On considère un ensemble de pays qui font face à un problème environnemental dont le caractère est global. Le problème environnemental en question est celui de l’accumulation des gaz à effet de serre (GES) dans l’atmosphère et lié aux activités de consommation et de production de chacun des pays. Ces émissions ont la particularité de s’accumuler de manière uniforme dans l’atmosphère et de générer des externalités sur l’ensemble des pays, que ces derniers soient à l’origine des émissions ou non. Dans ce qui suit, on commence par présenter le jeu des émissions dans sa forme la plus générale puis on précise les simplifications et les hypothèses adoptées pour l’établissement de nos résultats.
1.1 Le modèle dans sa version générale
Sur le plan formel, on note N =
{
1,..., n}
l’ensemble des pays concernés par le problème environnemental. Chaque pays est caractérisé par une fonction de paiement fi qui dépend à la fois de ses propres émissions xi et des émissions agrégées de tous les autres pays x−i=∑
j≠ixj. De manière plus précise, on considère que la fonction de paiement du pays i (i∈N ) est de la forme suivante : ) ( ) ( ) , ( − = −∑
i i i i i i i i x x B x D x f . (1.1)Pour un pays, cette fonction mesure la différence entre les bénéfices qu’il retire de ses rejets de GES dans l’atmosphère, Bi(·), et les dommages environnementaux générés par l’accumulation des émissions dans l’atmosphère, Di(·). Chaque pays choisit son niveau d’émissions de sorte à maximiser cette fonction qui matérialise son bien-être. Celle-ci est indifféremment appelée « fonction de paiement » ou « fonction de bénéfice net ». Elle est définie pour des ensembles de stratégies accessibles par les pays Xi qui sont des intervalles compacts de l’ensemble des réels positifs. Pour cela, on définit Ki comme la capacité
maximale à polluer du pays i. Cette contrainte peut également être interprétée comme sa capacité maximale de production.
Ce jeu permet de traduire plusieurs idées :
i) Si on considère que les émissions des pays sont en corrélation directe avec leur niveau d’activités économiques, alors les bénéfices des pays sont des fonctions croissantes de leur propre niveau d’émissions.
ii) Plus les niveaux d’émissions individuels sont élevés, plus le niveau global des émissions est important et plus les dommages subis par les pays seront conséquents. Les dommages sont donc des fonctions croissantes du niveau des émissions agrégées. C’est à travers cette hypothèse que le problème considéré prend son caractère global.
iii) Si on considère une fonction de paiement dans son ensemble, celle-ci est décroissante avec la stratégie adoptée par les autres pays. Autrement dit, le jeu est un jeu à externalité négative : l’utilité d’un pays est d’autant plus faible que le niveau des émissions des autres est élevé. Par contre, si un pays accroît son niveau d’émissions, il n’est pas forcément mieux doté dans la mesure où ses bénéfices et ses dommages croissent simultanément.
1.2 Une particularisation du jeu
Dans la suite de l’énoncé on suppose que tous les pays sont symétriques. On entend par là que la forme des fonctions de bénéfice et de dommage est la même pour tous les pays. Dès lors, il n’est plus nécessaire d’indicer ces fonctions ainsi que la contrainte de capacité qui caractérise les pays. Cette hypothèse nous autorise en outre à identifier l’ensemble des pays N par sa taille, n. Le fait de postuler la symétrie des pays n’efface en rien l’idée principale qui est retranscrite par ce jeu : les décisions des pays sont interdépendantes dans le sens où les dommages subis par un pays dépendent de sa stratégie mais également de la stratégie agrégée des (n – 1) autres pays et la distribution des niveaux d’émissions entre les pays est sans intérêt pour ce dernier.
émissions globales. Elle est telle que z = x + y. La fonction de paiement du pays considéré se présente donc de la façon suivante :
) ( ) ( ) , (x y B x D x y f = − + . (1.2)
Nos résultats reposent sur l’hypothèse que les pays prennent leur décision simultanément. Chaque pays maximise son paiement en choisissant une stratégie appropriée, étant donné l’idée qu’il se fait sur les stratégies qui vont être adoptées par les autres. A partir de l’équation (1.2), on définit la correspondance de meilleure réponse individuelle d’un pays, X(y). Elle correspond à l’ensemble des solutions du problème de maximisation qui se pose à un pays. A l’équilibre, toutes les conjectures des pays concordent et aucun n’est incité à changer de stratégie de manière unilatérale, étant donné le choix des autres.
Pour étendre le cadre d’analyse sur lequel se sont appuyés les travaux antérieurs, on considère le jeu alternatif dans lequel le pays considéré choisit le niveau global des émissions z = x + y, étant donné la stratégie agrégée des (n – 1) autres pays y. Dès lors, on peut réécrire la fonction-objectif (1.2) de la façon suivante :
) ( ) ( ) , ( ) , ( ~ z D y z B y y z f y z f = − = − − . (1.3)
La correspondance de meilleure réponse d’un pays, qui est l’ensemble des solutions du problème de maximisation de la fonction (1.3), est noté Z(y). Toute l’analyse qui suit repose sur le signe de la dérivée seconde croisée de la fonction de paiement ~f(z,y) par rapport aux variables z et y. Si on note ∆ZY cette dérivée croisée, son signe permet de scinder l’analyse en deux cas bien distincts : le premier cas est celui où les variables z et y sont complémentaires :
∆ZY > 0 ; le second cas est celui où elles sont substituables : ∆ZY < 0.
Etant donné la fonction de paiement des pays~f(z,y), ∆ZY =−B′′(z−y). Tous deux sont définis sur l’ensemble
ϕ
={
(z,y):y ≥0,z≥ y}
. La relation linéaire qui existe entre les variables x, y et z implique que le signe de ∆ZY est directement lié à la forme de la fonction de bénéfice : si celle-ci est strictement concave (convexe), les fonctions de paiement des pays présentent des différences strictement croissantes (décroissantes). L’objet de notre analyse est de définir, dans chacun des cas, les propriétés des correspondances de meilleure réponse de chaque pays. Pour la suite de notre exposé, on fait les deux hypothèses minimales qui suivent :H1) B : R+ → R+ est deux fois continûment différentiable et non décroissante,
Ces hypothèses ne sont pas les plus générales qui soient. Si on se réfère au Théorème i.1 (Topkis, 1979), l’hypothèse centrale pour établir nos résultats est que les fonctions de paiement des pays présentent des différences croissantes ou décroissantes en (z, y)6. Le fait de recourir à des fonctions de bénéfice et de dommage différentiables permet cependant des interprétations économiques plus aisées.
Dans la mesure où, dans notre approche, les équilibres de Nash ne sont pas forcément uniques, on définit respectivement par X*, Y*, Z* et F*, l’ensemble des niveaux d’émissions d’équilibre pour un pays, l’ensemble des niveaux d’émissions d’équilibre des (n – 1) autres pays, l’ensemble des niveaux totaux d’émissions d’équilibre et l’ensemble des paiements d’équilibre pour chaque pays. Chaque fois que l’un de ces ensembles est réduit à un singleton (unicité de l’équilibre), il est noté par la lettre minuscule correspondante. De la même façon, lorsqu’ils sont définis, les éléments maximum et minimum d’un ensemble sont respectivement surlignés et soulignés. Par exemple