Diagramme de phase du modèle d’Ising sur réseau carré avec des CL

5.2 Diagramme de phase dans le plan des temp´eratures complexes

5.2.3 Diagramme de phase du modèle d’Ising sur réseau carré avec des CL

Nous exposons dans le détail le cas du modèle d’Ising (p = 4), car c’est le modèle à Bp

états non trivial le plus simple, mais il est représentatif de ces modèles. Considérons des CL cycliques. Pour p = 4, l’Eq. (5.2) s’écrit :

Z = χ1,1+ χ1,3 , (5.22)

χ1,1 et χ1,3 étant respectivement égaux à Tr[T1,1N] et Tr[T1,3N]. D’après l’Eq. (5.12), T1,1 et T1,3

sont toutes deux de dimension 2L−1. Ces résultats sont indépendants du réseau considéré. Sup- posons maintenant le réseau carré. Les éléments de T1,1 et T1,3 sont 2

N−1

102 CHAPITRE 5. MOD `ELE DE POTTS POUR Q NOMBRE DE BERAHA

Fig. 5.2 – Courbes limites à p = 4, pour un réseau carré de largeur L = 2 (en noir), L = 3 (en rouge), et L = 4 (en vert). B2 avait déjà été obtenue Fig. 20 de [87], tandis que B3 avait

déjà été obtenue Fig. 7 de [90]. On conjecture que les deux cercles de Fisher [70] représentés appartiennent `_{a B}_∞. Les carrés correspondent aux quatre points critiques pour Q génériques. On voit qu’il y a deux points critiques supplémentaires.

avec n le nombre de plaquettes où les deux hauteurs horizontales sont dans des états différents, compte tenu des états de départ et d’arrivée. Nous avons donné les expressions explicites des matrices pour des largeurs inférieures ou égales à 4 dans [22], et retrouvé l’expression des valeurs propres correspondantes, qui avait été déterminée précédemment par Chang et Shrock. Ainsi, les fonctions de partition pour des rubans de largeur 2 et 3 avaient été calculées respectivement dans [87] et [90], tandis que des résultats sur les matrices de transfert jusqu’à des largeurs 4 avaient été exposés dans [43]. Pour ces largeurs, les BL sont représentés Fig. (5.2). Les courbes

correspondant à des largeurs de 2 et 3 avaient déjà été obtenues par Chang et Shrock respectivement Fig. 20 de [87] et Fig. 7 de [90], mais dans le plan des u complexes, u étant relié à x par u = √ 1

Qx+1. On conjecture ensuite des propriétés valables à tout L.

Tout d’abord, il y a des zéros limites dont la position est indépendante de L. Ainsi, les points x = −1 + exp ±ıπ2 appartiennent à BL. En ces points, toutes les valeurs propres sont

´equimodulaires avec |λk| = 1. Il s’agit donc d’un point multiple, et on s’attend `a avoir plusieurs

branches se coupant en ces points. De la même fa¸con, x = −√2 est un point multiple où tous les λk s’annulent, et x = −√1₂ à un point multiple où les secteurs χ1,1 et χ1,3 sont équimodulaires.

Pour déterminer le nombre de branches se coupant en ces points ainsi que leurs angles, il suffit de développer les λk(x) au voisinage de ces points. Nous détaillons le cas de x = −√1₂, l’étude

5.2. DIAGRAMME DE PHASE DANS LE PLAN DES TEMP ´ERATURES COMPLEXES103

des autres points ´etant faite dans [22]. En posant x = −√1

2+ ǫ avec |ǫ| ≪ 1, dans chaque secteur

il n’y a qu’une seule valeur propre dominante λd,2j+1 ∼ O(1). De plus, la diff´erence entre ces

deux valeurs propres dominantes est seulement d’ordre ǫL. Ainsi : λd,1 = 2−

2 + O(ǫ3) (5.23)

λd,1− λd,3 = 2ǫL+ O(ǫL+1) . (5.24)

Les branches correspondent à l’équimodularité de ces deux valeurs propres :

|λd,1| = |λd,3| = |λd,1− 2ǫL+ O(ǫL+1)| . (5.25)

Pour |ǫ| ≪ 1, cette condition d’´equimodularit´e implique que :

Re(ǫL) = 0 , (5.26)

et donc les arguments correspondants θn de ǫ sont donn´es par :

θn=

2L(2n − 1) avec n = 1, 2, . . . , 2L . (5.27) Il y a donc 2L branches s’intersectant en −√2 et faisant des angles θn avec l’axe des abscisses.

Par un raisonnement analogue, on montre qu’il y a 2(L − 2) branches se coupant en −√1 2,

d’angles :

θn=

2(L − 2)(2n − 1) avec n = 1, 2, . . . , 2(L − 2) . (5.28) En plus de ces zéros, on s’attend à ce que les quatre points critiques du modèle de Potts `

a Q générique soient aussi des points fixes ! En effet, on conjecture que les cercles de rayon 1 et de centres 0 et −√2 appartiennent `_{a B}_∞, en accord avec les résultats de Fisher [70], voir l’Eq. (5.18). Ces cercles coupent l’axe des abscisses en quatre points, à savoir x₋ _{= −1 −}√2, xBK = −1, x+ = 1 −√2 et xF M = 1, les valeurs des quatre points critiques génériques pour

Q = 2 dans le cas d’un r´eseau carr´e (voir sous-section 3.3.1).

BL est composée également de 2L branches partant à l’infini, avec des angles θn donnés

par l’Eq. (5.27). De plus, dans cette limite des grands |x|, ces branches correspondent `a des croisements entre les secteurs χ1,1 et χ1,3, χ1,1 dominant pour x r´eel positif. Ainsi, la valeur

propre dominante pour une largeur L dans la limite des grands |x| est dans le secteur χ1,1 pour

les r´egions asymptotiques telles que :

arg x ∈ (θ2n−1(L), θ2n(L)) , avec n = 1, 2, . . . , L . (5.29)

Dans les autres r´egions asymptotiques, la valeur propre dominante vient du secteur χ1,3. Ces

faits s’interprètent en calculant le développement pour |x| grand des valeurs propres dominantes dans chaque secteur. On note en utilisant l’Eq. (5.29) qu’il y a des effets de parité de L : pour x réel négatif grand, le secteur χ1,1 domine pour L pair, et χ1,3 domine pour L impair. Plus

pr´ecis´ement :

1. Le secteur χ1,1 domine sur la ligne physique x ∈

h −√1

2, ∞

. 2. Pour L pair, le secteur χ1,1 est dominant pour tout x r´eel.

3. Pour L impair, χ1,1 est dominant sur la ligne physique, mais χ1,3 est dominant pour

x < −√1 2.

104 CHAPITRE 5. MOD `ELE DE POTTS POUR Q NOMBRE DE BERAHA

Il peut être choquant de constater que dans la limite L → ∞, les zéros de la fonction de partition sont denses dans tout le plan complexe excepté l’intérieur des deux cercles considérés précédemment, puisqu’il y a alors une infinité de branches partant à l’infini. Cependant, il ne faut pas en conclure que l’énergie libre est singulière dans toute cette zone (le raisonnement habituel de Fisher n’est plus valable car il s’agit d’un domaine) ! Cela signifie juste que dans cette limite les secteurs χ1,1 et χ1,3 sont tous deux dominants.

Notons que les conjectures faites sont des généralisations de résultats obtenus par Shrock pour une largeur 2 dans [87] et par Chang et Shrock pour une largeur 3 dans [90]. Les points x = −1 + exp ±ıπ2, x = −

√

2, x = −√1

2 avaient été identifiés comme zéros limites, et leurs

multiplicités avaient été étudiées, pour ces deux largeurs. De plus, les domaines de dominance des valeurs propres avaient été aussi déterminées pour ces largeurs.

En plus des points fixes pour lesquels l’énergie libre est singulière dans la limite thermo- dynamique, il y a les points fixes qui ne sont pas détectables avec la méthode utilisée. Il s’agit de x = −∞, x = 0, et x = ∞. Les points fixes −√2 et −√1

2 ´etant non critiques, on en d´eduit

le diagramme de phase du modèle d’Ising, représenté Fig. (5.3). Notons qu’il est invariant sous la transformation de dualité x → 1x, alors que les BL ne sont pas invariants par dualité. Cela

est dû au fait que les CL cycliques empêchent le réseau d’être autodual. Cependant, le modèle d’Ising étant simple, le diagramme de phase ne dépend pas des CL, et est invariant sous dualité. De plus, le modèle d’Ising possède la symétrie exacte K → −K (il suffit de changer l’état des spins sur un des deux sous-réseaux, cf. le réseau carré est bipartite), ce qui correspond pour la température x à

x → − x

1 + x√2 . (5.30)

En combinant les transformations de dualit´e et de renversement de spins, on peut relier entre eux tous les points fixes critiques du mod`ele :

xF M renv.−→ x+ dualite−→ x− renv.−→ xBK, (5.31)

les premier et dernier points de la série étant autoduaux. De la même fa¸con, tous les points fixes triviaux (i.e. non critiques) sont reliés :

x = 0 dualite_{−→ |x| = ∞} renv._{−→ x = −1/}√2 dualite_{−→ x = −}√2, (5.32) les premier et dernier points ´etant invariants sous renversement des spins. Cela explique en particulier pourquoi les structures autour de x = −√1

2 et |x| = ∞ sont ´equivalentes, la sym´etrie

sous renversement des spins étant exacte (i.e. valable à L fini). De plus, on voit que les quatre points critiques sont équivalents, et donc ont tous la même charge centrale c = 1₂.

Ainsi, le fait de prendre p entier modifie profondément et enrichit le diagramme de phase du modèle par rapport `_{a p quelconque. En prenant la limite p → 4, on aurait eu trois points} fixes répulsifs équivalents de charge centrale 1₂ situés en xF M et x±. On aurait eu également

trois points fixes attractifs : xBK de charge centrale −25₂ (voir l’Eq. (3.55) pour p → 4) et

deux points triviaux situés en x = 0 et |x| = ∞. Le flot de renormalisation correspondant est représenté en haut de la Fig. (5.3). En se mettant directement à p = 4, on a deux points fixes supplémentaires, `_{a savoir −}√_{2 et −}√1

2. Ces deux points sont attractifs, tandis que xBK devient

r´epulsif et ´equivalent aux trois autres points critiques (sa charge centrale devient notamment

5.2. DIAGRAMME DE PHASE DANS LE PLAN DES TEMP ´ERATURES COMPLEXES105

x

₋

x

_BK

x

₊

x

_FM 1−21/2 −2−1/2 −21/2 −1−21/2

x

₋

x

_BK

x

₊

x

_FM 1−21/2 −1−21/2

x

0 1 −1

x

0 1 −1

Fig.5.3 – Diagramme de phase et flot de renormalisation pour le modèle de Potts `_{a Q → 2 états} (en haut) et pour le modèle d’Ising Q = 2 (en bas). Les cercles pleins, resp. vides, correspondent `

a des points fixes critiques, resp. non critiques.

En particulier, xBK étant répulsif, il n’y a plus de phase de Berker-Kadanoff, dans le sens où le

comportement à grande distance du système pour x compris entre x₋et x+n’est plus déterminé

par xBK.

Dans le document Diagramme de phase du modele de Potts bidimensionnel. (Page 102-106)