b(0) = 1 (6.13) b(1) = Q − 1 (6.14) b(2,1) = 1 2Q(Q − 3) (6.15) b(2,2) = 1 2(Q − 1)(Q − 2) (6.16) b(3,1) = 1 3(Q − 1)(Q 2− 5Q + 3) (6.17) b(3,3) = 1 3Q(Q − 2)(Q − 4) . (6.18)
Ces amplitudes sont ´egales `a celles calcul´ees par la m´ethode du gaz de Coulomb expos´ee dans la sous-section 6.1.1, ce qui laisse penser que la formule (6.7) a une validit´e g´en´erale. Nous le prouverons dans la suite.
6.2
Pr´eliminaires math´ematiques
6.2.1 Fonctions de partition restreintes
Nous exposons maintenant et jusqu’`a la fin du chapitre nos travaux, publi´es dans [53]. Nous avons vu dans la sous-section 4.2.4 que la topologie des amas pour des CL toro¨ıdales est plus compliqu´ee que pour des CL cycliques avec lesquelles seule la percolation horizontale ´etait possible. Les amas non triviaux (NTC) sont caract´eris´es par le couple (n1, n2) indiquant
combien de fois ils percolent horizontalement et verticalement. Comme dans la suite nous serons seulement int´eress´es par les propri´et´es des amas selon la direction de propagation de la matrice de transfert, choisie horizontale comme pr´ec´edemment, nous consid´ererons uniquement n1. On
appelle branche d’un amas une de ses n1 parties percolant horizontalement. Un NTC donn´e
r´ealise une permutation P entre les positions de ses n1 branches. On d´ecrit ainsi totalement la
topologie d’un NTC selon l’horizontale par n1 et la permutation P ∈ Sn1. Il y a des restrictions
sur les permutations P possibles. La permutation P est cyclique, car sinon elle correspondrait `
a plusieurs amas diff´erents avec un nombre de branches plus petit. Par cons´equent, P est une permutation cyclique. De plus, comme des branches diff´erentes ne peuvent se couper, seules les permutations cycliques avec un ´ecart constant entre deux positions cons´ecutives sont permises. Par exemple, pour n1 = 4, seules (1234) et (1432) sont autoris´ees.1
Rappelons que pour une configuration d’amas donn´ee tous les NTC ont la mˆeme topologie, et donc mˆemes n1 et P . De plus, les positions relatives des branches correspondant `a des
amas diff´erents sont telles que les amas soient intriqu´es les uns dans les autres. On note j le nombre de NTC d’une configuration avec n1 ≥ 1. Un exemple est donn´e Fig. (6.1). Les
configurations sans NTC et les configurations avec des NTC ne percolant que verticalement correspondent `a j = 0. On appelle Zj,n1,P la fonction de partition du mod`ele de Potts restreinte
`
a des configurations d’amas avec j NTC caract´eris´es par n1 ≥ 1 et P , Zj,n1 la fonction de 1Il faut bien noter que nous consid´erons ici les permutations qui peuvent ˆetre r´ealis´ees par un seul NTC, et
non toutes les permutations `a un niveau l donn´e, car les points noirs peuvent ˆetre attribu´es `a des NTC diff´erents. Par example, les permutations autoris´ees au niveau l = 4 sont Id, (1234), (13)(24) et (1432), i.e. correspondent au groupe cyclique C4.
118 CHAPITRE 6. CAS DE CONDITIONS AUX LIMITES TOROIDALES
Fig. 6.1 – Configuration d’amas contenant j = 2 amas non-triviaux, repr´esent´es en rouge et en bleu. Chaque amas non trivial est caract´eris´e par son nombre de branches, n1 = 2, ainsi
que la permutation qu’il r´ealise, P = (12). Au sein d’une configuration donn´ee, tous les amas non-triviaux ont la mˆeme topologie.
partition restreinte `a des configurations avec j NTC d’indice n1, Zj,n1>1 la fonction de partition
restreinte `a des configurations avec j NTC d’indice strictement sup´erieur `a un, Zj la fonction de
partition restreinte `a des configurations avec j NTC percolant horizontalement, et Z la fonction de partition totale. On a les relations suivantes :
Zj,n1 = X P ∈Sn1 Zj,n1,P (6.19) Zj,n1>1 = L X n1=2 Zj,n1 (6.20) Zj = L X n1=1 Zj,n1 (6.21) Z = L X j=0 Zj . (6.22)
Pour un r´eseau g´en´erique, par exemple triangulaire, les Zj,n1,P non nuls sont tous ceux corres-
pondant `a une permutation P autoris´ee, et `a n1j ≤ L, comme le nombre total de branches ne
peut d´epasser la largeur L du r´eseau. Pour un r´eseau carr´e, les Zj,n1,P avec n1j = L et n1 > 1
sont nuls. Cela est dˆu au fait que les amas ne peuvent avancer et se d´ecaler lat´eralement en mˆeme temps : il n’y a pas de lien diagonal comme dans le r´eseau triangulaire. Dans la suite, nous consid´erons toujours un r´eseau g´en´erique.
6.2.2 Structure de la matrice de transfert
La structure de la matrice de transfert T est semblable au cas cyclique, expos´e sous- section 3.1.1. T est diagonale par blocs, et on note Tl la matrice correspondant `a l points noirs
6.2. PR ´ELIMINAIRES MATH ´EMATIQUES 119
y a pour un niveau l donn´e plus d’´etats de connectivit´e possibles qu’avec des CL transverses libres. En effet, les croisements entre partitions sont toujours interdits, mais certains ne sont qu’apparents `a cause de la sym´etrie par rotation d’une tranche du r´eseau. Notons que les croi- sements ayant lieu entre partitions sup´erieures ne sont jamais apparents (et donc sont toujours interdits), mais par contre il peut y avoir des croisements apparents entre ponts ou entre un pont et une partition sup´erieure.
Ainsi, si on attribue n1 points noirs `a un amas d’indice n1 et correspondant `a la permu-
tation P , alors au final les ponts seront permut´es de P . Toutes les permutations P ne sont pas autoris´ees. Nous montrerons dans la sous-section 2.3 que les permutations autoris´ees `a un niveau l donn´e (prenant en compte toutes les mani`eres d’attribuer l points noirs aux configu- rations d’amas) sont les ´el´ements du groupe cyclique Cl. On note ntor(L, l) le nombre d’´etats
de connectivit´e possible au niveau l sans tenir compte des permutations possibles entre ponts. La dimension de Tl est donc lntor(L, l). On note |vl,ii, 1 ≤ i ≤ ntor(L, l), les ntor(L, l) ´etats de
connectivit´e standard au niveau l : par convention le premier pont commence en 1′, le second en 2′, etc. . .. Les lntor(L, l) ´etats de base au niveau l peuvent ˆetre obtenus en appliquant des
permutations de Cl entre points noirs sur les |vl,ii. On peut montrer que [46] :
ntor(L, l) = 1 L+1 2L L pour l = 0 2L−1 L−1 pour l = 1 2L L−l pour 2 ≤ l ≤ L (6.23)
et clairement que ntor(L, l) = 0 pour l > L.
Tlelle-mˆeme est diagonale par blocs dans une base appropri´ee. En effet, Tlcommute avec les
permutations entre points noirs, car elle ne ”sait” pas d’o`u viennent les ponts. Par cons´equent, on peut d´ecomposer Tl en Tl,D o`u Tl,D est la restriction de Tl aux ´etats se transformant selon
la rep´esentation irr´eductible (irrep) D de Cl. Comme Cl est un groupe ab´elien de cardinal l, il
a l irreps de dimension 1. On peut obtenir la base correspondante `a l’aide du projecteur
pD = 1 l X P ∈Cl ¯ χ(D)(P )P , (6.24)
les χ(D)(P ) ´etant le caract`ere de P dans l’irrep D. L’application de toutes les permutations de Slsur un vecteur standard |vl,ii donn´e engendre une repr´esentation r´eguli`ere de Cl, qui contient
donc une fois chacune les irreps D (de dimension 1). Comme il y a en tout ntor(L, l) vecteurs
standards, la dimension de Tl,D est ntor(L, l).
6.2.3 D´efinition des Kl,D
Comme dans le cas cyclique, Kl est d´efini comme la trace de (Tl)N. Tl commutant avec Cl,
on a : Kl= l ntor(L,l) X i=1 hvl,i| (Tl)N|vl,ii . (6.25)
Contrairement au cas cyclique, on ne peut pas d´ecomposer la fonction de partition Z en Kl `a
cause des permutations possibles entre points noirs, comme nous le verrons. Il est alors n´ecessaire de travailler avec des quantit´es plus ´el´ementaires, les Kl,D, d´efinis comme la trace de (Tl,D)N.
120 CHAPITRE 6. CAS DE CONDITIONS AUX LIMITES TOROIDALES Tl et pD commutant avec Cl, on a : Kl,D= l ntor(L,l) X i=1 hvl,i|pD(Tl)N|vl,ii . (6.26) On a bien sur : Kl= X D Kl,D, (6.27)
la somme portant sur toutes les irreps D de Cl. Ainsi, lorsque les CL sont toro¨ıdales, les am-
plitudes des valeurs propres au niveau l ne sont plus toutes identiques, elles d´ependent aussi de D. En effet : Kl,D= ntor(L,l) X k=1 (λl,D,k)N . (6.28)
Afin de d´ecomposer Z en Kl,D, nous passerons par les Kl,Pl d´efinis par :
Kl,Pl =
ntor(L,l)
X
i=1
hvl,i| (Pl)−1(Tl)N|vl,ii , (6.29)
Pl ´etant une permutation du groupe cyclique Cl. Kl,Pl correspond `a avoir un ´etat final ´egal `a
l’´etat initial sur lequel la permutation Pl a ´et´e appliqu´ee. Notons que Kl,Id vaut simplement Kl
l . A cause des permutations possibles entre points noirs, le d´eveloppement de Z contiendra
non seulement Kl,Id, mais aussi tous les autres Kl,Pl, Pl ´etant une permutation de Cl. Nous
montrerons que les coefficients devant les Kl,Pl ne d´ependent que de la classe, relativement au
groupe sym´etrique Sl, de Pl. Nous noterons ces classes (di, n1), o`u les di (i = 1, . . . , q(l)) sont
des diviseurs de l et n1= dli. Il est ainsi naturel de d´efinir K(di,n1) comme :
K(di,n1)= X
Pl∈(di,n1)
Kl,Pl, (6.30)
la somme portant sur les permutations Plappartenant `a la classe (di, n1). Cette d´efinition nous
permettra de simplifier l’´ecriture de certaines formules, mais au final nous utiliserons les Kl,Pl.
Une fois que nous aurons obtenu le d´eveloppement de Z en Kl,Pl, nous aurons besoin
d’exprimer les Kl,Pl en fonction des Ll,Dafin d’obtenir le d´eveloppement de Z en Kl,D, qui sont
les quantit´es directement reli´ees aux valeurs propres. On a d’apr`es les Eq. (6.26) et (6.24) : Kl,D =
X
Pl
χD(Pl)Kl,Pl . (6.31)
On peut inverser ces relations afin d’exprimer les Kl,Pl en fonction des Kl,D, puisque le nombre
de permutations de Cl est ´egal au nombre d’irreps D de Cl. Pour cela, on multiplie l’Eq. (6.31)
par ¯χD(Cl), on somme sur les irreps D au niveau l, puis on utilise la relation d’orthogonalit´e
entre caract`eres P
Dχ¯D(Pl)χD(Pl′) = lδ(Pl, Pl′) [69]. On trouve alors que :
Kl,Pl = X D ¯ χD(Pl) l Kl,D , (6.32) et on a la relation : X D ¯ χD(Pl) = lδ(Pl, Id) . (6.33)
6.2. PR ´ELIMINAIRES MATH ´EMATIQUES 121
6.2.4 Propri´et´es utiles du groupe cyclique Cl
Dans la suite nous obtiendrons une expression des ampltudes au niveau l qui fait intervenir des sommes des caract`eres des irreps D de Cl. Afin de retrouver l’Eq. (6.7), nous devrons calculer
ces sommes. Nous exposons ici les r´esultats que nous utiliserons.
Cl est le groupe engendr´e par la permutation El= (12 . . . l). Il est ab´elien et compos´e de l
´el´ements donn´es par Ela, 1 ≤ a ≤ l.2Leur structure cyclique est donn´ee par la r`egle suivante. On note di, 1 ≤ i ≤ q(l), les entiers divisant l (en particulier d1 = 1 et dq(l) = l), et Adi l’ensemble
des entiers qui sont un produit de di par un entier n tel que 1 ≤ n ≤ dli et n ∧ dli = 1.3 Si
a ∈ Adi alors Ela est compos´e de di cycles intriqu´es de mˆeme longueur dli. On note la classe
correspondantedi,dli
. Le nombre d’´el´ements de Ali, et donc le nombre de tels E
a l, vaut φ l di , o`u φ est la fonction totient d’Euler dont la d´efinition a ´et´e rappel´ee dans la sous-section 6.1.1.4 Consid´erons C6 comme example. Les permutations de C6de classe (1, 6) sint E6 = (123456)
et E5
6 = (165432). Les permutations de (2, 3) sont E26 = (135)(246) et E64 = (153)(264).5 Il y a
seulement les permutations E63 = (14)(25)(36) dans (3, 2) et E66 = Id dans (6, 1). En effet, les diviseurs entiers de 6 sont 1, 2, 3, 6, et on a A1 = {1, 5}, A2 = {2, 4}, A3= {3}, A6= {6}.
Cl a l irreps not´ees Dk, avec 1 ≤ k ≤ l. Les caract`eres correspondant sont χDk(E
a l) =
exp −i2πkal .6 Nous devrons calculer dans la suite les sommes donn´ees par :
X Pl∈ “ di,dil ” ¯ χDk(Pl) = X a∈Adi exp i2πka l . (6.34)
Ces sommes sont des g´en´eralisations de sommes de Ramanujan.7 En utilisant le th´eor`eme 272 de [138], on obtient que : X Pl∈ “ di,dil ” ¯ χDk(Pl) = µm∧dm i φdl i φm∧dm i , (6.35)
o`u k est suppos´e appartenir `a Ad et m est donn´e par dl. µ est la fonction de M¨obius et a
´et´e d´efinie dans la sous-section 6.1.1. Notons que les k qui sont dans le mˆeme Ad donnent le
mˆeme r´esultat, c’est pourquoi on peut se restreindre `a k ´egal `a un diviseur de l afin d’avoir les diff´erentes valeurs de ces sommes. En effet, nous num´eroterons les diff´erentes amplitudes au niveau l `a l’aide de m.
2Avec la convention choisie, l’identit´e correspond `a a = l. 3L’union de tous les A
di est {1, 2, . . . , l}. 4Noter queP di|lφ “ l di ” = l.
5Noter que par exemple (123)(456) n’est pas un ´el´ement de C
6 comme il n’est pas intriqu´e. 6Avec la convention utilis´ee, la repr´esentation identit´e est D
l. 7Dans le cas o`u la somme porte sur A
122 CHAPITRE 6. CAS DE CONDITIONS AUX LIMITES TOROIDALES
Fig. 6.2 – Etats de connectivit´e standards au niveau 1 compatibles avec une configuration d’amas donn´ee de Z2,1. La fa¸con de proc´eder est la mˆeme que pour les CL cycliques.