Poutre homogène

Résolution du problème linéarisé

Pour connaître le comportement post-flambé d’une poutre homogène, c’est-à-dire ca-ractérisée par une longueur L et une rigidité en flexion EI, la modélisation la plus simple est celle de la poutre elasticaproposée par Euler en 1745. L’hypothèse principale de la poutre elastica est de supposer que l’allongement de la ligne moyenne est nul. La variable cinématique caractérisant le comportement de la structure est alors tout simplement l’angle de rotation des sections de la poutre par rapport à la position initiale, noté θ tel que schématisé sur la Figure4.3.

L’énergie de déformation de la poutre se limite donc à la seule écriture de son énergie de flexion. Dans le cas présenté, la longueur de la poutre ne variant pas, on peut écrire directement ds=dx, ce qui conduit à une expression de la courbure simplifiée ^dθ_ds. L’énergie de flexion est donc donnée par l’équation (4.10).

W_f = 1 2

Z L 0

EI dθ

dx 2

dx (4.10)

Le travail des efforts extérieurs est simplement donné par le produit du chargement extérieurλ avec le raccourcissement ∆dû à la flexion de la poutre (Eq. 4.11).

Wext =λ∆ = λ Z L

0

(1−cosθ)dx (4.11)

d’où l’écriture de l’énergie potentielle (Eq.4.12).

E(λ, θ) = W_f −W_ext= 1 2

Z L 0

EI dθ

dx 2

−2λ(1−cosθ)

!

dx (4.12)

Le calcul de la variation de l’énergie potentielle conduit à l’équation (4.13) qui doit être nulle à l’équilibre compte tenu de la stationnarité de E(λ, θ).

δE(λ, θ) = Z L

0

(EIθ⁰δθ⁰−λsinθδθ)dx= 0 (4.13) Une intégration par parties sur le premier terme de (4.13) conduit à l’écriture de l’équa-tion d’équilibre à l’intérieur de la poutre (Eq. 4.14).

EIθ⁰⁰+λsinθ= 0 (4.14)

L’équation (4.14) n’est pas linéaire et compte tenu de ce qui a été dit précédemment, il suffit de linéariser cette équation pour obtenir la charge critique. Ce qui est possible en écrivant qu’au premier ordre, sinθ =θ. L’équation linéarisée est alors la suivante (Eq. 4.15).

EIθ⁰⁰+λθ = 0 (4.15) La résolution de (4.15) est classique et la charge critique est obtenue en posantθ(x) = Θ cos(πx/L), ce qui conduit à l’expression suivante pour la charge critique (Eq. 4.16) :

λ_c= π²EI

L² (4.16)

Comportement post-bifurqué

Réduction de Lyapounov et Schmidt Le cadre général de la théorie du post-flambage est un système élastique caractérisé par la fonctionnelle énergie potentielle E(u, λ) et par l’ensemble des déplacements cinématiquement admissibles (C.A.). Comme nous avons pu déjà le voir, les équations d’équilibre du problème sont obtenues à partir de la stationnarité de l’énergie potentielle (Eq.4.17).

δE(λ, u) = 0 ∀δu C.A.(0) (4.17)

On peut donc définir un opérateur différentiel f(λ, u) de l’espace vectoriel C.A.(0), défini par la relation (4.18). Il peut s’écrire sous la forme d’une somme d’un terme linéaire (L(λ)u), quadratique (Q(u, u)) et d’ordre supérieur (Eq.4.19). A l’équilibre cet opérateur est nul carδE est linéaire par rapport à δu.

< f(λ, u), δu >=δE(λ, u) (4.18)

f(λ, u) =L(λ)u+Q(u, u) +r(λ, u) (4.19) On peut noter que le terme linéaire provient directement de la seconde variation de l’énergie potentielle (< L(λ)u, δu >= δE₂(λ, u)). Ainsi, tant que L(λ) est inversible, la branche fondamentale (u = 0) sera solution, un point de bifurcation va apparaître lorsque L(λ) ne sera plus inversible, ce qui revient à résoudre le problème classique linéarisé. Cette résolution conduit à obtenir une charge critique λ_c et le but de l’analyse post-flambage est d’étudier les solutions de l’équationf(λ, u) = 0au voisinage deλ_c. La première étape consiste à donner un développement de Taylor de l’énergie potentielle pour u et (λ−λc) petits (Eq.

4.20).

E(λ, u) = E₀+E₂(λ, u) +E₃(λ_c, u) +θ((λ−λ_c)u³+u⁴) (4.20) En identifiant avec les termes présentés dans l’équation (4.19), on peut écrire :







< L(λ)u, δu >=δE₂(λ, u;δu)

< Q(u, u), δu >=δE3(λc, u;δu) r(λ, u) = θ((λ−λc)u²+u³)

(4.21)

On note U l’élément qui génère le noyau de l’opérateur linéaire (dim=1), on a donc L(λ_c)U = 0. L’idée de la méthode de Lyapounov et Schmidt est de décomposer l’inconnue

"u" du problème en une partie proportionnelle au noyau de L(λ_c) et une partie orthogonale à ce noyau (Eq. 4.22). En effet, on admet que l’équation L(λ_c)u = f admet une solution si et seulement si "f" est orthogonal au mode de flambage U, c’est-à-dire que la projection de v sur le noyau est nulle (Eq. 4.23). On utilise donc l’inversibilité partielle de L(λc) pour décomposer l’écriture de u près du point de bifurcation.

u=aU +v a ∈R, v∈U^⊥ (4.22)

Z L 0

f(x)U(x)dx= 0 (4.23)

On peut de même définir un opérateur de projection surU^⊥ (Eq. 4.24).

P(u) = u(x)−U(x) Z L

0

u(x)U(x)dx Z L

0

U²(x)dx

(4.24)

La première étape consiste à donner une expression approchée de v. L’idée est de projeter l’équationf(λ, u) = 0 surU^⊥ à l’aide du projecteurP afin d’utiliser l’inversibilité de L(λ_c) dans l’espace vectoriel U^⊥ (corollaire du théorème du rang). L’équation ainsi projetée permet d’obtenir localement une solution unique pour v grâce au théorème des fonctions implicites (Eq. 4.25).

v(a, λ) =a²v₂+θ(a(λ−λ_c) +a³) avec v₂ =−L⁻¹(λ_c)P(Q(U, U)) (4.25) Le problème projeté surU^⊥ peut en fait être interprété comme un problème de minimi-sation partielle de l’énergie par rapport àv. La deuxième étape consiste à reporter la solution trouvée pourv dans la forme de l’énergie potentielle qui sera alors appelée énergie potentielle réduite et qui va dépendre dea et λ. Cette énergie sera notée F(λ, a). La dernière équation du problème est obtenue en écrivant que l’énergie potentielle réduite est stationnaire, ce qui conduit à la relation (4.26).

∂F

∂a(λ, a) = 0 (4.26)

Au voisinage d’un point critique, nous n’avons qu’une approximation dev mais qui est suffisante, en général, pour discuter la nature de la bifurcation. L’étude du système est ainsi ramenée à celle d’une seule équation scalaire que l’on appelle équation de bifurcation. Celle-ci peut être présentée sous une forme un peu plus explicite pour la discussion de la nature de la branche bifurquée.

En effet, si on part de la forme donnée par l’équation (4.27) pour l’énergie potentielle, on peut lui donner une expression approchée en faisant apparaître les déplacements connusU et v₂.

E(λ, u) =E₀+E₂(λ, u) +E₃(λ, u) +E₄(λ, u) (4.27) La forme approchée de l’expression (4.27) est donnée par l’équation (4.28) avec E₂⁰ la dérivée de E₂ par rapport à λ.

F(λ, a) = (λ−λ_c)a²E₂⁰(λ_c, U) +a³E₃(λ_c, U) +a⁴(E₄(λ_c, U)−E₂(λ_c, v₂)) (4.28) D’où l’équation de la branche bifurquée qui peut se mettre localement sous la forme (4.29) avec les coefficients C_i définis par les relations (4.30).

λ=λc+C1a+C2a² (4.29)

C₁ =−3E₃(λ_c, U) 2E₂⁰(λc, U)

C₂ =−2(E₄(λ_c, U)−E₂(λ_c, v₂)) E₂⁰(λ_c, U)

(4.30)

La symétrie (C₁ = 0 ou C₁ 6= 0) et la stabilité (signe de C₂) de la branche peuvent ainsi être discutées.

Application au cas de la poutre homogène Si on reprend l’exemple de la poutre homo-gène traité dans le premier paragraphe de cette section, l’énergie potentielle pouvait se mettre sous la forme suivante (Eq. 4.31) :

E(λ, θ) = 1 2

Z L 0

EI dθ

dx 2

−2λ(1−cosθ)

!

dx (4.31)

Par analogie avec la forme de l’énergie potentielle donnée dans l’équation (4.27), une forme approchée de (4.31) est déterminée (Eq.4.33) grâce au développement limité decosθ, pour θ petit (Eq. 4.32).

cosθ = 1− θ²

Comme cela a été présenté dans la résolution du problème linéarisé, l’expression du mode de flambage est donnée par θ(x) = acos(πx/L) et la charge critique est celle de la relation (4.16). Ainsi, l’équation de la branche bifurquée présentée dans le cadre théorique précédent peut être évaluée. Il faut tout d’abord déterminer une expression approchée de v₂ (Eq. 4.25) qui dans notre cas est très simple puisqu’en première approximation, elle est nulle (Q(θ, θ) = 0). Les coefficients C_i peuvent ainsi être déterminés en prenant U = cos(πx/L), v₂ = 0 et λ_c=π²EI/L² (Eqs. 4.34).

L’équation de la branche bifurquée est donc la suivante (Eq. 4.35) : λ =λc+π²EI

8L² a² (4.35)

Cette branche est symétrique et son comportement est stable (C₂ > 0). Un résultat identique est trouvé en raisonnant sur le déplacement transverse de la poutre au lieu de considérer l’angle θ. La constante C₂ est alors donnée par C₂ = π⁴EI/(8L⁴). Le produit π²/L² supplémentaire dans cette expression provient de la première approximation de θ qui est en fait la dérivée de la flèche.

Ce qui est plus remarquable, c’est que l’équation de la branche construite dans un cadre restreint, c’est-à-dire près du point de bifurcation, est aussi valable pour des déplacements a important. Ce point est mis en évidence grâce à une comparaison avec des résultats éléments finis obtenus par une analyse non-linéaire sousABAQU S^{T M}. Non-seulement la validité locale de l’équation (4.35) est indéniable prés du point de bifurcation, mais elle est aussi soulignée

Figure 4.9: Comportement post-bifurqué pour une poutre homogène : comparaison branche théorique et calculs E.F. non-linéaires.

pour des valeurs élevées de a (Fig. 4.9). Outre la courbe théorique, la courbe E.F. présentée correspond à un calcul sur une poutre dont la valeur du défaut sur le premier mode de flambage est0.001 mm.

Un autre point important est de signaler que dans ce cas simple, la partie orthogonale au mode est nulle, l’étude aurait pu donc se faire en considérant seulement que la déformée après flambage correspondait à un accroissement du premier mode de flambage (θ(x) = Θ cos(πx/L)). Des résultats identiques auraient donc été trouvées en réinjectant directement ce mode dans la forme de l’énergie potentielle et en minimisant par rapport au paramètre a. Cette méthode est une méthode approchée, elle est parfois utilisée et correspond en fait à une méthode dite de Ritz où la difficulté majeure consiste à postuler dés le départ une représentation correcte du champ de déplacement. Dans notre exemple simple, l’accroissement du mode constitue le terme prépondérant du champ de déplacement après le passage du point de bifurcation et donc la méthode de Ritz constitue une très bonne approximation.