4.3 Mod`ele RSOS avec CL fix´ees
4.3.2 Calcul des χ 1,2l+1
Nous d´etaillons ici la mani`ere de calculer num´eriquement les χ1,2l+1(p, L, N, x) pour des
valeurs donn´ees de p entier, de la largeur L, de la longueur N et de la temp´erature x. D’apr`es le r´esultat de la sous-section pr´ec´edente, on a :
χ1,2l+1(p, L, N, x) = TrT1,2l+1(p, L, x)N , (4.53)
o`u T1,2l+1(p, L, x) est la matrice de transfert du mod`ele RSOS Ap−1, pour une largeur L et une
temp´erature x, avec les hauteurs fix´ees de chaque cˆot´e `a 1 et 2l + 1. Il faut bien noter qu’il s’agit d’une trace standard, les CL longitudinales ´etant p´eriodiques. T1,2l+1 agit sur l’espace engendr´e
par les vecteurs |h1, h2, . . . , h2L+1i, avec h1 et h2L+1 fix´ees respectivement `a 1 et 2l + 1. Pour
d´eterminer sa dimension, il suffit donc de d´enombrer le nombre de marches al´eatoires de 2L pas sur Ap−1 commen¸cant par 1 et finissant `a 2l + 1. En raisonnant avec les valeurs propres de Gp−1, on trouve une expression analogue `a l’Eq (4.47) en rempla¸cant n par 2L. Une autre m´ethode, que nous avons donn´ee dans l’appendice de [22], consiste `a d´enombrer directement ces marches. Nous verrons dans le chapitre suivant une m´ethode alg´ebrique permettant de d´eterminer de fa¸con simple cette dimension. Asymptotiquement, d’apr`es l’Eq (4.47), elle est d’ordre QL. Effectivement, les T1,2l+1 nous permettront de calculer la fonction de partition du
mod`ele de Potts `a p entier avec des CL cycliques. Les conventions choisies sont repr´esent´ees dans les Fig. (4.4) et (4.5).
92 CHAPITRE 4. MOD `ELES RSOS • • • • • • • • h1= 1 h3 h5 h4 h2
Fig. 4.5 – R´eseau RSOS (lignes pleines) et conventions de num´erotation pour les hauteurs pour un r´eseau triangulaire de largeur L = 2 (en pointill´es). La fl`eche indique la direction de propagation de la matrice de transfert.
Chapitre 5
Mod`ele de Potts pour Q nombre de
Beraha
Nous consid´erons maintenant `a proprement parler le mod`ele de Potts, avec des CL cycliques, lorsque le nombre d’´etats Q vaut un nombre de Beraha Bp = 4 cos2
π p
. Les d´eveloppements en K1,2l+1 obtenus chapitre 3 se recombinent alors en d´eveloppements en χ1,2l+1, fonctions de
partition du mod`ele RSOS avec des conditions aux limites cycliques/fix´ees, comme l’ont montr´e Pasquier et Saleur dans [16]. Ainsi, de nombreuses valeurs propres de la matrice de transfert dans la repr´esentation en amas ont une amplitude nulle ou s’annulent par paires `a cause d’amplitudes oppos´ees, et ne vont donc plus intervenir dans la fonction de partition du mod`ele. Ils en ont donn´e une interpr´etation alg´ebrique `a l’aide de la th´eorie de repr´esentation du groupe quantique Uq(sl(2)), pour q racine de l’unit´e, que nous exposons dans la sous-section 5.1.2. De mani`ere
remarquable, lorsque x est situ´e dans la phase de Berker-Kadanoff, la valeur propre dominante dans la repr´esentation en amas, ainsi que toutes les valeurs propres ayant le mˆeme comportement d’´echelle, s’annulent, comme l’a discut´e Saleur dans [93] et [17]. Ainsi, l’´energie libre f du syst`eme est modifi´e : f (p, x), pour x dans la phase de BK, a des singularit´es lorsque p prend des valeurs enti`eres. Le calcul de l’´energie libre `a p entier dans la r´egion antiferromagn´etique a ´et´e fait r´ecemment par Jacobsen et Saleur [92].
Cela entraˆıne que le comportement critique du mod`ele de Potts peut ˆetre modifi´e lorsque p est entier, et a motiv´e notre ´etude du diagramme de phase du mod`ele de Potts dans le plan des temp´eratures x complexes, que nous avons publi´ee dans [22]. Les questions pos´ees ´etaient les suivantes :
1. Le diagramme de phase ´etant modifi´e, xBK reste-t-il un point fixe ? Et si oui, quelles sont
ses propri´et´es ?
2. Dans le diagramme de phase g´en´erique, la ligne chromatique x = −√1
Q ne joue pas de rˆole
particulier pour un r´eseau carr´e, mais est une ligne int´egrable pour un r´eseau triangulaire, comme l’a montr´e Baxter [94],[95]. x = −√1
Q joue-t-il un rˆole particulier pour p entier ?
En particulier, on sait que pour un r´eseau triangulaire et Q = 2 (p = 4), il correspond `a un point critique de charge centrale 1, la limite continue ´etant celle d’un champ gaussien libre [96],[60],[59]. Pour Q = 3 (p = 6), il correspond `a un point non critique, la fonction de partition Z ´etant triviale et ´egale `a 3 (le r´eseau triangulaire est tricoloriable). Pour Q = 4 (p = ∞), il correspond `a un point critique de charge centrale 2 [99],[100]. Qu’en
94 CHAPITRE 5. MOD `ELE DE POTTS POUR Q NOMBRE DE BERAHA
est-il pour une valeur enti`ere quelconque de p ?
3. Pour p entier, on s’attend `a ce que la structure du diagramme de phase d´epende du r´eseau, contrairement `a l’universalit´e observ´ee pour Q g´en´erique. Par exemple, pour un r´eseau carr´e, x = −√1
Q correspond pour Q = 2 `a un point non critique (Z valant simplement 2),
et pour Q = 3 `a un point critique de charge centrale 1 par ´equivalence avec un mod`ele `a six vertex critique [97],[98]. De plus, le diagramme peut d´ependre des CL, c’est pourquoi nous avons consid´er´e dans [22] des CL cycliques et des CL cycliques/fix´ees.
4. Une ´etude num´erique de la charge centrale, effectu´ee par Jacobsen et Saleur dans [92], a montr´e la pr´esence de nouveaux points critiques dans la phase de BK. Il se pose donc la question de savoir o`u sont situ´es ces points.
Nous exposons notre ´etude dans la section 5.2. Nous commen¸cons par pr´esenter dans la sous-section 5.2.1 un historique sur l’´etude des z´eros de la fonction de partition dans le plan des temp´eratures complexes, afin de rappeler les principales ´etudes qui ont d´ej`a ´et´e faites. L’id´ee de travailler dans le plan complexe a ´et´e ´emise par Lee et Yang en 1952, qui ont consid´er´e le mod`ele d’Ising en pr´esence d’un champ magn´etique complexe. Fisher a ensuite ´etendu en 1964 cette id´ee [70], en ´etudiant les z´eros de la fonction de partition du mod`ele d’Ising sans champ dans le plan des temp´eratures complexes. Il a montr´e que les points d’intersection des lignes d’accumulation des z´eros de Z dans la limite de grande taille avec l’axe r´eel correspondaient aux points critiques du mod`ele. Depuis, de nombreuses autres ´etudes des z´eros de fonctions de partition du mod`ele d’Ising et plus g´en´eralement du mod`ele de Potts ont ´et´e effectu´ees, notamment par Chang et Shrock [87],[88],[89],[90]. Cependant, `a notre connaissance, aucune ´etude aussi compl`ete que celle que nous avons publi´ee dans [22] n’a ´et´e r´ealis´ee, car nous avons consid´er´e des largeurs L allant jusqu’`a 12 et des longueurs infinies (le th´eor`eme de Beraha- Kahane-Weiss donnant la mani`ere d’obtenir les points d’accumulation des z´eros pour une largeur fix´ee et une longueur tendant vers l’infini), ainsi que des valeurs de p allant jusqu`a 10 (et ´egalement le cas o`u p = ∞ qui correspond `a Q = 4). La proc´edure utilis´ee est expos´ee dans la sous-section 5.2.2. Nous donnons par souci p´edagogique nos r´esultats pour le mod`ele d’Ising d´efini sur un r´eseau carr´e avec des CL cycliques dans la sous-section 5.2.3, que nous g´en´eralisons `
a une valeur enti`ere quelconque de p dans la sous-section 5.2.4. Nous donnons nos r´esultats pour un r´eseau triangulaire dans la sous-section 5.2.5. Nous ´etudions le cas des CL cycliques/fix´ees (pour un r´eseau carr´e ou triangulaire) dans la sous-section 5.2.6. Nous finissons par donner dans la sous-section 5.2.7 un r´ecapitulatif des r´esultats nouveaux obtenus.