3.4 Résolution des systèmes hyperstatiques
4.1.1 Équations non-linéaires de la statique des poutres droites
Nous nous intéresserons ici plus particulièrement à la caractérisation analytique du flambage des poutres droites à plan moyens chargées dans ce plan (en abrégépoutres droites à plan moyen). La théorie utilisée sera de type Bernoulli, i.e. ne prenant pas en compte le cisaillement qui est tout à fait négligeable ici. Nous verrons que les charges critiques et les modes de flambage dépendent à la fois des caractéristiques mécaniques (rigidité = module
(a)
(b)
Figure 4.2: Poutre libre-libre en compression : (a) montage de flambage rotulé , (b) réponse charge-déplacement vertical : réponse fondamentale et en présence d’imperfections géomé-triques.
d’YoungE), géométriques (sectionSet moment quadratique par rapport à−→z,I) de la poutre, mais également des conditions aux limites du problème traité. Les principes exposés ici restent valables dans le cas de structures plus complexes, mais la détermination de la charge critique fait alors appel à des méthodes de résolution numériques.
Origine de la non-linéarité géométrique dans le cas du flambage
Dans la formulation classique HPP, on considère que la géométrie initiale est confondue avec la géométrie finale, ce qui permet d’écrire toutes les grandeurs dans un repère unique.
Ceci est valable lorsque les déplacements, ou plus rigoureusement les déformations, restent infinitésimales. Lorsqu’on passe engrandes déformations et/ou engrands déplacements, il faut prendre en compte la nouvelle géométrie et l’actualiser. C’est cette dépendance de la géométrie vis-à-vis des déplacements qui induit la non-linéarité géométrique. Numériquement, dans les
codes de calculs par éléments finis par exemple, on résout le problème de manière incrémentale, en recalculant à chaque itération les positions de tous les points (−→xi =−−→xi−1+−→u(−→xi)). D’un point de vue analytique, on essaie de linéariser le problème à résoudre. C’est cette démarche que nous adoptons ici, en justifiant les hypothèses qui conduisent au problème linéaire associé.
Dans le cas du flambage des structures, on se restreint à prendre en compte un seul terme non-linéaire, appelé rotations modérées, valable pour des rotations des sections <10◦, c’est-à-dire à mi-chemin entre les rotations infinitésimales et les grandes rotations. C’est par ce terme que la déformation de membrane, classiquement reliée uniquement à la déformation due au déplacementu(−→x), va dépendre également de la flèche v(−→x).
On montre qu’en première approximation, le phénomène de flambage se produit à contrainte constante (Figure 4.2). En effet, pour une poutre inextensible sur appuis simples (poutre elastica, Euler 1745) un accroissement de l’effort de 18%correspond à l’augmentation de l’angle de rotation des sections de 0,01 rad (0,57◦), cette rotation étant identique en tous points pour une courbure constante. On peut donc estimer que la détermination de la charge critique peut se faire à l’aide d’un modèle linéarisé dans lequel la contrainte axiale est supposée constante dans la poutre. Bien évidemment, la réponse lorsqu’on s’éloigne du point de bifurcation, doit être recherchée à l’aide d’un modèle plus raffiné.
D’un point de vue de la MMC, ce terme de rotation modérée est une des composantes de la partie non-linéaire du tenseur des déformations de Green-Lagrange, notéeγN L(−→u), que l’on rappelle ci-dessous :
γ(−→u) = 1
2(∇−→u +∇t−→u) + 1
2∇−→u · ∇t−→u =(−→u) +γN L(−→u) (4.1) Déformation de membrane incluant les rotations modérées
Nous avons vu dans le cadre de la statique que les équations des poutres quelconques peuvent se déduire, via le Principe des Puissances Virtuelles, de la formulation générale de l’équilibre statique des milieux continus. Dans le cas qui nous intéresse ici, plutôt que de passer par les déformations des milieux continus, nous allons chercher la forme de ladéformation de membrane qui permet de relier le raccourcissement de la poutre à l’état de flexion. C’est par cette composante du tenseur des déformations, que le couplage tension-flexion est introduit dans le problème linéarisé.
Considérons la poutre ci-dessous (Figure4.3) en appui simple, soumise à un chargement de compression F.−→x en X = 0 et bloquée en translation le long de −→x en X = l. Un point situé à l’abscisse −→
X sera après flambage situé en −→x :
Position initiale Position après flambage
−
→X = ( X
0 )
−
→x =
( X+u(X) v(X)
)
⇒d−→x =
dx=dX+ du(X) dX dX dy = dv(X)
dX dX
Figure 4.3:Poutre sur appuis simples en compression
Raccourcissement et déformation non-linéaire Le problème de flambage est intrinsèque-ment non-linéaire, mais de part la formulation adoptée, la non-linéarité va disparaître. En effet, conformément à la remarque sur la contrainte dans la poutre pour des charges proches de la charge critique, on considère que la contrainte dans la poutre ne varie pas le long de l’axe de la poutre : le flambage se produit à contrainte, et donc déformation, constante. Cette hypothèse est vérifiée expérimentalement pour des structures élancées, c’est-à-dire lorsque les effets de bords sont négligeables. Elle est intégrée dans la formulation choisie, c’est elle qui permet de linéariser le problème.
Le raccourcissement local correspondant à la déformation de membrane (−→x) de la fibre moyenne s’exprime en fonction des déplacements du point−→
X intégrés le long de l’abscisse (curviligne). Ce raccourcissement est dû pour une part à l’effet du chargement de compression, et d’autre part à l’apparition de la flexion. On sait que le raccourcissement total de la poutre s’écrit :
δ= Z l
0
ds− Z l
0
dX
en supposant que la déformation est constante dans la poutre, on peut exprimer la déformation moyenne, et donc la déformation locale :
= δ l =
Z l 0
ds Z l
0
dX
−1 = ds dX −1
ce qui finalement conduit à l’expression de la déformation locale. En utilisant les expressions des incrémentsdx et dy cette déformation de membrane s’écrit :
= ds
dX −1 avecds2 =dx2+dy2 =dX2
(1 +u0)2+v02
Simplifications Finalement, l’expression de la déformation est connue, et peut se simplifier en première approximation :
ds dX =p
1 + 2u0 +u02+v02 '1 + 2u0+u02+v02 2
On a donc l’expression de la déformation. Des simplifications peuvent encore être faites en comparant les ordres de grandeurs des différents termes intervenant dans cette expression. En effet, l’apparition du flambage induit des rotations des sections qui, bien qu’étant faibles, sont plus grandes que le raccourcissement de membrane dû à la compression :
u0, v0 <<1 u0 << v0
⇒ ds
dX '1 +u0 +v02
2 ⇒=u0+v02 2
et θ ∼tanθ = dy
dx = v0
1 +u0 'v0 ⇒ courbure dθ ds ' dθ
dX =v”
Remarque on notera que cette expression peut être calculée à partir de l’expression du tenseur des déformations non-linéaires des milieux continus (Eq.4.1) appliqué aux poutres, en prenant en compte les simplifications faites ci-dessus.
Finalement, l’énergie de déformation s’écrit toujours de la même façon, mais avec une expression de la déformation de membrane qui dépend de la flèche(u0, v0):
Wint = 1 2
Z l 0
ES2(u0, v0) +EIv002
ds (4.2)
Équations d’équilibres
En utilisant l’expression de la déformation de membrane établie ci-dessus (=u0+v02 2 ), on peut déduire les équations d’équilibre du problème en utilisant le Principe des Puissances Virtuelles. On considérera ici le cas d’une poutre sur laquelle le système d’efforts appliqué se limite à un effort ponctuel de compression qui agit en x = l (Figure 4.4). Donc le travail virtuel des efforts extérieurs est Wext∗ =−F u∗(l). On introduit les notations classiques pour l’effort normal (N(x) = ES(x)) et le moment de flexion (M(x) =EId2v(x)
dx2 ). Il faut noter que le terme de rotation modérée, introduit dans la déformation virtuelle, prend en compte
la non-linéarité du phénomène. La rotation virtuelle v0∗ est en effet en produit avec un terme représentant le moment induit par le décalage de l’effort normal par rapport à la ligne moyenne de la poutre (N v0) :
Z l 0
N(x)
u0∗+v0v0∗
+Mz(x)v00∗
dx+F u∗(l) = 0,∀(u∗, v∗)C.A.
après intégration par parties, on exprime tous les termes en fonction des déplacements virtuels : Z l
0
(−N0(x)u∗(x) +{−(N(x)v0(x))0+M00(x)}v∗(x))dx+
N u∗+N v0v∗+M v0∗−M0v∗l
0 +F u∗(l) = 0,∀(u∗, v∗)C.A.
En choisissant judicieusement les champs virtuels, on arrive aux équations d’équilibre intérieur suivantes, les équations aux bords étant fonction des conditions aux limites. Dans le cas traité ici, on aN(l) =−F :
Équilibre intérieur C.L cinématiques + statiques N0(x) = 0
(N(x)v0(x))0 −M00(x) = 0
x= (0, l)
u= 0 ou N = 0(=Nd) v = 0 ou M0 −N v0 = 0 v0 = 0 ou M = 0(=Md)