E QUILIBRE DE C OURNOT N ASH VERSUS EQUILIBRE DE
2. Définition et existence des équilibres dans le jeu à deux pays
2.2 Existence et caractérisation des équilibres dans chaque sous-jeu Il s’agit ici de définir les conditions sous lesquelles les ensembles d’équilibre de Cournot-
Nash et de Stackelberg sont non vides. Dans le cas des équilibres du jeu simultané, ces conditions d’existence sont plus larges que celles établies dans le cadre du jeu des émissions globales à N pays. On montre en effet que, quelles que soient les hypothèses sur les fonctions de bénéfice et de dommage, le jeu des émissions globales à deux pays est toujours un jeu supermodulaire. Encore une fois toute l’analyse repose sur le signe de la dérivée seconde croisée de la fonction de paiement des pays par rapport à x et y. En fonction de ce signe, le comportement d’équilibre des pays et les paiements qui y sont associés diffèrent. Pour établir l’ensemble de nos résultats, on fait les deux hypothèses minimales suivantes :
H3) Bi(·) est une fonction deux fois continûment différentiable et non décroissante, i = 1, 2 ;
H4) Di(·) est une fonction deux fois continûment différentiable et non décroissante, i = 1, 2.
3 Dans un jeu séquentiel à information parfaite, ce mode de résolution consiste à déterminer ce qui se passe à la
Par soucis de simplicité, notre analyse s’inscrit dans un cadre où les fonctions de paiement sont différenciables. La proposition qui suit expose les conditions minimales sous lesquelles CN est non vide lorsque les stratégies des deux pays sont substituables. Cette situation correspond au cas où la correspondance de meilleure réponse d’un pays est décroissante avec la stratégie adoptée par l’autre. Dans ce contexte, l’application des théorèmes relatifs aux jeux supermodulaires ne peut se faire que parce que le nombre de pays est restreint à deux. L’idée sous-jacente revient à considérer, pour l’un des deux pays, l’opposé de son ensemble de stratégies (Amir, 2005). Ainsi, si le Pays 2, par exemple, choisit le niveau d’émissions –y au lieu de y, les différences décroissantes en (x, y) se transforment en différences croissantes en (x, –y)4. Ce genre d’argument ne peut pas se généraliser aux jeux à plus de deux pays.
Proposition 2.1 :
Si, en plus des hypothèses H3 et H4, la fonction de dommage Di(·), (i = 1, 2) est strictement convexe,∀x,y ≥ 0et si∃Zi∈
[
0,Ki]
tel queBi(Z)−Di(Z)≤Bi(Zi)−Di(Zi),∀Z (i = 1, 2), alors le jeu des émissions globales à deux pays est un jeu supermodulaire. De plus, CN est non vide.La stricte convexité de la fonction de dommage assure que la fonction de paiement des deux pays présente des différences strictement décroissantes en (x, y). Si on vérifie en plus de cette hypothèse que la fonction de bénéfice de chaque pays est concave, l’équilibre est unique. Ce cas rejoint celui qui est traditionnellement mis en exergue dans la littérature. A contrario, si la fonction de bénéfice des deux pays est convexe, les correspondances de meilleure réponse sont fortement décroissantes et les fonctions de paiement ne sont plus nécessairement concaves. Dans cette éventualité, la seconde hypothèse de la Proposition 2.1 permet de garantir entre autre l’existence d’un équilibre asymétrique dans lequel un pays a des émissions positives, l’autre choisissant un niveau d’émissions nul (Cf. Proposition 1.4, chapitre 1).
Le Corollaire 2.1 résume les conséquences liées aux hypothèses de la Proposition 2.1 et qui nous sont utiles dans l’établissement de nos résultats à venir.
4
Vives (1990) exploite un argument alternatif. Dans un jeu sousmodulaire à deux joueurs, les sélections extrêmes de la correspondance de meilleure réponse de chaque pays br1 et br2 sont décroissantes et leur
composition,br1obr2:X1→X1est donc croissante. Le théorème de Tarski permet de conclure que cette dernière a
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Corollaire 2.1 :
Sous les hypothèses de la Proposition 2.1, les sélections extrêmes de la correspondance de meilleure réponse d’un pays sont non croissantes avec le niveau des émissions de son rival. En particulier, le point (x, y) où le Pays 1 (Pays 2) choisit son niveau d’émissions le plus élevé (le plus faible) appartient à CN. De plus, ce point repose sur la plus petite correspondance de meilleure réponse du Pays 2, br2(⋅) = min br2(⋅) et coïncide avec
l’équilibre de Nash le moins apprécié par ce dernier.
Une conséquence directe des hypothèses de la Proposition 2.1 est que les correspondances de meilleure réponse des pays sont décroissantes. En considérant l’opposé de l’ensemble des stratégies du Pays 2, on parvient à établir que l’ensemble des équilibres de Cournot-Nash possède un plus grand et un plus petit élément. Le plus grand élément noté(x,y)constitue le plus grand équilibre pour le Pays 1. Il lui procure le paiement à l’équilibre du jeu simultané le plus élevé. Le fait qu’il coïncide avec l’équilibre le moins apprécié par le Pays 2 est une conséquence directe du Théorème i.4 (Milgrom, Roberts, 1990b). De la même façon, on définit le point (x,y)comme le plus petit élément dans l’ensemble des équilibres de Cournot- Nash. Celui-ci procure le paiement d’équilibre le plus faible pour le Pays 1 et le plus élevé pour le Pays 2.
Par conséquent, lorsque les stratégies des pays sont substituables, on sait qu’il existe au moins un équilibre de Cournot-Nash en stratégies pures. De plus, on peut définir un ordre de préférence sur chacun d’eux et cet ordre est inversé en fonction du pays que l’on considère. Il nous reste à établir les conditions d’existence des équilibres de Cournot-Nash lorsque les stratégies des deux pays sont complémentaires, ainsi que les comportements qui y sont attachés. Dans cette configuration, l’application des théorèmes de la classe des jeux supermodulaires est directe.
Proposition 2.2 :
Si, en plus des hypothèses H3 et H4, la fonction de bénéfice Bi(·), (i = 1, 2) est strictement concave et la fonction de dommage Di(·), (i = 1, 2) présente des différences strictement décroissantes en (x, y), le jeu des émissions globales est supermodulaire avec l’ordre usuel sur les ensembles de stratégies et CN est non vide.
Le fait que la fonction de dommage de chaque pays présente des différences strictement décroissantes en (x, y) assure que les fonctions de paiement présentent des différences croissantes en (x, y). Cependant, étant donné la relation linéaire entre les variables x et y, la cohérence globale du jeu nécessite une hypothèse supplémentaire sur les fonctions de bénéfice des pays car, sans celle-ci, il existe une contradiction entre l’évolution des niveaux individuels d’émissions et l’évolution du niveau global des émissions. En d’autres termes, le niveau global des émissions doit nécessairement être croissant si les niveaux individuels de tous les pays sont croissants. Cette cohérence est assurée grâce à l’hypothèse de stricte concavité des fonctions de bénéfice. Ce point a déjà fait l’objet d’une discussion dans l’analyse du jeu des émissions globales à N pays, à laquelle le lecteur peut se reporter. Par ailleurs, la relation linéaire entre les variables du jeu implique que, dans la Proposition 2.2, l’hypothèse de différences croissantes de la fonction de dommage est strictement équivalente à celle de concavité.
De la même façon que précédemment, le Corollaire 2.2 résume les principales conséquences de la Proposition 2.2 qui nous sont utiles dans l’établissement des résultats à venir.
Corollaire 2.2 :
Sous les hypothèses de la Proposition 2.2, les sélections extrêmes de la correspondance de meilleure réponse d’un pays sont non décroissantes avec le niveau des émissions de son rival. En particulier, le point (x,y) où les deux pays choisissent leur niveau d’émissions le plus faible appartient à CN et procure le paiement d’équilibre le plus élevé pour les deux pays.
Sous les hypothèses de la Proposition 2.2, il n’est pas besoin d’inverser l’ordre des stratégies de l’un des pays. Le jeu présente naturellement des complémentarités stratégiques et les correspondances de meilleure réponse sont strictement croissantes. L’ensemble des équilibres du jeu simultané possède donc un plus grand et un plus petit élément, ces derniers étant Pareto ordonnés. Par le Théorème i.3 (Milgrom, Roberts, 1990b), l’équilibre qui est préféré par les deux pays est celui où ces derniers choisissent leur niveau d’émissions le plus faible. Aussi,(x,y)procure le paiement à l’équilibre de Cournot-Nash le plus élevé. A contrario,
l’équilibre(x,y)génère le paiement le plus faible pour les deux pays, dans le jeu simultané. Cette relation entre les niveaux d’émissions et les paiements d’équilibre est liée à la nature des externalités générées par le comportement stratégique des agents.
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Ainsi, lorsque les stratégies des pays présentent des complémentarités, il existe au moins un équilibre de Cournot-Nash en stratégies pures. De plus, il est possible de définir un ordre de préférence sur chacun d’eux. Il nous reste maintenant à établir l’existence des équilibres de Stackelberg. Pour cela, on s’appuie sur les travaux de Hellwig, Leininger (1987). Ceux-ci portent sur l’existence des équilibres parfaits en sous-jeux dans les jeux à information parfaite. Dès lors que les ensembles de stratégies sont compacts et que les fonctions de paiement sont continues en leur propre stratégie, les équilibres de Stackelberg existent et S1 et S2 sont non vides. Le lemme qui suit permet de les caractériser.
Lemme 2.1 :
Sous les hypothèses H3 et H4, l’ensemble des équilibres de Stackelberg est tel que
{
( , ):( , ) ()}
max
arg 0 ∈ ⋅
= xi≥ i j
i f x y x y GR br
S . De plus, tout point de Si procurent au leader le
même paiement qui est au moins aussi élevé que le paiement à son équilibre de Cournot-Nash préféré.
En d’autres termes, tout équilibre de Stackelberg repose sur la plus petite correspondance de meilleure réponse du suiveur. De plus, même si le leader possède plusieurs stratégies qui maximisent son paiement, on peut supposer l’unicité dans le sens où sa fonction de paiement apparaît comme une fonction continue à une variable dans laquelle la correspondance de meilleure réponse du suiveur constitue un paramètre : s’il existe une multiplicité d’équilibres pour le leader, celui-ci choisira toujours le niveau d’émissions qui lui procure le paiement le plus élevé. Par ailleurs, au regard des Corollaires 2.1 et 2.2, on voit que les équilibres de Nash préférés reposent toujours sur la plus petite correspondance de meilleure réponse du rival. Dans la mesure où le leader, étant donné sa position, a la possibilité de choisir son niveau d’émissions préféré et que celui-ci repose sur la même correspondance, il en résulte que toute stratégie du leader lui procure un paiement au moins aussi élevé que celui qu’il obtiendrait à son équilibre de Nash préféré.
Etant donné les équilibres des jeux simultané et séquentiel, il convient maintenant de comparer les paiements qui y sont associés et ainsi établir quels sont les équilibres parfaits en sous-jeux du jeu étendu. Dans la section qui suit on montre que le paiement d’un pays en tant que leader est toujours strictement plus élevé que celui qu’il obtient à l’équilibre du jeu simultané. En revanche, on montre également qu’en fonction de la nature des interactions entre les pays, ceux-ci peuvent préférer leur paiement en tant que suiveur plutôt que celui à l’équilibre du jeu simultané.