Diagramme de Pasquier

Nous exposons ici les travaux de Pasquier [23], que nous avons l´eg`erement g´en´eralis´es au cas de x quelconque dans notre article [21]. Comme dans le cas du mod`ele de Potts, on peut effectuer un d´eveloppement en amas de la fonction de partition ZRSOS= Tr[T_RSOSN ], en associant `a I un

trait vertical et `a ei un trait horizontal. Une configuration possible d’amas est repr´esent´ee dans

la Fig. (4.2). Notons qu’il suffit de donner la configuration d’amas sur le r´eseau direct, comme la configuration d’amas sur le r´eseau dual est alors fix´ee (par les r`egles de dualit´e habituelles). La contribution d’une configuration d’amas `a la fonction de partition ZRSOS du mod`ele RSOS

consiste en :

1. un facteur global de QS2, provenant du pr´efacteur QL2 de l’Eq. (4.11),

2. un facteur de x pour chaque lien direct colori´e,

3. un facteur ind´ependant de x, fonction uniquement de la topologie des amas directs et duaux, qu’on note w.

Pour d´eterminer le poids w, on utilise un diagramme de Pasquier, repr´esent´e Fig. (4.3). Les r`egles pour tracer le diagramme de Pasquier associ´e `a une configuration d’amas sont les suivantes. Chaque amas est repr´esent´e par un site. Les sites correspondant `a des amas voisins, i.e. ayant une fronti`ere en commun (on rappelle que les boucles sont d´efinies sur le r´eseau m´edial

80 CHAPITRE 4. MOD `ELES RSOS

Fig. 4.3 – Diagramme de Pasquier correspondant `a la configuration d’amas de la Fig. (4.2). Les amas directs, resp. duaux, sont repr´esent´es par des cercles pleins, resp. vides, et les amas voisins sont reli´es par un lien. Les fl`eches indiquent si les amas entourent ou sont entour´es par les boucles les s´eparant. La diagramme a une structure en arbre, `a l’exception des amas non triviaux qui forment un cycle.

et d´elimitent les amas) sont reli´es par un lien orient´e. Notons que parmi deux amas voisins, l’un est forc´ement direct et l’autre dual. L’orientation du lien est choisie telle que si le lien est dirig´e du site A au site B, alors la boucle commune entoure l’amas A et est entour´ee par l’amas B (l’amas B est plus ”grand” que l’amas A). On d´efinit les degr´es bin et bout d’un amas donn´e

respectivement comme le nombre de fronti`eres entour´ees par l’amas et entourant l’amas. On n’oriente pas les liens reliant des amas non triviaux, car dans ce cas cette notion n’a pas de sens. Le diagramme de Pasquier a la structure suivante :

1. le diagramme est bicoloriable : on repr´esente les amas directs, resp. duaux, par des cercles pleins, resp. vides.

2. les sites correspondant `a des amas non triviaux et les liens non orient´es forment un cycle. On d´efinit l’ordre n du diagramme comme le nombre de liens non orient´es. D’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente, n est pair. Si n = 0 le diagramme est d´eg´en´er´e : il n’y a qu’un seul amas non trivial, direct ou dual. Si n est non nul, il y a n₂ amas non triviaux directs et n₂ amas non triviaux duaux.

3. chaque site correspondant `a un amas non trivial est la racine d’un arbre (possiblement inexistant), dont les sites correspondent `a des amas triviaux et dont les liens sont dirig´es vers la racine. En effet, les amas non triviaux ont une unique fronti`ere externe, et donc ont tous bout = 1.

D´eterminons maintenant le poids w associ´e `a une configuration d’amas. Il faut sommer la partie du poids correspondant `a la configuration d’amas sur toutes les configurations de hauteurs compatibles avec cette derni`ere. w peut ˆetre d´etermin´e `a l’aide du diagramme de Pasquier, en utilisant la matrice d’incidence G_p−1. Le poids d’un amas de hauteur h fix´ee est Sbout−bin

h . Il

reste `a effectuer la sommation sur les valeurs possibles des hauteurs. Pour cela, on consid`ere le diagramme obtenu en enlevant une branche `a l’une des extr´emit´es d’un arbre du diagramme, et on appelle w′ _{le poids correspondant. En notant j la hauteur du site supprim´e et i celle de son}

parent, et w_i′ le poids w′ lorsque la hauteur du parent est fix´ee `a i (w′ =Pp−1

i=1wi′), on d´emontre

la relation suivante entre w et w′ : w = p−1 X i=1 w_i′(Si)−1 p−1 X j=1 (G_p−1)ijSj = p−1 X i=1 w′_i(Si)−1pQ Si (4.17) = p−1 X i=1 w_i′pQ = pQ w′ . (4.18)

4.2. CAS DES CL TORO¨IDALES 81

Pour ´ecrire la premi`ere ´egalit´e, on a tenu compte du fait que la hauteur j ´etait supprim´ee dans w′<sub>i</sub>, et que bin pour la hauteur i diminuait de 1 lorsqu’on passe de w `a w′. La contrainte

RSOS entre les hauteurs voisines i et j a ´et´e impl´ement´ee `a l’aide de la matrice d’incidence G<sub>p−1</sub>. Ensuite, on a utilis´e que (Sj) est un vecteur propre de Gp−1, de valeur propre√Q. Apr`es

sommation sur i, on obtient le r´esultat final w =√Q w′. En it´erant le processus, on en d´eduit que toutes les boucles triviales ont un poids√Q, comme pour le d´eveloppement en boucles du mod`ele de Potts, et ainsi que :

w = Ql−n2 w_c , (4.19)

o`u l est le nombre de boucles de la configuration, i.e. le nombre total de liens du diagramme de Pasquier, et donc l − n est le nombre de boucles triviales, i.e. le nombre de liens situ´es dans les arbres du diagramme de Pasquier. wc est le poids du cycle du diagramme de Pasquier, et

correspond aux boucles non triviales. Nous allons maintenant voir que les poids des boucles non triviales sont diff´erents entre le mod`ele RSOS et le mod`ele de Potts.

Comme les amas non triviaux ont un poids 1 pour une hauteur fix´ee, wc est simplement

´egal au nombre de configurations de hauteurs compatibles avec le cycle. Il est donc ´egal au nombre de chemins ferm´es de n pas sur le diagramme de Dynkin :

wc = Tr[Gn_p−1] = p−1 X k=1  2 cos kπ p n , (4.20)

o`u l’on a utilis´e l’expression des valeurs propres de G<sub>p−1</sub>, donn´ee par l’Eq. (4.2) (il n’est pas `

a priori ´evident que le terme de droite est un entier). Notons que contrairement au cas des boucles triviales, toutes les valeurs propres de G_p−1contribuent, et qu’on ne peut pas en g´en´eral interpr´eter wc comme un produit de poids individuels de boucles.

4.2.2 Dualit´e

Le fait d’avoir consid´er´e le mod`ele RSOS pour n’importe quelle temp´erature x permet d’´ecrire des relations de dualit´e, comme nous l’avons expliqu´e dans [21]. A cause des contraintes RSOS, les hauteurs situ´ees sur le r´eseau dual ont une parit´e fix´ee et oppos´ee `a celle des hau- teurs situ´ees sur le r´eseau direct. On peut donc d´efinir Z_RSOSeven (x) et Z_RSOSodd (x), les fonctions de partition du mod`ele RSOS avec respectivement des hauteurs duales paires et impaires. On a simplement ZRSOS(x) = ZRSOSeven (x) + ZRSOSodd (x). Comparons les poids des diagrammes de Pas-

quier dans Z_RSOSeven (x) et Z_RSOSodd (x). Comme les boucles triviales ont un poids √Q (l’argument donn´e pr´ec´edemment n’est pas modifi´e), il suffit de consid´erer le poids wc des cycles.

Dans le cas d’un diagramme non d´eg´en´er´e, i.e. d’ordre n 6= 0, les nombres d’amas non triviaux directs et duaux sont ´egaux, n = 2k ´etant pair. w_ceven, poids du cycle dans Z_RSOSeven (x), est ´egal au nombre de configurations de hauteurs compatibles avec le cycle et paires lorsqu’elles sont duales. Il s’agit donc des configurations de hauteurs {h1, h2, . . . , h2k} telles que hi= 1, 2, . . . , p−1

et |hi+1−hi| = ±1, avec h1 pair (i ´etant d´efini modulo 2k, et i = 1 correspondant `a une hauteur

duale). En changeant la num´erotation des amas du cycle i → i + 1 (mod 2k), chacune de ces configurations de hauteurs est associ´ee bijectivement `a une configuration de hauteurs compatible avec h1 impair. Par cons´equent, wevenc = wcodd= w2c pour un cycle non d´eg´en´er´e.

L’argument ne s’applique plus pour un cycle d´eg´en´er´e, car il n’y a alors qu’un seul amas non trivial, percolant selon les deux directions du tore. En comptant simplement le nombre de

82 CHAPITRE 4. MOD `ELES RSOS

valeurs d’une parit´e donn´ee, on obtient que :

weven_c =hp 2 i , w_codd= p − 1 2