Spectre de la matrice de transfert

Comme montr´e dans l’Eq. (2.58), nous sommes int´eress´es par le spectre de T , car `a condition de connaˆıtre les amplitudes αk, on peut calculer la fonction de partition. Le spectre de T n’est

46 CHAPITRE 2. CARACT ´ERISATION DU COMPORTEMENT CRITIQUE

Q

Fig. 2.1 – Repr´esentation graphique des relations de commutation de l’alg`ebre de Temperley- Lieb. On utilise la repr´esentation en boucles et le fait qu’une boucle a un poids √Q.

pas quelconque, notamment au point fixe, o`u l’invariance conforme est pr´esente. Consid´erons pour le moment des CL transverses p´eriodiques. Alors, en comparant les expressions (2.57) et (2.42), on voit que T joue un rˆole analogue `_{a exp(−H}L). Ce r´esultat est intuitif car, en

consid´erant l’axe horizontal comme un axe des temps, T peut ˆetre vu comme un op´erateur d’´evolution durant un temps ´egal au pas du r´eseau. L et N ont ainsi des d´efinitions ´equivalentes sections 2.1 et 2.2, except´e que section 2.1 ils sont d´efinis dans la limite continue, tandis que section 2.2 ils sont d´efinis `a l’´echelle du r´eseau. Par analogie avec l’Eq. (2.46), on d´efinit une charge centrale effective ceff(L) et des dimensions d’´echelle effectives xeff par [127],[41],[15] :

fk(L) = −

πceff(L)

6L2 +

2πxeff(L)

L2 , (2.89)

o`u on a pos´e fk= −<sub>b L</sub>1 log λk, b ´etant le facteur d’isotropie du r´eseau. b correspond `a la longueur

d’un pas de temps `a l’´echelle du r´eseau. Il vaut 1 pour un r´eseau carr´e (lorsqu’on se propage selon un de ses axes), et √<sub>2</sub>3 pour un r´eseau triangulaire. Cela revient `a normaliser les fk par

unit´e de surface du r´eseau.

Il faut noter que ceff(L) et xeff d´ependent de L, et que donc l’Eq. (2.89) ne dit pas que les

corrections de taille finie aux fk sont en _L1. En pratique, on proc`ede de la fa¸con suivante : on

consid`ere d’abord la valeur propre la plus grande de T , qui correspond donc au niveau d’´energie le plus bas f0, pour des largeurs L et L + 1, et on d´etermine ceff(L) (xeff(L) ´etant par d´efinition

nul). Ensuite, on consid`ere les valeurs propres plus basses et on d´etermine les xeff(L). Souvent,

pour am´eliorer la convergence de ces grandeurs, on rajoute un terme en _L14 [41], ce qui permet

d’utiliser trois largeurs L − 1, L et L + 1 pour d´eterminer ceff(L) et les xeff(L). Dans les cas

simples o`u tous les fk contribuent, par exemple dans le cas de CL longitudinales p´eriodiques

dans la repr´esentation en spins, l’´energie libre par unit´e de surface du syst`eme est donn´ee par f0(L) :

f0(L) = −

πceff(L)

6L2 . (2.90)

ceff(v, L) (nous ´ecrivons maintenant explicitement la d´ependance en v) permet de localiser

les points fixes, en utilisant ce qu’on appelle la renormalisation ph´enom´enologique, qui consiste `

a voir comment le syst`eme se comporte lorsqu’on change sa taille L. Lorsque la largeur L passe de L1 `a L2, on consid`ere que le param`etre de temp´erature de d´epart v1 est renormalis´e en v2

tel que :

2.2. MATRICE DE TRANSFERT 47

En effet, ceff(v, L) est directement li´e `a l’´energie libre ce qui rend cette fa¸con de proc´eder

intuitive, mˆeme si elle n’est pas rigoureuse. Les points fixes vf correspondent donc aux points

dont la valeur de la charge centrale effective ceff(vf, L) ne d´epend pas de L, pour L grand

(pour L petit, la proc´edure ´etant approch´ee, il y a une d´ependance en L, il faut donc avoir des largeurs suffisamment grandes). Il y a deux types de points fixes : ceux stables dans l’I.R., attractifs lorsque L augmente, et ceux stables dans l’U.V., r´epulsifs lorsque L augmente. Notons que les points fixes correspondent donc `a des minima et des maxima de ceff. De plus, si l’on

est dans les conditions de validit´e du th´eor`eme c, on s’attend `a ce que les points fixes stables dans l’I.R. et stables dans l’U.V. correspondent respectivement `a des minima et des maxima de ceff. ceff est donc l’analogue dans le cas discret de la fonction de Zamolodchikov qui ´etait

d´ecroissante par renormalisation et qui, aux points fixes, ´etait ´egale `a la charge centrale. Un cas particulier, n’existant pas pour le mod`ele de Potts, serait un point stable dans l’I.R. d’un cˆot´e et dans l’U.V. de l’autre, auquel cas ce point fixe ne serait pas un extremum de ceff. De la

mˆeme mani`ere, les xeff sont ´egaux aux dimensions d’´echelle des champs conformes aux points

fixes. ceff et les xeff permettent donc de localiser et de d´eterminer les caract´eristiques des points

fixes.

Cette m´ethode de d´etermination des points fixes est d’autant plus pr´ecise que l’espace sur lequel chercher est petit. C’est pourquoi dans le chapitre 1, on a utilis´e l’autodualit´e afin de r´eduire cet espace. Revenons au cas de deux mod`eles coupl´es sur r´eseau triangulaire, sans interaction `a trois spins. Dans ce cas, on a un espace autodual de dimension 1. Pour localiser les points fixes, nous avons ´ecrit une matrice de transfert dans la repr´esentation en boucles (en proc´edant de fa¸con l´eg`erement diff´erente de pr´ec´edemment), et d´etermin´e la charge centrale effective le long de cet espace. Les d´etails de la m´ethode et des r´esultats, donn´es dans [5], seront expos´es dans la section 2.3.

En fait, la m´ethode peut pr´esenter des difficult´es, car des CL p´eriodiques sur r´eseau discret peuvent correspondre `a des CL twist´ees dans la limite continue ! C’est par exemple le cas pour un r´eseau triangulaire au point fixe antiferromagn´etique, `a cause de la frustration. Lorsque L est pair, les CL sont bien p´eriodiques dans la limite continue, mais lorsque L est impair, dans la limite continue il y a une ligne de frustration, comme on peut le comprendre intuitivement, des spins voisins voulant ˆetre dans des ´etats diff´erents. Si on veut donc avoir acc`es `a la charge centrale c, il faut donc consid´erer uniquement des largeurs L paires, tandis que consid´erer des largeurs impaires donne une charge centrale effective valant c − 12xd d’apr`es l’Eq. (2.89), et

donc permet d’avoir acc`es `a la dimension xdde l’op´erateur de d´esordre. Notons aussi que selon

les repr´esentations, on n’obtient pas forc´ement les mˆemes op´erateurs. Cela est dˆu au fait que les amas ne sont pas des objets locaux par rapport aux spins et r´eciproquement. Ainsi, certains op´erateurs vont exister dans les deux rep´esentations, tandis que d’autres non (les op´erateurs correspondant `a une amplitude nulle dans la repr´esentation en spins). Par exemple, T contient l’op´erateur de spin dans la repr´esentation en spins, mais pas dans la repr´esentation en amas : cet op´erateur n’intervient pas lorsque les CL longitudinales sont libres. Par contre, dans le chapitre suivant, nous allons g´en´eraliser la repr´esentation en amas `a des CL longitudinales p´eriodiques, et nous verrons que la matrice de transfert est alors plus grande, et contient l’op´erateur de spin. Le cas de CL transverses fix´ees ou libres est analogue, except´e qu’il n’y a plus qu’un secteur holomorphe, comme expliqu´e pr´ec´edemment, et de ce fait des facteurs sont modifi´es. De plus, il y a des termes de bord non universels de la forme gk

48 CHAPITRE 2. CARACT ´ERISATION DU COMPORTEMENT CRITIQUE

effectives heff sont d´efinies par [66] :

fk(L) = gk(L) L − πceff(L) 24L2 + πheff(L) L2 . (2.92)

En proc´edant comme pour les CL p´eriodiques, on d´etermine les ceff et heff, et on identifie la

th´eorie avec une th´eorie conforme avec des CL α et β donn´ees. L`a encore, les CL dans la limite continue ne sont pas forc´ement triviales, d’autant plus que les CL discr`etes ne sont pas les mˆemes selon la repr´esentation choisie. Par exemple, des CL libres dans la repr´esentation en spins correspondent `a des CL fix´ees dans la repr´esentation en boucles.