Repr´esentation en amas

La repr´esentation en spins a comme avantage de donner des poids simples aux valeurs propres de T . Cependant, elle n’existe que pour Q entier. Pour Q g´en´erique, il est n´ecessaire d’utiliser le d´eveloppement en amas de Z, voir Eq. (1.9), ou bien le d´eveloppement en boucles ´equivalent. Notons que comme `a une configuration d’amas sur le r´eseau G est associ´ee de fa¸con biunivoque une configuration de boucles sur le r´eseau m´edial M de G, les deux repr´esentations sont ´equivalentes (en particulier les matrices de transfert ont mˆeme dimension). Ce sont Bl¨ote et Nightingale [27] qui ont construit une matrice de transfert dans la repr´esentation en amas, et nous exposons dans cette sous-section la fa¸con de proc´eder.

Le probl`eme est que les amas sont des objets non locaux, donc le facteur Qn(G′) est non local. La proc´edure est donc la suivante : on construit G′ couche par couche, en consid´erant les connectivit´es des sites de la couche consid´er´ee, compte tenu des couches pr´ec´edentes. T agit donc sur l’espace des connectivit´es possibles pour une colonne. On d´enote les vecteurs de base |vPi, P ´etant une partition de taille L (les sites ´etant dans la mˆeme partition sont connect´es).

L’op´erateur de d´etachement Di est d´efini par :

Di|vPi = |v_{P \i}i si {i} /∈ P (2.72)

Di|vPi = Q|vPi si {i} ∈ P (2.73)

tandis que l’op´erateur de liaison Ji,i′ est d´efini par :

2.2. MATRICE DE TRANSFERT 43

o`<sub>u P \ i est la partition obtenue `a partir de P en isolant i, et P • ii</sub>′ _{est la partition obtenue en}

amalgamant les blocs contenant i et i′. Ces op´erateurs sont donc les analogues des op´erateurs de d´etachement et de liaison vus pour la repr´esentation en spin.

On d´efinit les matrices de transfert ´el´ementaires et la matrice de transfert T de mani`ere analogue `a la sous section pr´ec´edente. Il reste `a savoir quels sont les ´etats de d´epart et d’arriv´ee, afin d’impl´ementer les CL longitudinales. Lorsqu’elles sont p´eriodiques, on ne peut pas en fait utiliser T , car les premi`ere et derni`ere couches devant ˆetre identifi´ees, on verra chapitre 3 qu’il est n´ecessaire de tenir compte des connectivit´es de la derni`ere couche, et nous d´efinirons donc une matrice de transfert plus grande. Par contre, le cas de CL libres ne posent pas de probl`eme. En effet, l’´etat de d´epart est |vIdi, o`u Id est la partition o`u chaque site est un singleton : en

l’absence de liens, aucun site n’est reli´e ! L’´etat final |ui est un ´etat permettant d’attribuer les facteurs de Q aux amas se terminant au niveau de la derni`ere couche. |ui est ainsi d´efini par :

hu|vPi = Q|P |. (2.75)

La fonction de partition est donn´ee par :

Z = hu|H TN −1|vIdi . (2.76)

Il est important de noter que pour Q entier on peut aussi bien utiliser la repr´esentation en spins que la repr´esentation en amas. Pourtant, bien que la fonction de partition Z ne change pas, les matrices de transfert sont diff´erentes : elles n’agissent pas sur le mˆeme espace. Ainsi, la di- mension de T dans la repr´esentation en amas n’est pas QLmais le nombre de partitions possibles au sein d’une couche. D´eterminons cette dimension dim(T ). Des d´etails sur les d´enombrements de ce type peuvent ˆetre trouv´es dans les deux livres de Stanley [76], ainsi que dans l’encyclop´edie en ligne des s´equences d’entiers [77]. Le nombre de partitions de {1, . . . , L} est donn´e par le nombre de Bell B(L), dont la fonction g´en´eratrice est :

EB(x) = ∞ X L=0 B(L)x L L! = exp (exp(x) − 1) . (2.77)

Cependant, comme |vIdi est l’ ´etat de d´epart, et comme G est planaire (en effet, les CL longitu-

dinales sont libres, le cas o`u les CL transverses et longitudinales sont toutes deux p´eriodiques, i.e. le cas o`u les CL sont toro¨ıdales, ne sera trait´e qu’au chapitre 6), seules les partitions sans croisement sont autoris´ees. Par cons´equent, dim(T ) est ´egale au nombre de partitions sans croisement de {1, . . . , L}, appel´e nombre de Catalan CL :

CL= 1 L + 1 2L L  . (2.78)

CLa un comportement asymptotique de la forme :

CL∼ 4LL−

3 2π−

1

2 . (2.79)

Pour L grand, dim(T ) est en 4L_{, tandis que dans la repr´esentation en spins elle valait Q}L_.

Pour Q (entier) sup´erieur `a 4, T dans la repr´esentation en spins contient trop de valeurs propres : certaines valeurs propres doivent en effet avoir forc´ement une amplitude nulle, Z devant ˆetre inchang´e quelle que soit la repr´esentation. Comme expliqu´e pr´ec´edemment, les amplitudes

44 CHAPITRE 2. CARACT ´ERISATION DU COMPORTEMENT CRITIQUE

d´ependent des CL longitudinales. Nous allons montrer qu’effectivement compte tenu du vecteur de d´epart avec des CL longitudinales libres, `_{a savoir |1i, de nombreuses amplitudes sont nulles.} En effet, comme on part de |1i, seul le sous espace engendr´e par les vecteurs obtenus par l’action de H et V sur |1i doit ˆetre consid´er´e. Ces op´erateurs sont constitu´es de fonctions δ, on peut prendre comme vecteurs de base les vecteurs vP d´efinis comme la somme des ´etats des spins tels

que les spins dans les mˆemes blocs de P soient dans le mˆeme ´etat. Par exemple, |1i correspond `a |vIdi, c’est-`a-dire au vecteur ´egal `a la somme sur tous les ´etats de spin. G ´etant planaire, seules les

partitions P sans croisement sont possibles. On peut alors montrer que sur ces nouveaux vecteurs de base les actions des op´erateurs de d´etachement et de liaison sont exactement les mˆemes que dans la repr´esentation en amas, ce qui permet de conclure que les deux repr´esentations sont bien ´equivalentes. Lorsque Q est plus petit que la largeur L, le raisonnement pr´ec´edent n’est plus strictement valable, car les vecteurs vP d´efinis ne sont plus ind´ependants. Cependant, par

prolongement analytique en Q, on peut formellement les consid´erer comme ind´ependants, et ´etendre les r´esultats `a toutes les valeurs de Q. En particulier, pour Q (entier) inf´erieur `a 4, T dans la repr´esentation en spins contient aussi trop de valeurs propres, mˆeme si sa dimension est plus petite que dans la repr´esentation en amas ! Cela s’explique par le fait que dans la repr´esentation en amas pour Q < L des valeurs propres sont d´eg´en´er´ees, de sorte que le nombre de valeurs propres distinctes est plus grand dans la repr´esentation en spins.