3.3 Limite continue
3.3.3 Int´egrabilit´e
Il existe des m´ethodes analytiques permettant de d´eterminer le spectre de la matrice de transfert T6V lorsque x prend certaines valeurs, et donc de d´emontrer les r´esultats de la sous-
section pr´ec´edente. En particulier, pour x = 1 sur r´eseau carr´e, on peut utiliser l’int´egrabilit´e du mod`ele `a six vertex correspondant. Nous exposons ici cette proc´edure, due `a Saleur et Bauer [18]. Pour x = 1, le mod`ele `a six vertex ´equivalent au mod`ele de Potts est simple car il est homog`ene, les poids correspondant aux vertex situ´es sur les liens horizontaux ou verticaux ´etant identiques, et ”sans champ”, i.e. invariant par renversement des fl`eches, ce qui fait qu’il n’y a que trois poids distincts. Nous allons relier ce mod`ele `a des mod`eles `a six vertex avec des poids diff´erents, c’est pourquoi nous pr´esentons le mod`ele `a six vertex homog`ene et sans champ dans sa g´en´eralit´e, et nous pr´eciserons ensuite les valeurs des poids `a donner pour avoir l’´equivalence avec le mod`ele de Potts `a v = 1, pour le nombre d’´etats Q consid´er´e.
3.3. LIMITE CONTINUE 73
Les trois poids sont not´es α, β et γ, et sont param´etr´es par ρ, λ et u de la fa¸con suivante :
α = ρ sin(λ − u) (3.60)
β = ρ sin(u) (3.61)
γ = ρ sin(λ) (3.62)
ρ est un facteur de normalisation ne jouant pas de rˆole, λ est appel´e param`etre d’anisotropie, et u param`etre spectral. La valeur de λ peut ˆetre facilement d´etermin´ee `a partir de δ d´efini comme :
δ = α
2+ β2− γ2
2αβ = − cos λ . (3.63)
Il est possible de montrer que pour |δ| < 1, i.e. λ ∈ [0, π], le mod`ele est critique, et que les matrices de transfert correspondant `a des valeurs diff´erentes de u mais identiques de λ (et donc δ) commutent. De plus, les exposants associ´es aux matrices de transfert sont identiques, en choissant bien le facteur d’isotropie b, introduit dans la sous-section 2.2.5 et qui permet de normaliser le pas de temps dont avance la matrice de transfert.
D’apr`es l’expression des poids donn´ee Fig. (3.5), on voit que le mod`ele de Potts `a Q ´etats et v = 1 est associ´e `a λ = πp, i.e. δ = −√2Q, et u = λ2. On dit que le mod`ele est isotrope, car dans ce cas les poids α et β, dont les configurations se d´eduisent l’une de l’autre par rotation, co¨ıncident. L’id´ee pour d´eterminer les c et les hj est de consid´erer un mod`ele avec la mˆeme
valeur de λ, mais une valeur de u diff´erente et choisie de mani`ere `a simplifier l’expression de T6V. Le cas u = 0 est pathologique, car correspond `a un facteur d’isotropie infini (la matrice de
transfert est triviale : elle r´ealise juste une ”translation”), mais on peut par contre consid´erer la d´eriv´ee logarithmique de T6V au voisinage de 0. En choisissant correctement la normalisation
de cet hamiltonien (de mani`ere `a avoir l’invariance conforme), on trouve qu’il vaut :
H = 2 p 2L−1 X i=1 (σixσi+1x + σyiσi+1y +q + q−1 2 σ z iσi+1z ) +q − q −1 2 (σ z 1− σ2Lz ) ! . (3.64)
On peut diagonaliser H en utilisant le fait qu’il y a une infinit´e de quantit´es conserv´ees, comme les matrices de transfert avec des param`etres spectraux diff´erents commutent entre elles. En particulier, H commute avec les g´en´erateurs de Uq(sl(2)), puisque c’´etait le cas pour
la matrice de transfert, et donc on peut aussi d´ecomposer le spectre de H `a l’aide des irreps de Uq(sl(2)). D’apr`es la conservation de Sz, on peut ´ecrire les ´etats propres de H sous la forme :
|α >=Xf (y1, . . . , yn)|y1, . . . , yn> , (3.65)
les y correspondant `a la position des spins −12. Comme Sz est conserv´e, le nombre n de spins
−12, encore appel´es ”particules” (pour faire le lien avec les processus de diffusion) [68], est bien
conserv´e. On appelle l’Eq. (3.65) ansatz de Bethe [64]. L’ansatz pour la forme de f est : f (y1, . . . , yn) =
X
P
ǫPA(kP1, . . . , kPn) exp(i(kP1y1+ · · · + kPnyn)) , (3.66)
la somme portant sur toutes les permutations et n´egations (i.e. changement de signe) des ”im- pulsions” k, et ǫ changeant de signe `a chaque transformation. En effet, en utilisant l’analogie entre spins −12 et particules, on cherche des solutions se d´eveloppant sur une base d’ondes
74 CHAPITRE 3. MOD `ELE DE POTTS POURQ G ´EN ´ERIQUE
planes d’impulsions k. Ces ondes planes peuvent entrer en collision, ce qui comme le syst`eme est int´egrable entraˆıne juste des permutations entre les impulsions [65], et ”rebondir” sur les parois, ce qui entraˆıne des n´egations des impulsions. On peut ensuite d´eterminer les expressions des amplitudes A et les valeurs des niveaux d’´energie, et on trouve bien que dans la limite L → ∞ le niveau d’´energie fondamental dans le secteur de spin Sz = l vaut :
El= −
πc 24L +
πhl
L , (3.67)
c et hl ayant ´et´e donn´e pr´ec´edemment. On a des termes en L1 au lieu de L12, car il s’agit de
Chapitre 4
Mod`eles RSOS
Les mod`eles de hauteurs sont souvent utilis´es en physique statistique. Ils permettent par exemple de d´ecrire des interfaces [63], ou bien les surfaces de cristaux [59]. Ils sont aussi reli´es `
a d’autres mod`eles. Ainsi, le mod`ele d’Ising antiferromagn´etique `a temp´erature nulle sur r´eseau triangulaire peut ˆetre appliqu´e sur un mod`ele SOS (solid on solid), i.e. un mod`ele de hauteurs avec contraintes entre voisins [60].
Nous allons nous int´eresser dans ce chapitre `a un mod`ele RSOS (restricted solid and solid), ”restricted” signifiant que les hauteurs ne pouvent prendre qu’un nombre fini p de valeurs. Il arrive fr´equemment que le diagramme sp´ecifiant les contraintes entre hauteurs voisines soit le diagramme de Dynkin d’une alg`ebre de Lie ou d’une alg`ebre de Lie affine. Ces mod`eles ont ´et´e ´etudi´es par Pasquier [23],[72]. Nous nous limitons dans ce chapitre `a des mod`eles Ap−1, que nous pr´esentons dans la section 4.1.
Dans la section 4.2, nous consid´erons un mod`ele Ap−1d´efini sur le tore. Pasquier, dans [23], a ´etabli un d´eveloppement en boucles de la fonction de partition du mod`ele, `a l’aide de diagrammes caract´erisant la topologie des configurations de boucles. Nous exposons ses r´esultats dans la sous- section 4.2.1, que nous avons l´eg`erement g´en´eralis´es dans [21], car Pasquier avait uniquement consid´er´e le cas d’une temp´erature x valant 1. Le fait de consid´erer une temp´erature x quel- conque permet notamment d’´etablir des relations de dualit´e, donn´ees dans la sous-section 4.2.2. Dans [23], Pasquier a compar´e des fonctions de partition du mod`ele RSOS avec celles de mod`eles `
a six vertex, mais uniquement pour x = 1 et dans la limite continue. De plus, il n’a pas compar´e directement le mod`ele RSOS avec le mod`ele de Potts (le lien entre les fonctions de partition du mod`ele de Potts et du mod`ele `a six vertex ´etant non trivial sur le tore). Cependant, nous avons not´e que de nombreuses valeurs propres entre les matrices de transfert du mod`ele RSOS Ap−1 et du mod`ele de Potts `a Q = Bp =
2 cosπp2 ´etats co¨ıncidaient. Cela nous a donc conduit `a penser qu’il y avait des relations exactes, valables quelle que soit la taille du r´eseau et la temp´erature, entre les fonctions de partition de ces deux mod`eles. Ces relations, que nous avons publi´ees dans [21], sont donn´ees dans les sous-sections 4.2.3, puis 4.2.4 pour les mod`eles twist´es. Les implications sur les spectres des matrices de transfert sont expos´ees dans la sous- section 4.2.5.
Nous terminons ce chapitre en consid´erant le mod`ele RSOS avec des CL cycliques/fix´ees, en exposant dans la section 4.3.1 les travaux de Saleur et Bauer [18]. Nous donnons la fa¸con de calculer les fonctions de partition correspondantes, not´ees χ1,2l+1. Ces χ1,2l+1 nous permettront
76 CHAPITRE 4. MOD `ELES RSOS
dans le chapitre 5 d’´ecrire des d´eveloppements de la fonction de partition du mod`ele de Potts `a Bp ´etats, et d’´etudier le diagramme de phase du mod`ele.