2.3 Etude num´erique de deux mod`eles de Potts coupl´es
2.3.2 Charge centrale
Nous avons vu `a la fin de la sous-section 1.3.1 qu’en param´etrisant Q par Q = 4 cos2(πg)
(lorsque g varie entre 0 et 32, Q parcourt [0, 4] trois fois), les solutions autoduales ont l’expression suivante :
v1= z(1 − z), v12= (z − 1)2, z ≡ 2 cos 2π
3 g
. (2.93)
Pour d´eterminer les valeurs de la charge centrale effective c, on a effectu´e des interpolations `
a trois largeurs de la forme :
f0(L) = −
πc 6L2 +
A
2.3. ETUDE NUM ´ERIQUE DE DEUX MOD `ELES DE POTTS COUPL ´ES 49 2 2 1 3 1 1 2 3 3 1 2 2
Fig. 2.2 – Ruban semi-infini ici de largeur L = 2 triangles dans la direction verticale. Les CL transverses sont p´eriodiques et donc les haut et bas de la figure doivent ˆetre identifi´es. Les spins sont situ´es aux niveaux des cercles et interagissent le long des lignes en trait plein, qui forment un r´eseau triangulaire. La num´erotation `a l’int´erieur des cercles correspond `a la d´ecomposition en trois sous-r´eseaux du r´eseau triangulaire. Le mod`ele de boucles est d´efini sur le r´eseau m´edial, en l’occurence un r´eseau de Kagom´e, repr´esent´e en traits pointill´es. La matrice de transfert propage le syst`eme le long de la direction horizontale, de gauche `a droite. Les traits verticaux correspondent `a deux couches de temps successives.
le terme non-universelLA4 ´etant suppos´e repr´esenter les correctiosn d’ordre sup´erieur. Les valeurs
obtenues pour c(g) sont repr´esent´ees dans la Fig. (2.3). On a effectu´e trois interpolations : on a utilis´e des largeurs L − 4, L − 2, et L, L valant 6, 8 ou bien 10 selon l’interpolation.
On voit que le couplage K12 entre les deux mod`eles est non pertinent pour 14 ≤ g < 34 car
les r´esultats num´eriques montrent que la charge centrale vaut simplement :
c(g) = 2 1 −6(1 − g) 2 g , pour 1 4 ≤ g < 3 4 , (2.95)
ce qui correspond `a deux fois la charge centrale d’un seul mod`ele de Potts au point ferro- magn´etique [17] (voir la sous-section 3.3.2 pour les rappels sur la valeur de la charge centrale aux points critiques du mod`ele de Potts, on rappelle que g vaut πp). La limite continue, pour
1
4 ≤ g < 34, est donc celle de deux mod`eles d´ecoupl´es et ferromagn´etiques. Ce r´esultat corres-
pond `a ce qu’aurait donn´e une analyse perturbative na¨ıve, le couplage K12 devenant marginal
pour g = 34 (ce qui correspond `a Q = 2, i.e. au mod`ele d’Ising).
La zone 0 ≤ g ≤ g1 avec g1 ≈ 0.15 correspond `a une charge centrale sup´erieure `a 2. En
particulier, pour g = 0 (i.e. Q = 4), les r´esultats num´eriques laissent penser que c(g = 0) = 3. L’interpr´etation dans la limite continue n’est donc pas ´evidente, le couplage entre les mod`eles ´etant pertinent. Pour 1 < g < g2, avec g2 ≈ 1.10, notre diagonalisation num´erique n’a pas
fonctionn´e, peut-ˆetre parce que la valeur propre dominante ´etait imaginaire. Pour g2 < g < 32,
le couplage a aussi un effet non trivial, la charge centrale n’´etant pas simplement le double de la charge centrale d’un seul mod`ele au point fixe de Berker-Kadanoff (point critique pour un seul mod`ele correspondant `a ce domaine de g, voir la sous-section 3.3.2).
50 CHAPITRE 2. CARACT ´ERISATION DU COMPORTEMENT CRITIQUE
Fig. 2.3 – Charge centrale en fonction de g. La courbe en train plein montre le r´esultat exact valable pour 14 ≤ g ≤ 34.
Chapitre 3
Mod`ele de Potts pour Q g´en´erique
Nous allons d´evelopper la fonction de partition du mod`ele de Potts `a l’aide de quantit´es not´ees K1,2l+1, qui sont des g´en´eralisations de caract`eres au cas d’un r´eseau discret et pour
n’importe quelle temp´erature. Pour cela, nous choisissons des conditions aux limites avanta- geuses : des CL cycliques, c’est-`a-dire p´eriodiques selon la longueur N et libres selon la largeur L. La fonction de partition Z se d´ecompose alors comme :
Z =
L
X
l=0
c(l)K1,2l+1 , (3.1)
o`u les c(l) sont les coefficients du d´eveloppement.
Il existe diff´erentes mani`eres d’´etablir ce d´eveloppement. Pasquier et Saleur [16] l’ont ob- tenu en utilisant le groupe quantique Uq(sl(2)). l s’interpr`ete alors comme un spin, et les c(l)
sont des nombres q-d´eform´es. Chang et Shrock [44],[43] ont r´eobtenu le d´eveloppement dans la repr´esentation en spins. Dans notre article [51], nous pr´esentons une nouvelle m´ethode, pure- ment combinatoire, qui utilise la repr´esentation en amas. Nous retrouvons les coefficients c(l) puissance de Q par puissance de Q, et nous montrons bien que les d´efinitions des K1,2l+1 sont
´equivalentes entre les trois m´ethodes. Cette nouvelle m´ethode a l’avantage de pouvoir s’appli- quer `a d’autres types de conditions aux limites, par exemple des conditions cycliques/fix´ees, i.e. p´eriodiques selon la longueur et fix´ees selon la largeur. De plus, en la g´en´eralisant, nous pour- rons consid´erer des conditions aux limites toro¨ıdales, comme nous le verrons dans le chapitre 6. La m´ethode est expos´ee dans la sous-section 3.1.1. Nous exposons dans la sous-section 3.1.2 les autres m´ethodes qui existaient d´ej`a, et nous prouvons que les r´esultats obtenus avec ces diff´erentes m´ethodes sont bien ´equivalents.
Le d´eveloppement de Z obtenu permet de caract´eriser le diagramme de phase du mod`ele, i.e. de donner le contenu en op´erateurs aux points fixes, lorsque le nombre d’´etats Q est g´en´erique. Par Q g´en´erique, nous entendons que Q doit ˆetre diff´erent des nombres de Beraha. Ces nombres, introduits par Beraha comme limites de z´eros de polynˆomes chromatiques [61], sont de la forme :
Bp= 2 cos π p 2 (3.2)
avec p entier. En particulier, B4 vaut 2 et correspond au mod`ele d’Ising, et B6 vaut 3 et corres-
pond au mod`ele de Potts `a trois ´etats. En effet, lorsque Q vaut un Bp, nous verrons chapitre
52 CHAPITRE 3. MOD `ELE DE POTTS POURQ G ´EN ´ERIQUE
5 qu’il y a des annulations entre diff´erents K1,2l+1, ce qui limite l’int´erˆet des d´ecompositions
faites dans ce chapitre. Afin d’ˆetre sur qu’il n’y a pas d’annulation entre K1,2l+1, nous sup-
poserons en fait que le nombre p d´efini par √Q = 2 cosπp est irrationnel.1 Saleur a en particulier mis en ´evidence l’existence d’une phase de Berker-Kadanoff dans la r´egion antiferro- magn´etique [17]. Une telle phase est caract´eris´ee par des corr´elations alg´ebriques, i.e. par une longueur de corr´elation infinie [58]. Cela s’explique par la pr´esence d’un point fixe attractif en temp´erature, appel´e point fixe de Berker-Kadanoff. Les r´esultats existant sur le diagramme de phase du mod`ele de Potts avec Q g´en´erique sont expos´es dans la section 3.2.