Au travers de ces applications, nous avons mis en évidence 2 façons de résoudre les problèmes de RdM :
— utiliser le transport des torseurs des efforts extérieurs pour exprimer le torseur des efforts internes dans les sections. Les contraintes peuvent alors être obtenues direc-tement à partir de ces efforts internes, et les déplacements sont connus en intégrant,
— résoudre complètement les équations d’équilibre intérieur de la poutre en utilisant les conditions aux limites cinématiques, les conditions d’équilibre au bord, et les équations de discontinuités.
Dans le premier cas, la connaissance des efforts extérieurs réduit les développements nécessaires à la résolution, mais l’équilibre extérieur doit être connu et peut se révéler indéter-miné dans certains cas, par exemple dans les cas hyperstatiques où les liaisons avec l’extérieur sont surabondantes. Ces cas sont traités dans le chapitre suivant. Dans le second cas, les développements peuvent rapidement devenir lourds mais permettent de résoudre certains pro-blèmes dont l’équilibre extérieur n’est pas connu. Finalement, au cours des exemples traités, les problèmes ont pu être résolus de manière optimale en mixant ces 2 méthodes.
Dans ces exemples, la sollicitation de tension a d’abord été abordée, et ne pose pas de problème majeur. Dans le cas de la flexion on a pu observer que le cisaillement peut être négligé dans la plupart des cas, et que par conséquent une théorie de Bernoulli peut être utilisée en première approximation. Cette théorie, si elle ne permet pas de prendre en compte la rigidité de cisaillement, permet tout de même de caractériser l’état de contrainte de cisaillement. Quant à la rigidité de flexion, l’utilisation de sections creuses ou de sandwichs est tout à fait pertinente puisque ce sont les fibres matérielles les plus éloignées de l’axe neutre qui donnent la rigidité de flexion de la section. Il en va de même dans le cas de la torsion. Enfin, pour les sollicitations combinées, compte-tenu des hypothèses de réversibilité et de linéarité de la RdM, les effets des sollicitations sur les différents axes se superposent.
Théorèmes énergétiques -Hyperstatisme
Sommaire
3.1 Rappels - calcul du travail . . . 63 3.1.1 Simplifications dans le cadre de la RdM . . . 63 3.1.2 Travail dans le cas des poutres . . . 64 3.2 Théorèmes énergétiques . . . 66 3.2.1 Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti . . . 66 3.2.2 Théorème de Castigliano . . . 70 3.3 Hyperstatisme . . . 71 3.4 Résolution des systèmes hyperstatiques . . . 73 3.4.1 Principe de superposition . . . 74 3.4.2 Théorème de Ménabréa . . . 74
62
Comme nous l’avons vu dans les exemples précédents, la résolution complète des problèmes de plus en plus réalistes devient vite lourde. Qui plus est, la connaissance du champ de déplacement complet n’est pas toujours nécessaire, par exemple pour le dimensionnement qui se base sur les contraintes maximales rencontrées dans la structure. Il existe des méthodes pour connaître ponctuellement une information telle qu’un déplacement, et donc une contrainte. La connaissance de cette information peut également s’avérer nécessaire dans le cas des problèmes ’ouverts’ tels que les cas hyperstatiques par exemple, dans lesquels les seules équations d’équilibre extérieur ne sont plus suffisantes pour la résolution.
Lesthéorèmes énergétiques permettent de connaître assez rapidement des informations ponctuelles. Ils se basent sur le bilan énergétique du problème posé, ce bilan étant fortement simplifié dans le cadre des hypothèses de la résistance des matériaux : pas de dissipations, cadre de travail statique et hypothèse des petites perturbations, matériaux élastiques linéaires (homogènes). Ces techniques sont basées sur la connaissance du bilan énergétique du système étudié,via le calcul du travail produit par les efforts extérieurs.
3.1 Rappels - calcul du travail
Considérons, pour des raisons de simplicité, un système d’efforts appliqué sur la frontière
∂ΩF d’un solide, tel que dans le cas général représenté sur la Figure 1.1 page 2 par exemple.
Le travail produit entre deux instants t1 et t2 par ces efforts −→
Fd dans le champ de vitesse
−
→u˙ (−→x) est défini par :
W(−→u(−→x , t)) = Z t2
t1
Z
∂ΩF
−
→Fd(−→x , t)·−→
˙
u(−→x , t)dΩF
dt (3.1)
3.1.1 Simplifications dans le cadre de la RdM
Dans le cadre de la RdM, l’intensité des efforts est indépendante du temps, leur point d’application peut par contre être en mouvement. Toutefois, dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations, cette position est confondue avec la position dans l’état initial (sauf dans de le cas des problèmes non-linéaires géométriques sur lequel nous reviendrons dans le chapitre 4). Le champ cinématique est de plus la dérivée par rapport au temps du champ des déplacements :−→
˙
u(−→x , t) = dtd−→u(−→x , t). On peut alors calculer le travail fournit par le système d’efforts entre l’état initial et l’état final, états qui peuvent être définis par les positions du
système à ces instants. Pour un effort ponctuel, ce travail s’écrit :
3.1.2 Travail dans le cas des poutres
Dans le cas des poutres, les efforts extérieurs sont définis par des efforts et des moments, respectivement résultante et moment du torseur des actions extérieures{F(x1)}(M) appliqué sur la ligne moyenne, tel que défini dans l’équation 1.9 page 13 par exemple. Dans ce cas, le travail des efforts extérieurs s’exprime en faisant intervenir le torseur des déplacements de la ligne moyenne {U }(M) tel que défini dans l’équation 1.6 page 8. On peut alors calculer le travail fourni par le système d’efforts entre l’état initial et l’état final défini par le torseur des déplacements : À partir de cette dernière forme du travail (Eq. 3.2), on peut alors calculer le travail d’un système d’efforts. On distingue deux cas, selon que les efforts dépendent des déplacements ou non.
Efforts indépendants des déplacements
Le calcul est direct et se ramène au produit scalaire des efforts et des déplacements de leurs points d’application. Par exemple, pour un système discret de n efforts et n moments, on a :
Efforts dépendants des déplacements (et inversement)
S’il existe une relation entre les efforts et les déplacements, cette relation ne peut être quelinéaire en RdM compte-tenu du cadre HPP et de l’élasticité linéaire. Dans ce cas le calcul du travail fait apparaître un coefficient 12 provenant de l’intégration de cette relation linéaire.
Le cas typique de base est celui d’un ressort unidimensionnel linéaire de rigiditék qui fournit un effort de rappel proportionnel au déplacement imposé à son extrémité libreu(x) :
W(u(x)) = Z u(x)
0
k ξ dξ = 1
2 k u(x)2
— pour un ensemble d’efforts extérieurs, on peut définir un tenseur de rigidité, noté Le, reliant l’effort appliqué et le déplacement résultant du point d’application, et de la même manière un tenseur de compliance, noté Me, reliant ce déplacement à l’effort imposé correspondant. Ces tenseurs seront précisés dans la partie suivante.
Pour un système d’efforts ponctuels discrets, le travail s’écrit : W(U(−→x)) = 1
2
n
X
i=1
−→
Fe(−→xi)· Mie·−→ Fe(−→xi))
= 1 2
n
X
i=1
−→u(−→xi)· Lie· −→u(−→xi))
(3.4)
Ce calcul du travail des efforts extérieurs s’étend sans difficulté aux efforts répartis et moments ponctuels et répartis.
— pour les efforts intérieurs, une relation similaire a été définie préalablement par la relation 1.16 dans le cas des poutres. Comme il s’agit de quantités internes à la poutre, la relation entre le torseur des efforts intérieurs (contraintes intégrées sur la section) et les déformations aux points correspondants, c’est à dire les dépla-cements par unité de longueur de la poutre, est appelée loi de comportement : {τ(x1)} = [L]{(x1)}. Le travail produit par ces efforts dans le champ de dépla-cement correspondant est alors appelé énergie de déformation interne ou élastique dans le cas de l’élasticité. Dans le cas des poutres, en utilisant la loi de compor-tement définie en 1.15, pour une section symétrique, cette énergie de déformation par unité de longueur s’écrit :
d W(−→u(−→x))
d x1 = 1 2
−→
R(x1).−→e(x1) +−→
M(x1).−→κ(x1)
= 1 2
N2 ES + T22
GS + T32
GS + Mt2
GI0 + Mf22
EI2 +Mf23 EI3
(3.5)
Coefficients d’influence
Certaines démonstrations des théorèmes énergétiques que nous allons étudier sont fa-cilitées en recourant à des coefficients dits coefficients d’influence, permettant de relier les efforts imposés et les déplacements résultants en tout point du solide sollicité. Ces coeffi-cients se définissent intuitivement, par analogie avec les ressorts, tout comme dans le cas de la méthode des éléments finis.
Par exemple si on applique un effort −→
F1 au point M1 d’un solide, cet effort induit un déplacement de ce point d’application. Le travail effectué par cet effort dans le déplacement de son point d’application étant le produit scalaire de l’effort et du déplacement résultant, considérons simplement le déplacement dans la direction de l’effort imposé. Ce déplacement est relié à l’effort par le coefficient d’influence u11 qui a donc la dimension d’une souplesse (’inverse de la raideur’) :
u1(M1) = F1 u11
On en déduit alors facilement l’expression du travail de cet effortF1 dans le déplacementu1 : WF1 = 1
2F1 u1 = 1 2F12 u11
Ceci se généralise aisément si le déplacement en un point Mi dans la direction de l’effort Fi correspondant du solide considéré, résulte de l’application d’un ensemble de n efforts Fj :
ui =
n
X
j=1
uijFj
Donc le travail effectué par l’effort Fi dans ce déplacement est :
WFi = 1 2Fi
n
X
j=1
uijFj
Finalement, le travail développé par l’ensemble des n efforts Fi dans le déplacement résultant est :
WT = 1 2
n
X
i=1
Fiui = 1 2
n
X
i=1
Fi
n
X
j=1
Fj uij (3.6)
On montrera ci-dessous la symétrie des coefficient uij qui forment, dans une écriture vectorielle de discrétisation du système, une matrice dite matrice de souplesse symétrique et définie positive.