→u(−→x , t) =−→ud(−→x , t) ,∀ −→x ∈∂Ωu (1.1) 2. Équilibre intérieur
∂σij(−→x , t)
∂xj +fi(−→x , t) =ρ¨ui(−→x , t) ,∀ −→x ∈Ω (1.2) 3. Équilibre au bord
σij(−→x , t)nj(−→x) =Fid(−→x , t) ,∀ −→x ∈∂ΩF (1.3) 4. Loi de comportement
σij =Lijklkl (1.4)
1.2 Mécanique des structures et RdM
1.2.1 Définition des structures
La mécanique des structures se définit comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est faible devant les autres. La mécanique des structures couvre donc un grand nombre de géométries dont les plus courantes sont les poutres (1D), les plaques et coques (2D), et les solides axisymétriques (2D) (Figure1.2). En observant la géométrie des structures étudiées, des hypothèses peuvent être faites quant à la cinématique qui prévaut dans ces solides. Toute la difficulté de ce type d’approche réside dans le choix judicieux de cette cinématique qui doit être suffisamment riche pour observer tous les phénomènes rencontrés durant l’utilisation des structures considérées, mais assez simple pour permettre des résolutions analytiques. Ce point sera vu en détail dans ce cours.
On peut remarquer que ces structures sont également utilisées dans les simulations numériques, telles que les simulations par éléments finis par exemple. Dans ce cas, comme lors de la résolution analytique d’ailleurs, les temps de calcul nécessaires à la résolution d’un problème sont amplement plus faibles que si le même problème était traité avec une approche de type MMC (3D dans un calcul par éléments finis).
Figure 1.2: Type de structures
1.2.2 Résistance des Matériaux
La résistance des matériaux est un cadre restreint, mais utilisable pour la plupart des applications courantes, pour traiter des problèmes de mécanique des structures. Principale-ment, les hypothèses simplificatrices de la RdM portent sur des conditions de réversibilité et de linéarité. Les études en RdM sont conduites sous les hypothèses suivantes :
— cadre de l’HPP : petites déformations, petits déplacements (pas de flambage ou de striction par exemple),
— les matériaux constitutifs sont élastiques linéaires isotropes,
— les problèmes appartiennent au domaine de la statique, ou sont supposés quasi-statiques,
— principe de Saint-Venant : loin de son point d’application, une sollicitation extérieure peut être remplacée par son torseur équivalent,
— principe de superposition : quelque soit l’ordre d’application des efforts extérieurs sur un solide, l’état final est invariant.
Sous ces hypothèses, la RdM permet de traiter des problèmes de poutres, plaques, coques, ... Il faut maintenant introduire la notion de modélisation géométrique des solides. Ceci fait l’objet du paragraphe suivant qui traite plus particulièrement de la théorie des poutres.
1.2.3 Hypothèses des poutres
Les hypothèses sur la géométrie des poutres permettent de représenter un solide 3D élancé par sa ligne moyenne. Ceci s’applique également aux plaques et coques où cette fois-ci l’épaisseur étant faible devant les autres dimensions le solide est remplacé par le feuillet moyen correspondant.
Définition d’un poutre
Une poutre est un solide engendré par une aire planeS qui est déplacée dans l’espace, de sorte que durant son mouvement le centre de gravitéG de la section S parcourt une ligne donnée L, et que l’aire se maintienne constamment normale à cette surface (Figure 1.3). De plus, la section peut varier au cours de ce parcours, mais de façon continue, i.e. le profil ne doit pas présenter de discontinuités. La ligne L est appelée fibre moyenne de la poutre. Une poutre est dite :
— gauche si la ligne Lsuit une courbe gauche,
— plane si la ligneL suit une courbe plane,
— droite si la ligne L suit une droite.
Figure 1.3: Définition géométrique d’une poutre
Une poutre à plan moyen est une poutre dont la sectionS possède un plan de symétrie.
Cette hypothèse est finalement peu restrictive et permet de traiter de trés nombreux cas (Figure 1pageiii). Enfin, si la fibre moyenne est une courbe fermée, on parlera d’anneau (les sections droites initiale et finale sont confondues).
Finalement, les hypothèses permettant de classifier un solide comme étant une poutre sont les suivantes :
— un élancement de la poutre suffisant : L
sup{L2, L3} > 5 et L2
L3 ≤ 10 (L2 et L3
étant les dimensions caractéristiques respectivement selon les directions −→x2 et −→x3),
— un rayon de courbure de Lgrand devant les dimensions transversales,
— un profil sans discontinuité.
Remarque : des problèmes complexes associant un grand nombre de poutres ont été large-ment utilisés au cours des 2 derniers siècles. Ces structures sont dites structures réticulées ou treillis. Les cas les plus typiques sont par exemple la Tour Eiffel, constituée de treillis à plu-sieurs échelles, imbriqués pour former des structures de plus en plus imposantes, et finalement constituant la Tour elle-même. De nombreux autres exemples d’application existent pour ces approches où des méthodes de calcul propres ont été développées spécifiquement (méthode graphique de Crémona par exemple). Dans le cadre de cette introduction à la RdM, seules les poutres seront étudiées, offrant suffisamment d’exemples d’application pour donner une vision rapide mais détaillée de la RdM.
Grandeurs physiques
La théorie élastique des poutres est basée sur celle des milieux curvilignes. Une position sur la poutre sera caractérisée uniquement par l’abscisse curviligne l d’un point sur la fibre moyenneL. Le reste de la géométrie, c’est-à-dire la sectionS, sera caractérisé en chaque point G(x1) de la fibre moyenne, pour un matériau constitutif homogène, par :
— la section S de la poutre obtenue sous la forme : S(x1) =
Z
S(x1)
ds= Z
S(x1)
dx2dx3
— des moments d’ordre1nuls puisque le point Gde la fibre moyenne est le centre de gravité de la section S :
Z
S(x1)
x2ds = Z
S(x1)
x3ds= 0
— des moments d’ordre 2, ou moments quadratiques (plans) : I2(x1) =
Z
S(x1)
x23ds et I3 = Z
S(x1)
x22ds
— un moment produit, différent de 0 pour les sections non-symétriques ou dont les axes de symétrie (−→x2 ,−→x3 ) ne sont pas confondus avec le repère global :
I23(x1) = Z
S(x1)
x2x3ds
— un moment de giration ou moment quadratique polaire : I0(x1) =
Z
S(x1)
(x22+x23)ds=I2(x1) +I3(x1)
Par exemple, pour une sectionS circulaire, de rayon R, on a I2 =I3 = πR44 etI23 = 0, tandis que pour une section rectangulaire, de hauteur L2 et largeur et L3, on a I2 = L212L33, I3 = L1232L3 et I23= 0.
Repère de Frenet
Dans le cas général d’une poutre paramétrée par son abscisse curviligne s, on peut définir pour des raisons de commodité un trièdre direct, le repère de Frenet(−→τ ,−→n ,→−
b)(Table 1.1). Les grandeurs locales peuvent être exprimées dans ce repère, et les dérivations locales suivent les règles indiquées ci-après, avec les rayons de courbures R1 et R2 définis dans les plans (M,−→τ ,−→n) et (M,−→τ ,−→
Table 1.1: Définition du repère de Frenet pour une abscisse courantes.
Avertissement : Dans la première partie de ce cours, nous établirons les équations dans le cas plus particulier despoutres où les courbures restent faibles. L’extension, aux poutres quelconques, de la théorie développée ici passe par le prise en compte des courbures dans la dérivation des grandeurs cinématiques et statiques par rapport à l’abscisse curvilignes, selon les règles rappelées ci-dessous (Eq. 1.5). Ceci ne modifie pas fondamentalement les résultats présentés dans cette première partie, mais introduit une complexité qui n’est pas nécessaire pour poser les bases des théories de poutre ; cette complexité apparaît dans les couplages des comportements, tels que le couplage traction-flexion par exemple dans les poutres courbes. Il en est de même pour les coques vis-à-vis des plaques.
d
Dans ce document, nous nous limiterons à la cinématique des déplacements issue de l’hypothèse de Navier. D’autres cinématiques existent, elles sont dites ’enrichies’ et ré-pondent à une besoin de précision accrue dans la prise en compte du cisaillement notam-ment. Certaines de ces théories sont présentées dans le cas spécifique des matériaux