M´ethode du gaz de Coulomb

De nombreux r´esultats sur les syst`emes critiques en dimension 2 ont ´et´e obtenus en utili- sant le gaz de Coulomb. La m´ethode consiste `a reformuler le mod`ele consid´er´e en un mod`ele d’interface, puis `a montrer que sous renormalisation les propri´et´es critiques du mod`ele sont d´ecrites par un champ libre bosonique. Le propagateur correspondant ´etant logarithmique, et se comportant donc le potentiel d’interaction entre deux charges en dimension deux, la m´ethode a ´et´e appel´ee m´ethode du gaz de Coulomb [129]. Une excellente revue sur cette m´ethode a ´et´e donn´ee par Nienhuis [128]. Di Francesco, Saleur et Zuber se sont int´eress´es dans [29] `a son int´egration dans le formalisme de la th´eorie conforme des champs et `a son application au calcul de la fonction de partition du mod`ele de Potts avec des CL toro¨ıdales. Read et Saleur ont repris et ´etendu ce calcul dans [130]. Notons d`es le d´epart que, du fait de la m´ethode utilis´ee, ces cal- culs ne sont valables que pour un mod`ele de Potts critique (x = xF M) et dans la limite continue.

Cependant, les amplitudes obtenues sont en fait correctes pour un r´eseau de n’importe quelle taille et pour n’importe quelle temp´erature. Cela est dˆu `a des raisons alg´ebriques analogues `a celles du chapitre 3, o`u l’´etude des repr´esentations de l’alg`ebre de Temperley-Lieb permettait de g´en´eraliser des r´esultats de th´eorie conforme. Nous pr´esenterons ces m´ethodes alg´ebriques dans la sous-section suivante.

Di Francesco, Saleur et Zuber [29] ont d´ecompos´e la fonction de partition Z en deux parties Zaet Zb correspondant respectivement aux configurations non d´eg´en´er´ees et aux configurations

d´eg´en´er´ees (voir la sous-section 4.2.1) :

Z = Za+ Zb . (6.1)

Read et Saleur, en g´en´eralisant les calculs effectu´es dans [29], ont calcul´e Zaet Zb, et ont obtenu

que [130] : Za = 1 η(y)η(¯y)( X P y∆e0+P,0(g)_y¯∆¯e0+P,0(g) + X l>0,m>0,P :m|l,P ∧m=1 Λ(l, m; e0)y∆P /m,l(g)y¯ ¯ ∆P /m,l(g)_{) (6.2)} Zb = Q − 1 2 1 η(y)η(¯y)( X P y∆12 +P,0(g)y¯ ¯ ∆1 2 +P,0(g) + X l>0,m>0,P :m|l,P ∧m=1 Λ(l, m;1 2)y ∆P /m,l(g)_y¯∆¯P /m,l(g)_{) . (6.3)}

e0est li´e au nombre d’´etats Q par√Q = 2 cos(πe0), i.e. est ´egal `a 1_p, et g vaut simplement 1−e0.

Les ∆e,l et ¯∆e,l correspondent aux dimensions holomorphes et antiholomorphes du mod`ele dans

6.1. ETUDES EXISTANTES SUR LES CL TORO¨IDALES 115

´electrique et magn´etique des op´erateurs), et sont donn´es par : ∆e,l(g) = 1 4  e √_g + l√g 2 (6.4) ¯ ∆e,l(g) = 1 4  e √_g − l√g 2 , (6.5)

tandis que les amplitudes associ´ees sont : Λ(l, m; e0) = 2 X d>0:d|l µ _m∧dm
φ l d
lφ _m∧dm
cos(2πde0) . (6.6)

µ et φ sont respectivement la fonction de M¨obius et la fonction totient d’Euler [137]. µ(n) vaut (−1)r_{, si n est un entier s’´ecrivant comme le produit de r nombres premiers distincts, µ(1) vaut}

1, et µ(n) vaut 0 dans les autres cas. φ(n) est le nombre d’entiers m tels que 1 ≤ m ≤ n et n ∧ m = 1.

P correspond `a une polarisation. Le sens physique de l est la moiti´e du nombre de pattes dans la repr´esentation en boucles. m est un nombre num´erotant les diff´erents op´erateurs pour l donn´e. Ce qui nous int´eresse, pour comparer avec la suite, ce sont les nombres de ponts. l ponts correspond `a 2l pattes, et donc les Λ(l, m; e0) donnent les amplitudes au niveau l. L’exception

est pour l = 1, `a cause des configurations d´eg´en´er´ees (qui ont un amas non trivial, mais aucune boucle non triviale, voir la sous-section 4.2.1). l = 1 correspond en fait `a l’op´erateur de spin et doit ˆetre trait´e s´epar´ement. On trouve que b(0)= 1 (op´erateur identit´e) et b(1)_{= Q − 1, tandis} que les amplitudes pour l ≥ 2 sont donn´ees par :

b(l,m)= Λ(l, m; e0) + (Q − 1)Λ  l, m;1 2  . (6.7)

Il faut bien noter que, contrairement au cas des CL cycliques, il y a plusieurs amplitudes au niveau l, num´erot´ees par m. m ´etant un diviseur de l, on en d´eduit que le nombre d’amplitudes au niveau l est ´egal au nombre de diviseurs de l, que nous notons q(l). Le d´efaut de cette approche est qu’elle n’est valable que dans la limite continue `a un point critique.

6.1.2 M´ethode alg´ebrique

Une approche possible est d’´etendre l’approche alg´ebrique de Pasquier et Saleur [16], ex- pos´ee dans la sous-section 3.2.2, au cas des CL toro¨ıdales. Pasquier et Saleur avaient consid´er´e le mod`ele `a six vertex correspondant, plus pr´ecis´ement une chaine XXZ de spin 1₂ avec des termes de surface imaginaires correspondant `a la limite anisotrope du mod`ele. Pour cela, ils avaient ´etudi´e les repr´esentations irr´eductibles de l’alg`ebre de Temperley-Lieb, en utilisant l’in- variance sous le groupe quantique Uq(sl(2)). Dans le cas des CL toro¨ıdales, on peut montrer

que la matrice de transfert est constitu´ee d’op´erateurs ei, 1 ≤ i ≤ 2L, constituant une alg`ebre

de Temperley-Lieb p´eriodique, dans laquelle un nouvel ´el´ement e2L est ajout´e par rapport `a

l’alg`ebre de TL. e2L satisfait les relations de commutation suivantes :

e2_2L = pQe2L (6.8)

eie2Lei = ei, pour i = 1, 2L − 1 (6.9)

e2Leie2L = e2L, pour i = 1, 2L − 1 (6.10)

116 CHAPITRE 6. CAS DE CONDITIONS AUX LIMITES TOROIDALES

Cette structure alg´ebrique, qui intervient dans les mod`eles de Potts et les chaines XXZ avec des CL p´eriodiques, a ´et´e mise en ´evidence par L´evy [134]. Une revue sur l’alg`ebre de TL et ses g´en´eralisations (dont l’alg`ebre de TL p´eriodique) a ´et´e faite par Nichols [19].

Les repr´esentations de cette alg`ebre ont ´et´e ´etudi´ees par Martin et Saleur [132],[131]. Elles sont beaucoup plus compliqu´ees que celles de l’alg`ebre de TL, car l’alg`ebre de TL p´eriodique contient un nombre infini de mots, contrairement `a l’alg`ebre de TL.

L’´etude de la chaine XXZ de spin 1₂ avec des CL toro¨ıdales a ´et´e effectu´ee par Alcaraz, Grimm, et Rittenberg [133]. Alcaraz et Martins ont ´etudi´e le spectre de la chaine XXZ de spin S quelconque et son lien avec celui de la chaine XXZ de spin 1₂ [135]. Le spectre du mod`ele de Potts ne se d´eduit pas facilement du spectre de la chaine XXZ pour des CL p´eriodiques. Il est n´ecessaire de combiner diff´erents secteurs de twist du mod`ele XXZ. Cela a ´et´e discut´e dans [133],[136].

Ce qu’il faut retenir est que de mani`ere g´en´erale la proc´edure alg´ebrique utilis´ee pour les CL cycliques peut s’´etendre au cas des CL toro¨ıdales : on ´etudie les repr´esentations irr´eductibles de l’alg`ebre de TL p´eriodique au lieu de l’alg`ebre de TL. Cependant, comme les repr´esentations irr´eductibles ainsi que le lien entre le mod`ele XXZ (i.e. le mod`ele `a six vertex) et le mod`ele de Potts sont compliqu´es, il est beaucoup plus difficile de d´ecomposer l’espace de Hilbert en espaces de repr´esentation irr´eductible, et donc de d´ecomposer la fonction de partition du mod`ele. N´eanmoins, cela permet de s’attendre `a ce que les amplitudes obtenues par la m´ethode du gaz de Coulomb soit toujours valable. Une preuve rigoureuse devrait ˆetre donn´ee par Saleur dans les prochains mois.