1.3 Mod`eles de Potts coupl´es
2.1.3 Mod`eles minimaux
Le caract`ere d’un module de Verma V (c, hφ) de charge centrale c et de plus haut poids |φi
est par d´efinition :
˜ K(c,hφ)(τ ) = Tr yL0−24c = ∞ X N =0 dim(hφ+ N ) yN +hφ− c 24 , (2.21)
o`u y = exp(2πiτ ) et dim(hφ+ N ) est la dimension de l’espace au niveau N . On a not´e τ la
variable dont d´ependent les caract`eres. L’int´erˆet des caract`eres est qu’on peut les utiliser pour d´ecomposer des fonctions de partition, on les ´evaluera alors en τ = ıNL. Nous expliquerons aussi d’o`u vient le facteur y−24c . Dans les cas g´en´eriques, comme il y a p(N ) ´etats ind´ependants au
niveau N , en utilisant l’Eq. (2.20), on obtient que
˜ K(c,hφ)(τ ) = yhφ−24c P (y) = yhφ+1−c24 η(τ ) , (2.22)
o`u dans la derni`ere ´egalit´e, on a exprim´e ˜K `a l’aide de la fonction de Dedekind d´efinie par :
η(τ ) = y241 P (y) . (2.23)
Il peut cependant arriver que le module soit r´eductible, i.e. contienne un sous espace qui soit lui-mˆeme une repr´esentation de l’alg`ebre de Virasoro. Ce sous module est engendr´e par un champ primaire, appel´e vecteur ”nul”. En effet, on montre facilement que ce sous module est orthogonal `a tout le module V (c, hφ). Ce vecteur nul et ses descendants n’ont pas d’effet
physique, c’est-`a-dire qu’on peut quotienter le module g´en´erique par son (ou ses) sous modules nuls (dans tout ce chapitre nul est `a prendre au sens de congruent `a 0). On obtient alors un module irr´eductible, not´e M (c, hφ), dont le caract`ere n’est plus donn´e par l’Eq. (2.22). Notons
d`es `a pr´esent qu’on n’est pas oblig´e de quotienter le module, nous verrons que les formules obtenues faisant intervenir les caract`eres g´en´eriques K sont valables mˆeme lorsqu’il y a des sous modules nuls. Cependant, dans ce cas, ces formules se recombineront et se simplifieront.
34 CHAPITRE 2. CARACT ´ERISATION DU COMPORTEMENT CRITIQUE
L’´etude du d´eterminant de Kac permet de d´eterminer pour quelles valeurs de c et hφ le
module V (c, hφ) est r´eductible. On introduit le param`etre µ par :
c = 1 − µ(µ + 1)6 , (2.24)
et les param`etres r et s par :
hr,s= ((µ + 1)r − µs) 2
− 1
4µ(µ + 1) . (2.25)
Lorsque µ prend des valeurs g´en´eriques, i.e. non rationnelles, V (c, hr,s) est r´eductible pour r et
s entiers non nuls, le vecteur nul apparaissant au niveau rs, de dimension hr,−s = hr,s+ rs.
De plus, en ´etudiant les OPE, on peut montrer qu’une th´eorie ne contenant que des champs primaires de dimension hr,savec r et s entiers est bien stable sous l’alg`ebre des op´erateurs. Les
caract`eres associ´es aux M (c, hr,s) sont :
Kr,s(y) = ˜Kr,s− ˜Kr,−s=
yhr,s−c/24− yhr,−s−c/24
P (y) . (2.26)
Lorsqu’en plus µ prend des valeurs rationnelles, les V (c, hr,s) contiennent alors une infinit´e
de vecteurs nuls. En effet, il y a un second vecteur nul au niveau (p2− r)(p1 − s), en ayant
pos´e µ = p2
p1−p2, avec p1 et p2 premiers entre eux. Cependant, les deux sous modules nuls ont
une intersection non vide, et contiennent eux-mˆeme des sous modules nuls. Feigin et Fuchs ont ´etudi´e pr´ecis´ement leur structure [83]. On montre alors que le caract`ere associ´e `a M (c, hr,s)
est [31] : χr,s(y) = y−24c P (y) ∞ X n=−∞ y(2p1p2n+p1r−p2s) 2 4p1p2 − y(2p1p2n+p1r+p2s) 2 4p1p2 . (2.27)
Cette ´equation est appel´ee formule de Rocha-Caridi. Du fait de la p´eriodicit´e des hr,s, on peut se
restreindre `a 1 ≤ r < p2 et 1 ≤ s < p1, et on aura φr,s= φp2−r,p1−s. Le rectangle correspondant
dans le plan (r, s) est appel´e table de Kac. On a donc un nombre fini d’op´erateurs primaires, c’est pourquoi on appelle ces th´eories mod`eles minimaux, not´es M (p1, p2). L’avantage de ces
th´eories est que toutes les fonctions de corr´elation sont simplement calculables, car le fait qu’il y ait des vecteurs nuls imposent des contraintes sur ces derni`eres, qui se traduisent sous forme d’´equations diff´erentielles.
Le cas o`u µ est entier (et donc p1 = µ + 1 et p2 = µ) correspond `a une th´eorie minimale et
unitaire M (µ + 1, µ). En effet, on peut montrer qu’aucun vecteur n’a de norme n´egative dans ce cas. Ces th´eories ont ´et´e ´enorm´ement ´etudi´ees. Le premier cas non trivial est M (4, 3). Il y a trois op´erateurs primaires : φ1,1 (ou φ2,3), φ2,2 (ou φ1,2), et φ2,1 (ou φ1,3). Les r`egles de fusion
sont :
φ1,1× φ1,1 = [φ1,1] (2.28)
φ2,2× φ2,2 = [φ1,1] + [φ2,1] (2.29)
φ2,2× φ2,1 = [φ2,2] (2.30)
φ2,1× φ2,1 = [φ1,1] . (2.31)
Nous avons indiqu´e uniquement les op´erateurs primaires, les coefficients des descendants ´etant facilement calculables une fois les coefficients des op´erateurs primaires connus. [φr,s] repr´esente
2.1. RAPPELS SUR L’INVARIANCE CONFORME 35
donc la famille conforme associ´ee au champ primaire φr,s. Notons que nous n’avons pour l’instant
consid´er´e que la composante holomorphe des champs. Il reste `a savoir comment elle est coupl´ee `
a la composante antiholomorphe. Comme nous le verrons, du fait de l’invariance modulaire, on ne peut pas associer n’importe comment ces deux parties. Dans le cas M (4, 3), la seule possibilit´e est d’avoir des champs sans spin, i.e. tels que ¯h = h. Cette possibilit´e existe pour toutes les th´eories, mais il peut y en avoir d’autres. De plus, une fois ce probl`eme r´egl´e, il reste `
a savoir comment interpr´eter ces champs. Il est ´evident que φ1,1, de dimension nulle, correspond
`
a l’op´erateur identit´e, mais les sens physiques de φ2,2 et φ2,1 ne le sont pas a priori. En fait, on
peut montrer que M (4, 3) correspond au mod`ele d’Ising, et que φ2,2 et φ2,1 sont respectivement
des op´erateurs de spin σ et d’´energie ǫ. Les r`egles de fusion sont en effet bien compatibles avec la sym´etrie Z2 du mod`ele (σ → −σ).
Dans la suite, nous serons en particulier int´eress´es par les champs du type φ1,2l+1. Pour ces
champs, la formule de Rocha-Caridi (2.27) peut se mettre sous la forme suivante :
χ1,2l+1(y) = K1,2l+1(y) − K1,2l1+1(y) + K1,2l2+1(y) − . . . , (2.32)
i.e. comme une somme infinie de (−1)kK
1,2lk+1, avec l1= µ − l, l2 = l + µ − 1, l3= 2µ − 1 − l,
l4 = l + 2µ − 2, etc. Cette formule s’interpr`ete facilement `a l’aide du principe d’inclusion-
exclusion. On soustrait les caract`eres K associ´es aux sous-modules nuls, mais comme il y a des recoupements entre ces sous-modules il est n´ecessaire d’ajouter les caract`eres correspondants. En particulier, l’ensemble des op´erateurs contenus dans χ1,2l+1 est un sous-ensemble des op´erateurs
contenus dans K1,2l+1(y), `a savoir tous les op´erateurs non nuls de K1,2l+1(y).