1.3 Mod`eles de Potts coupl´es
2.1.5 Conditions aux limites toro¨ıdales
Nous exposons maintenant le calcul de fonctions de partition pour diverses conditions aux limites. C’est principalement Cardy qui s’est int´eress´e `a ce probl`eme. Nous commen¸cons par des conditions aux limites toro¨ıdales, i.e. nous consid´erons un syst`eme d´efini sur un tore, ce cas de figure ´etant tr`es fr´equent. Pour cela, nous consid´erons le tore comme un cylindre de circonf´erence L et de longueur finie N dont les deux extr´emit´es ont ´et´e reli´ees. Cardy a ´etudi´e ces conditions aux limites dans [67]. Itzykson et Zuber [9], puis Cappelli, Itzykson et Zuber [10] ont classifi´e les fonctions de partition sur le tore qui sont invariantes modulaires [10]. Nous pr´esentons dans cette sous-section leurs travaux.
La transformation conforme z → w = 2πL ln z met en bijection le plan infini et un cylindre
de circonf´erence L et de longueur infinie. En consid´erant la transformation du tenseur d’´energie impulsion T , on obtient que :
Tcyl(w) = 2π L 2 Tpl(z)z2− c 24 (2.39)
et donc, comme hTpl(z)i = 0 (dans la limite continue, on prend une ´energie libre nulle pour un
plan infini), on obtient que hTcyl(w)i = −cπ
2
6L2. La charge centrale est donc reli´ee `a l’´energie de
Casimir : la densit´e d’´energie n’est pas nulle sur un cylindre. En utilisant le lien entre l’´energie libre par unit´e de longueur fLet T , on trouve que :
βfL= −
πc
6L . (2.40)
Cette relation est essentielle afin d’interpr´eter les effets de taille finie, comme nous le verrons dans la section 2. On en d´eduit que l’hamiltonien du syst`eme sur le cylindre est donn´e par :
H = 2π L L0+ ¯L0− c 12 , (2.41)
qu’on d´ecompose en une partie holomorphe HR = 2πL L0− 24c et une partie antiholomorphe
2.1. RAPPELS SUR L’INVARIANCE CONFORME 37
le cylindre et en se rappelant le choix du temps lors de la quantification radiale. En effet, par application de la transformation conforme, on en d´eduit que l’axe du temps est selon l’axe du cylindre. Cela permettra de faire le lien avec les matrices de transfert dans la section 2.2.
La fonction de partition sur le tore Z est donn´ee par :
Z(τ ) = Tr [exp(−HN)] = TrhyL0−c/24y¯L¯0−c/24i . (2.42)
Du fait de l’invariance par dilatation, Z ne d´epend que de τ = iNL, i.e. du rapport entre longueur et largeur. On rappelle que y = exp(2πiτ ) et on pose ¯y = exp(−2πi¯τ). Rappelons que la trace a lieu sur l’espace de Hilbert, constitu´e des champs de la th´eorie. On peut ainsi d´evelopper Z(τ ) comme une somme de caract`eres (les ˜K, K ou χ selon la th´eorie). Notamment, dans le cas d’une th´eorie minimale, on a :
Z(τ ) =X
h,¯h
Mh,¯hχh(y) ¯χh¯(¯y) , (2.43)
o`u Mh,¯h est le nombre de champs primaires de la th´eorie ayant une dimension holomorphe ´egale `a h et une dimension antiholomorphe ´egale `a ¯h, et indique comment les secteurs holo- morphes et antiholomorphes sont coupl´es. La fonction de partition Z doit ˆetre invariante sous les transformations suivantes, appel´ees transformations modulaires [67] :
τ → a τ + bc τ + d avec a d − b c = 1 . (2.44)
En effet, ces transformations correspondent `a changer la direction de l’axe des temps sans modifier la g´eom´etrie toro¨ıdale (τ correspond alors au rapport entre les vecteurs principaux du tore) et donc la direction du temps ´etant arbitraire Z doit ˆetre inchang´ee. Cela implique que toutes les valeurs de Mh,¯h ne sont pas possibles [10]. Une solution simple est donn´ee par Mh,¯h = δ(h, ¯h). Cependant, d’autres solutions correspondant `a un couplage non trivial des secteurs peuvent exister. Ainsi, dans le cas des mod`eles minimaux M (4, 3) et M (5, 4) seule la solution triviale est possible, et donc par exemple la fonction de partition de M (4, 3) est donn´ee par :
Z = χ0χ¯0+ χ1
16 χ¯161 + χ12 χ¯12 . (2.45)
Par contre, `a partir de M (6, 5) d’autres solutions sont possibles. En particulier, le mod`ele de Potts `a trois ´etats est une solution non triviale.
Il faut bien comprendre les implications de l’Eq. (2.41). Le spectre de HL est de la forme :
Ex= −
πc 6L +
2πx
L , (2.46)
o`u les x sont les dimensions d’´echelle des champs de la th´eorie. Ainsi, en connaissant le spectre de HL, on connait les champs pr´esents. Le niveau d’´energie le plus bas correspond `a l’op´erateur
identit´e, et vaut −6Lπc (on suppose que les autres op´erateurs ont x > 0 comme c’est habituelle-
ment le cas), ce qui permet de d´eterminer la charge centrale lorsqu’on connait le spectre pour diff´erentes valeurs de L. L’identit´e a une s´erie de descendants ayant des valeurs de x enti`eres, dont les d´eg´en´erescences pour x donn´e sont ´egales au nombre de descendants ind´ependants avec cette valeur de x. Il y a aussi des s´eries associ´ees aux autres op´erateurs primaires : au sein de chaque s´erie, les valeurs de x diff`erent par des entiers. A l’aide du spectre, on peut en particulier connaˆıtre les dimensions x de tous les op´erateurs primaires du syst`eme. Bien ´evidemment, en
38 CHAPITRE 2. CARACT ´ERISATION DU COMPORTEMENT CRITIQUE
pratique, on a un syst`eme fini sur r´eseau, pas un syst`eme continu, et nous verrons section 2 comment proc´eder.
Le syst`eme peut avoir des conditions aux limites plus exotiques, comme des conditions aux limites twist´ees selon la largeur [11],[85]. Cela s’interpr`ete en introduisant une ligne de coupure traversant le tore en longueur, appel´ee ligne de frustration, et en disant qu’en traversant cette ligne on ne revient pas dans le mˆeme ´etat qu’au d´epart. Par exemple, il peut ˆetre n´ecessaire de traverser deux fois la ligne, i.e. faire deux fois le tour du tore selon la largeur, pour revenir `
a l’´etat de d´epart. En revenant au plan complexe, cela revient `a appliquer un op´erateur φd,
de dimension xd, qui va changer les conditions aux limites. Les exposants x correspondant au
spectre de l’hamiltonien avec conditions aux limites twist´ees sont les dimensions des op´erateurs obtenus par produit entre les op´erateurs de la th´eorie et l’op´erateur φd. En particulier, le niveau
d’´energie le plus bas est −6Lπc+ 2πxd
L . Par cons´equent, dans la limite τ → ∞, i.e. pour un cylindre
infini de largeur L, le rapport entre fonction de partition twist´ee et non twist´ee vaut : Zt(τ )
Z(τ ) = exp(−2πxdτ ) . (2.47)
Or, `a l’aide de la bijection entre le plan et le cylindre, on peut montrer que la fonction de corr´elation sur le cylindre des champs φ sont de la forme, dans la limite d’une distance τ beaucoup plus grande que L :
hφ(0)φ(τ)i ∝ exp(−2πxτ) , (2.48)
i.e. que la longueur de corr´elation ξ des champs est reli´ee `a leur dimension d’´echelle et vaut ξ = 2πx1 . En comparant les Eq. (2.47) et (2.48), on en d´eduit que, dans la limite τ → ∞ :
Zt(τ )
Z(τ ) ∝ hφd(0)φd(τ )i . (2.49)
Le rapport entre fonctions de partition twist´ee et non twist´ee est donc ´egal `a la fonction de corr´elation de φd. Notons que φdest un op´erateur non local par rapport aux autres champs de
la th´eorie, puisqu’en traversant la ligne de frustration l’´etat des autres champs est chang´e. Un tel op´erateur est appel´e op´erateur de d´esordre.
On peut aussi twister le mod`ele suivant la longueur. L’hamiltonien et donc le contenu en op´erateurs de la th´eorie est alors inchang´e, mais la fonction de partition Z n’est plus simplement donn´ee par une trace, et donc les coefficients devant les caract`eres ne sont plus ´egaux aux nombres de champs primaires du type consid´er´e.