P RINCIPAUX THEOREMES ET EXTENSIONS
1. Statique comparative monotone
La statique comparative consiste à analyser ce qui arrive aux variables endogènes (ou variables de décision) d’un modèle suite à une modification des variables exogènes (ou paramètres). L’étude de la sensibilité des solutions optimales d’un problème d’optimisation constitue généralement un objectif sous-jacent de la modélisation. PourX,T ⊂IR, la question
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Pour un traitement plus général de la théorie ainsi que les preuves des théorèmes qui y sont établies, on peut se référer à Topkis (1998), Vives (1999), Cooper (1999), Amir (2005).
centrale de la statique comparative est d’identifier quand est-ce quex(t)=argmaxx∈X f(x,t) est non décroissant (ou croissant) en t. Les deux approches qui sont susceptibles d’être utilisées pour traiter cette question sont le théorème de la fonction implicite et le théorème de monotonie de Topkis. Ce dernier s’inscrit dans le cadre de l’optimisation supermodulaire. Chacune de ces approches est examinée tour à tour.
1.1 Le théorème de la fonction implicite
Le théorème de la fonction implicite énonce que si f(x, y) = 0, alors :
x f y f y x ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ / / .
Cette formule est particulièrement appropriée lorsque x est une variable de choix et y un paramètre. Dans un problème d’optimisation, la condition nécessaire de premier ordre prend la forme f(x, y) = 0, tandis que la condition suffisante de second ordre détermine le signe de
x f ∂
∂ / . Le recours au théorème de la fonction implicite exige que la solution soit intérieure (non située sur la frontière des solutions accessibles). Pour s’en assurer, il s’agit donc de vérifier la validité des conditions du premier et du second ordre.
PourX,T ⊂IR, la solution du problème de maximisation de f(x, t) est intérieure si elle est telle que les deux conditions suivantes sont vérifiées :
0 ) , ( = ∂ ∂ x t x f et 0 ) , ( 2 2 < ∂ ∂ x t x f .
En appliquant le théorème de la fonction implicite, il vient :
2 2 2 x f t x f t x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ .
Il s’ensuit qu’un accroissement du paramètre t conduit à un accroissement (une diminution) de
la variable de choix x si ( ) 0 2 ≤ ≥ ∂ ∂ ∂ t x
f . Dans un modèle où la condition suffisante de
second ordre est valide, le modélisateur qui ne s’intéresse qu’au signe de la relation entre les deux variables n’a pas besoin de déterminer le signe du dénominateur. Il est important de
l’équilibre. Pour des variations plus importantes, la nature de l’équilibre est susceptible de changer de manière drastique.
L’approche qui repose sur le théorème de la fonction implicite est celle traditionnellement utilisée en économie. Elle souffre cependant de plusieurs limites. La première est que le théorème ne fonctionne que lorsque la solution optimale est unique et varie régulièrement avec le paramètre, sans jamais frayer avec la frontière des ensembles accessibles. Deuxièmement, outre la concavité de la fonction-objectif, cette approche requiert sa dérivabilité. Ce théorème ne trouve donc à s’appliquer que dans le cas de variables forcément continues. Par exemple si t est un paramètre discret, le théorème de la fonction implicite ne permet plus de déterminer l’effet d’une modification de t sur la variable de décision x.
1.2 La supermodularité et le théorème de monotonie de Topkis
Une seconde approche pour établir des résultats de statique comparative monotone s’appuie sur le théorème de monotonie de Topkis (1979), qui lui-même repose sur la « propriété de différences croissantes » (ou de « supermodularité »). Pour définir cette propriété, on suppose toujours que X et T sont des sous-ensembles de IR.
Définition i.1 :
Une fonction f :X×T →IR possède des différences (strictement) croissantes en (x, t) si pour tout x′≥x et t′≥t: f(x′,t′)− f(x,t′)≥(>) f(x′,t)− f(x,t).
Que signifie cette propriété ? Si la fonction-objectif f possède des différences croissantes en (x, t), le gain supplémentaire qu’un agent retire du choix d’une stratégie plus élevée (x′ plutôt que x) est d’autant plus grand que t est élevé. En d’autres termes, f(x′,t)− f(x,t) est non décroissant en t pour toutx′≥x. La propriété de différences croissantes est symétrique dans le sens où elle est aussi équivalente à la formulation suivante : pour t′≥t, si f possède des différences croissantes en (x, t), alors f(x,t′)− f(x,t)est non décroissant en x.
Quand une fonction présente des différences croissantes, on dit aussi parfois qu’elle est « supermodulaire ». Les deux propriétés sont équivalentes dans le sens où la supermodularité d’une fonction à n variables revient à vérifier que la fonction présente des différences croissantes ou qu’elle est supermodulaire en chaque paire de variables (Amir, 2005).
Un dernier point important à souligner est que la fonction-objectif ne requiert pas de propriétés particulières, comme la concavité, la dérivabilité, voire simplement la continuité. Dans le cas où f est différentiable, on peut cependant réécrire la propriété de différences croissantes en termes de dérivées :
Définition i.2 :
Si f est une fonction deux fois continûment différentiable, alors f possède des différences croissantes en (x, t) si et seulement si ∂2f(x,t)/∂x∂t≥0pour tout x, t.
Les différences croissantes permettent de formaliser la notion de complémentarité : avoir plus d’une variable accroît l’utilité marginale qu’un agent retire de l’accroissement d’une autre variable. La relation de complémentarité qui peut exister entre les variables (endogènes et exogènes) d’un modèle est alors au cœur des conclusions de statique comparative monotone. On expose maintenant une version simplifiée du théorème de monotonie de Topkis (1979). Même s’il s’agit d’un cas particulier, celui-ci trouve à s’appliquer dans la plupart des applications de la théorie économique.
Théorème i.1 (Topkis, 1979) :
SoientX ⊂IR un ensemble compact et T un ensemble partiellement ordonné. Si f :X×T→IR
possède des différences croissantes en (x, t) et si f est semi-continu supérieurement4 en x, alors : i) pour tout t, x(t)=argmaxx∈X f(x,t) est non vide et possède un plus grand et un plus petit élément, x( t) et x(t); ii) les sélections maximum et minimum de x(t) sont non décroissantes en t. Si f présente des différences strictement croissantes, alors toutes les sélections de x(t) sont non décroissantes.
Ce théorème stipule que si f présente des différences croissantes, alors les sélections extrêmes dans l’ensemble des solutions optimales du problème d’optimisation sont non décroissantes en t : si t′≥t alors x(t′)≥ x(t) et x(t′)≥ x(t). Si f présente des différences strictement croissantes, alors toutes les solutions optimales sont non décroissantes en t. Dans le cas scalaire (x et t sont des variables unidimensionnelles) et avec une fonction-objectif
4 Une fonction
IR X
différentiable, les conclusions de statique comparative monotone du Théorème i.1 sont vraies si f est tel que : ∂2 f(x,t)/∂x∂t ≥(>)0.
Au regard de l’approche traditionnelle qui repose sur le théorème de la fonction implicite, le théorème de Topkis (1979) dispense des hypothèses de concavité et de dérivabilité de la fonction-objectif, d’intériorité de la solution et de convexité des ensembles accessibles. La théorie économique a longtemps eu tendance à imposer ces hypothèses indépendamment de leur justification sur un plan économique. Dans la mesure où le théorème de la fonction implicite ne fonctionne que lorsque la solution optimale est unique et varie régulièrement avec le paramètre à l’intérieur des ensembles accessibles, ces limites sur le plan méthodologique ont pu orienter les questions de recherche, laissant parfois de côté les situations caractérisées par des non-convexités inhérentes, comme par exemple la présence de rendements croissants (Amir, 2005).
Un autre atout majeur de la nouvelle méthodologie portée par le théorème de Topkis (1979) est qu’elle autorise une certaine latitude dans la définition des ensembles de paramètres et de décisions, tant que ceux-ci restent des ensembles partiellement ordonnés. Il est dès lors possible de considérer des ensembles tels qu’un ensemble d’entiers, un ensemble de distributions de probabilité partiellement ordonnées (par la dominance stochastique d’ordre 1 par exemple) ou encore un ensemble d’ensembles ordonnés par inclusion.