4. Coopération versus non coopération : position relative des solutions d’équilibre
4.1 Caractérisation de la solution de coopération totale
Dans ce paragraphe, on établit l’existence d’une solution optimale du point de vue de l’ensemble des pays dans le jeu des émissions globales. Une telle solution correspond à la situation dans laquelle tous les pays concernés par le problème environnemental coopèrent. Dans ce contexte, si on autorise que les paiements des pays peuvent se compenser mutuellement, les niveaux d’émissions efficaces sont ceux qui maximisent la somme des paiements individuels : les pays ne peuvent mieux faire que de choisir le niveau des émissions qui maximise le paiement joint de tous les pays. D’une manière générale, celui-ci se présente de la façon suivante :
(
)
, , , 0 ) ( 1 1 1 0∑
=∑
−∑
∑
∀ ∈ ≥ = = = = = = ≥ C i N k k k i N i i N j j j i i i xi f B x D x i j k N et x Max .Par ce biais, les pays prennent en considération l’impact négatif de leurs émissions sur eux- mêmes ainsi que sur les autres pays. Etant donné l’hypothèse de symétrie des pays, on peut réécrire la fonction-objectif de la situation de coopération totale de la façon suivante :
[
] [
]
∑
= − = −≥ i i
z f n B x D z n B z n D z
Max 0 ( ) ( ) ( / ) ( ) . (1.5)
Cette simplification implique nécessairement que la solution est symétrique. En d’autres termes, la question du partage des bénéfices de la coopération entre les pays est triviale : chacun obtient la même chose. Par ailleurs, les hypothèses H1 et H2 posées à la section 1 sur les fonctions de dommage et de bénéfice restent vraies. Ainsi, la continuité des fonctions de paiement individuelles assure celle de leur somme. De plus, les niveaux d’émissions des pays sont nécessairement positifs et toujours bornés supérieurement par K. On notera XC et ZC respectivement, l’ensemble des solutions globalement optimales au plan individuel et au niveau global. Si la solution est unique, on utilise la lettre minuscule correspondante. De manière similaire, on note f C le paiement individuel qui résulte de l’adoption de ces niveaux d’émissions. A partir de ces conditions, la proposition qui suit établit l’existence d’une solution globalement optimale.
Proposition 1.10 :
Sous les hypothèses standards H1 et H2 et étant donné l’équation (1.5), le jeu des émissions globales possède au moins une solution globalement optimale qui est fonction du nombre de pays concernés par le problème environnemental.
L’établissement de la Proposition 1.10 est possible car, quelle que soit la nature des interactions entre les pays dans la situation de non coopération, la somme des paiements individuels est une fonction supermodulaire11. De plus, l’espace des stratégies est un intervalle compact et non vide de l’ensemble des réels et les hypothèses H1 et H2 assurent la continuité12 du paiement agrégé en la variable stratégique z. Par conséquent, l’ensemble des solutions globalement optimales du problème de maximisation de la somme des paiements individuels est compact, non vide et possède un plus petit et un plus grand élément, notés respectivement ZC et
ZC. On peut donc dire qu’à tout équilibre de la situation de non coopération, il est possible d’associer une solution qui est optimale du point de vue de l’ensemble des pays.Par ailleurs, les sélections maximum et minimum dans l’ensemble des solutions ZC sont fonction du nombre de pays concernés par le problème environnemental. Généralement, ces fonctions sont croissantes (décroissantes) en n si le paiement agrégé présente des différences croissantes (décroissantes) en (z, n). En d’autres termes, le niveau des émissions agrégées globalement optimal dépend du nombre de pays en interaction et peut croître ou décroître avec le nombre de ces derniers. Dans notre cas, on montre que, lorsque les stratégies des pays sont fortement substituables dans la situation de non coopération, la solution optimale du point de vue de l’ensemble des pays est toujours décroissante en n. En revanche, dans le cas où les stratégies des pays sont globalement complémentaires, il nous faut faire une hypothèse supplémentaire. En effet, dans ce cas, l’évolution des émissions globales dépend de l’élasticité des bénéfices marginaux par rapport à n (si cette élasticité est inférieure à -1, le niveau global des émissions à l’optimum social est croissant avec le nombre de pays en interaction ; si elle est supérieure à -1, ce niveau est décroissant en n). Ce point transparaît à travers la preuve des propositions qui suivent et qui caractérisent la solution globalement optimale pour chacun des cas étudiés à la section 2, mais surtout à travers la preuve de la Proposition 1.16 (voir Annexe A).
Proposition 1.11 :
Sous les hypothèses de la Proposition 1.2, il existe une unique solution globalement optimale qui est telle que les niveaux d’émissions individuels xC sont non croissants en n.
A l’unique équilibre de la situation de non coopération, quand les stratégies des pays sont faiblement substituables, il correspond une unique solution optimale pour l’ensemble des pays. Ce résultat est directement lié au fait que la concavité des fonctions de paiement individuelles, qui résulte des hypothèses de la Proposition 1.2, se répercute au niveau du paiement agrégé. De plus, on montre que, sous ces conditions, l’optimalité requiert que le niveau des émissions de chaque pays xC doit être d’autant plus faible que ces derniers sont nombreux. En revanche, les hypothèses retenues jusque là ne nous permettent pas de conclure quant à l’évolution des émissions globales zC, qui peuvent être soit d’autant plus grandes, soit d’autant plus petites, que le nombre de pays concernés par le problème environnemental est grand.
Proposition 1.12 :
Sous les hypothèses des Propositions 1.4 a) et 1.4 b), respectivement, il existe une unique solution globalement optimale qui est telle que les niveaux d’émissions individuels et globaux, xC et zC, sont non croissants en n.
Lorsque les pays sont caractérisés par des rendements fortement croissants dans leurs activités de consommation et de production, on a vu qu’il existait deux types d’équilibre de Nash en stratégies pures. Dans le premier cas où seul un sous-ensemble de pays possède des émissions positives à l’équilibre, la solution globalement optimale conserve la même configuration. Elle est telle que m pays réduisent leur niveau individuel d’émissions, les (n - m) autres ayant toujours des émissions nulles. De plus, on montre que l’utilité totale générée par cette solution est plus grande que lorsque le même niveau global d’émissions zC est réparti sur les n pays.
Dans le second cas, l’hypothèse de concavité des fonctions de paiement individuelles se répercute à nouveau au niveau de leur somme ; ce qui garantit l’existence d’une unique solution. Enfin, quelle que soit la solution considérée, la convexité des fonctions de bénéfice suffit à garantir que le paiement de chaque pays à l’optimum présente des différences croissantes en (z, n). Le niveau global des émissions est alors d’autant moins élevé que le nombre de pays en interaction est grand, phénomène qui se répercute nécessairement sur les niveaux individuels d’émissions.
Proposition 1.13 :
Sous les hypothèses H1 et H2, les paiements individuels issus de la coopération totale entre les pays sont toujours décroissants en n.
Quelle que soit la nature des interactions d’origine, plus le nombre de pays est important, plus les externalités liées aux activités de consommation et de production ont une grande envergure, dans le sens où elles se répercutent sur d’autant plus de pays. Ce résultat est trivial au regard de ceux établis précédemment.
Dans ce paragraphe, on a établi l’existence d’au moins une solution globalement optimale pour chacune des situations qui pouvaient émerger en fonction des hypothèses sur les fonctions de bénéfice et de dommage. L’ensemble de ces solutions se réduit en fait à un singleton, excepté sous les hypothèses de la Proposition 1.3 (paragraphe 2.1). Dans ce cas de figure, il peut exister plusieurs solutions globalement optimales et il nous faut faire des hypothèses supplémentaires sur les fonctions de bénéfice et de dommage pour connaître leur sens d’évolution par rapport au nombre de pays concernés par le problème environnemental. On ne peut pas dire non plus a priori, si le niveau global des émissions croît ou décroît en n. Plutôt que d’étudier chaque configuration, on fait le choix d’analyser la réactivité de ces solutions par rapport au paramètre n, au regard de la réactivité des équilibres de la situation de non coopération (paragraphe 3.1). En d’autres termes, on cherche à établir si le niveau global des émissions globalement optimal ZC croît ou décroît, plus ou moins que le niveau global des émissions à l’équilibre de Nash Z*, en fonction du nombre de pays concernés par le problème environnemental.