nombre d’intervalles). Avec une approximation du type u(x) = a0+a1x+a2x2+ . . .+an+2xn+2 le système à résoudre dépend bien des valeurs prises par les grandeurs mises en jeu dans l’équation à résoudre, et notamment la dérivée seconde du déplacement évaluée aux xi, il s’écrit :
Comme on peut le constater, le système est relativement mal conditionné (pas de propriété remarquable de[K]comme pour les différences finies par exemple). De plus, lorsque la géométrie devient complexe, la taille du système augmente considérablement, ainsi que l’ordre des polynômes. On peut alors, par connaissance du problème, travailler sur une distribution non-régulière de points dans les zones de fort gradient par exemple. C’est d’ailleurs le choix de la position et du nombre de ces points où sont évaluées les quantités qui peut être problématique.
On notera enfin que dans ce type de méthode le choix de l’approximation doit être consistante avec le choix du nombre de points, i.e. il doit conduire à un système inversible, comportant donc un nombre de relations égal au nombre de coefficients à identifier. Ici, le choix des polynômes d’ordren+ 2permet d’aboutir à un système den+ 3équations àn+ 3inconnues.
Collocation par sous-domaines
Le découpage du domaine sur lequel le problème doit être résolu conduit ici à définir des volumes de contrôle, ou des longueurs dans notre cas 1D. Comme précédemment, cesn segments de longueur∆x= nl sont délimités par lesn+ 1 points d’abscissexi−1 = (i−1)∆x
et xi = i∆x pour i = 1, . . . , n. Le déplacement ui supposé constant sur chaque longueur de contrôle li = [xi−1, xi] sera supposé positionné en son centre. Comme indiqué en début de ce chapitre, choisissons comme espace V des fonctions test V ={δΩi, i= 1..n}, soit des fonctions tests constantes sur chaque domaine et non nulles uniquement sur ce sous-domaine. Finalement, la résolution consiste à trouver la distribution des ui(x), satisfaisant les conditions aux limites, et annulant le résidu sur chaque sous-domaine li : R(−→u)|Ω=Ωi = 0, ∀i= 1..n.
Les dérivées peuvent, par exemple, être calculées par différences finies. On rappelle que les fonctions de pondération sont choisies constantes sur chaque longueur de contrôle.
On obtient alors n équations linéaires qui expriment le résidu sur chaque sous-domaine. Si les grandeurs physiques (propriétés, chargement extérieur, . . .) dépendent de la position sur chaque longueur de contrôle, il faut évidemment calculer les intégrales correspondantes. Dans notre cas, le problème à résoudre formulé en 6.18 devient :
Z l
qu’on exprime sous la forme d’un système linéaire intégrant les conditions aux limites associées :
Dans notre cas, les grandeurs sont constantes, et leur intégration conduit à un se-cond membre constant. Les résultats sont présentés sur la Figure 6.5. On vérifie que plus le nombre de domaines augmente plus l’approximation tend vers la solution exacte. Si les ré-sultats semblent moins précis, à taille de système équivalente, que la collocation par points par exemple, ce type d’approximation est pourtant fréquemment utilisée, ceci pour 2 raisons essentielles. Tout d’abord, dans des cas complexes la collocation par sous-domaines est plus simple d’utilisation car plus systématique puisque les contraintes de dérivabilité n’apparaissent pas ici, il n’y pas pas non plus de polynôme à choisir en fonction du problème à résoudre. En
second lieu, la collocation par sous-domaines conjugue une formulation simple de type diffé-rences finies avec la notion de bilan par volume élémentaire très répandu dans des domaines telles que la chimie ou la thermique où les inconnues scalaires sont facilement manipulées connaissant les flux.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
x (m)
Déplacement (m)
Solution analytique n=20
n=50 n=100
Figure 6.5:Solution analytique et par collocation par sous-domaines pour le cas d’une poutre droite correspondant à la Figure6.2.