5.2 Diagramme de phase dans le plan des temp´eratures complexes
5.2.7 Conclusions
Nous avons ´etudi´e le diagramme de phase du mod`ele de Potts `a Bp ´etats avec des CL
cycliques ou cycliques fix´ees, de mani`ere `a avoir un d´eveloppement de la fonction de parti- tion Z du mod`ele de Potts `a l’aide de fonctions de partition χ1,2l+1 du mod`ele RSOS Ap−1.
Ce d´eveloppement nous a permis, en utilisant le th`eor`eme de Beraha-Kahane-Weiss [42], de d´eterminer les courbes BL sur lesquelles s’accumulent les z´eros de Z s’accumulent lorsque la
5.2. DIAGRAMME DE PHASE DANS LE PLAN DES TEMP ´ERATURES COMPLEXES111
Fig. 5.7 – Courbes limites `a p = 4, pour un r´eseau carr´e de largeur L = 2 (en noir), L = 3 (en rouge), et L = 4 (en vert), avec des conditions aux limites cycliques fix´ees. On conjecture que les deux cercles repr´esent´es appartiennent `a B∞. Les carr´es correspondent aux quatre points critiques pour Q g´en´eriques. On voit qu’il n’y a qu’un seul z´ero limite suppl´ementaire x = −√2 et non deux, lorsque les CL sont cycliques fix´ees.
les diff´erentes phases du diagramme par le nombre l correspondant `a la valeur propre dominante dans cette phase. Le fait que les courbes BL pr´esentent des aspects similaires quel que soit L
nous a permis de faire des conjectures sur la limite thermodynamique L → ∞ du mod`ele de Potts, et donc sur son diagramme de phase.
Nous donnons les principales conclusions de notre ´etude, en les num´erotant dans le mˆeme ordre que les questions pos´ees en introduction :
1. xF M(Q) et x−(Q) (ainsi que son dual x+(Q) dans le cas d’un r´eseau carr´e), qui sont des
points critiques dans le diagramme de phase g´en´erique, jouent un rˆole similaire `a p entier. Ce r´esultat n’est pas surprenant, car ce n’est pas au niveau de ces points qu’on s’attend `a ce que la valeur propre dominante dans la repr´esentation en amas ait une amplitude nulle. Il est par contre surprenant que xBK(Q) soit toujours un point critique. Cependant, ses
propri´et´es sont chang´ees, voir par exemple la Fig. (5.3), et d´eterminer ses caract´eristiques pour p entier quelconque reste une question ouverte.
2. Pour un r´eseau carr´e, B∞ contient x = − √
Q
2 pour p entier et x = −
√
Q pour Q entier (voir la sous-section 5.2.4). Pour un r´eseau triangulaire, B∞ contient x = −√2Q pour p
entier et x = −√1
Q pour Q entier (voir la sous-section 5.2.5). Ainsi, pour les deux r´eseaux
le mod`ele subit une transition de phase sur la ligne chromatique x = −√1
Q ou son dual,
mais uniquement pour Q entier. Il est tentant de penser que la ligne chromatique et son dual joueraient des rˆoles identiques avec des CL p´eriodiques dans les deux directions. 3. Nous avons vu que dans le cas de CL cycliques, les z´eros de Z sont denses dans un domaine
112 CHAPITRE 5. MOD `ELE DE POTTS POUR Q NOMBRE DE BERAHA
le cas lorsqu’on consid`ere des CL cycliques/fix´ees. Un autre exemple de l’importance des CL a ´et´e donn´e par l’argument de la sous-section 5.2.6 selon lequel que se restreindre `a χ1,1 revient essentiellement `a consid´erer un mod`ele de Potts avec des CL libres.
4. Il est int´eressant de comparer les points critiques que nous avons obtenus en consid´erant l’intersection des BL avec l’axe des abscisses avec ceux obtenus par Jacobsen et Saleur en
calculant num´eriquement la charge centrale effective [92]. En particulier, il est plausible que les deux nouveaux points critiques qu’ils ont identifi´e Fig. 23 de [92] soient situ´es exactement en x = −√1
Q ≃ −0.618 et x = − √
Q
2 ≃ −0.809. Ces points font partie des
Chapitre 6
Cas de conditions aux limites
toroidales
Nous avons dans les chapitres 3 et 5 ´etudi´e des mod`eles de Potts avec des conditions aux limites cycliques. En particulier, nous avons d´ecompos´e la fonction de partition du mod`ele de Potts et expliqu´e les raisons pour lesquelles la phase de Berker-Kadanoff disparaissait lorsque p est entier. La question qui se pose est de savoir ce qui se passe pour d’autres CL, notamment des CL toro¨ıdales. Cette question n’est pas triviale, car dans la zone des x < 0, nous avons vu dans le chapitre 5 que le diagramme de phase d´ependait fortement des CL.
Le cas des CL toro¨ıdales est complexe et a ´et´e beaucoup moins ´etudi´e que celui des CL cycliques. Nous rappelons dans la section 6.1 les diff´erentes ´etudes qui ont ´et´e faites. Dans la sous-section 6.1.1, nous donnons les amplitudes obtenues par Read et Saleur en utilisant la m´ethode du gaz de Coulomb [130]. Ils ont en effet g´en´eralis´e les calculs de Di Francesco, Saleur et Zuber publi´es dans [29]. Cependant, ces amplitudes ne sont a priori valables que pour un mod`ele de Potts critique avec des CL toro¨ıdales dans la limite continue. Le probl`eme est donc de savoir si ces amplitudes sont ´egalement correctes pour un r´eseau quelconque et n’importe quelle temp´erature. Dans la sous-section 6.1.2, nous parlons des ´etudes alg´ebriques effectu´ees, qui consistent `a ´etudier les repr´esentations de l’alg`ebre de Temperley-Lieb p´eriodique [19]. Nous finissons la section par exposer les travaux de Chang et Shrock publi´es dans [90] et [46], qui ont motiv´e notre article [53].
En effet, notre m´ethode combinatoire, comme expliqu´e dans le chapitre 3, est tr`es proche de la m´ethode utilis´ee par Chang et Shrock, `a ceci pr`es qu’elle va permettre beaucoup plus facilement de tenir compte des permutations possibles entre points noirs. Dans la section 6.2, nous exposons les probl`emes pos´es par les CL toro¨ıdales. Dans la section 6.3, nous ´etudions le d´eveloppement de la fonction de partition Z proprement dit. Ces deux sections corres- pondent `a notre ´etude publi´ee dans [53]. [53] est une version am´elior´ee de [52] (dans [52], nous avions consid´er´e le groupe sym´etrique Sl et non le groupe cyclique Cl, ce qui introduisait
des complications). Les formules nouvelles et importantes obtenues sont l’Eq. (6.55), donnant un d´eveloppement g´en´eral de Z quel que soit la taille et la temp´erature du r´eseau et mettant en ´evidence l’effet des permutations possibles entre points noirs (`a savoir les permutations du groupe cyclique Cl), ainsi que l’Eq. (6.61) donnant l’expression des amplitudes en fonction des
caract`eres des repr´esentations irr´eductibles (irreps) de Cl. L’Eq. (6.61) permet de relier les am-
plitudes au niveau l aux b(l) obtenus par Chang et Shrock [46], voir l’Eq. (6.62), et de retrouver 113
114 CHAPITRE 6. CAS DE CONDITIONS AUX LIMITES TOROIDALES
la formule de Read et Saleur en calculant les sommes de Ramanujan [138] intervenant dans l’´equation. Notre m´ethode permet donc de prouver cette formule dans un cadre tr`es g´en´eral et d’en donner une interpr´etation physique nouvelle. Ces r´esultats ont ´et´e publi´es dans [53].