Implications sur les matrices de transfert

Nous avons ´etabli diverses relations entre les fonctions de partition de plusieurs mod`eles diff´erents, mais qui se ”ressemblent”. Une illustration frappante de cette ressemblance consiste `

a comparer les valeurs propres des matrices de transfert des mod`eles, par exemple pour Q = 3. Elles sont donn´ees Table 4.1 pour une largeur L = 2. Tspinest la matrice de transfert du mod`ele

de Potts dans la repr´esentation en spins, et T_spindual est d´efinie par :

T_spindual(x) = x2LTspin(x−1) , (4.40)

de fa¸con `a ce que xBZPotts(x−1), quantit´e diff´erente de ZPotts(x) uniquement `a cause des dia-

grammes d´eg´en´er´es, soit donn´e simplement par TrhTdual spin(x)N

i

, car le nombre total de liens directs du r´eseau carr´e est B = 2LN . Notons qu’il s’agit bien d’une transformation de dualit´e, car le r´eseau carr´e avec CL toro¨ıdales ´etant autodual, il suffit juste de changer x en x−1.

On remarque imm´ediatement qu’il y a de nombreuses valeurs propres qui co¨ıncident, et l’objectif de cette sous-section est d’expliquer pourquoi. Consid´erons d’abord les mod`eles non twist´es. Dans la limite N → ∞, seule la valeur propre dominante de la matrice de transfert donne la d´ependance en N de la fonction de partition. Ainsi, on peut ´ecrire que ZRSOS ∼ ΛNr

et ZPotts ∼ ΛNs , Λr et Λs ´etant respectivement les valeurs propres dominantes de TRSOS et

Tspin. Comparons ZPotts et ZRSOS dans cette g´eom´etrie, en supposant x positif, de fa¸con `a ce

que les arguments standards de probabilit´e s’appliquent. Les configurations typiques d’amas sont telles que le diagramme de Pasquier ait un ordre n → ∞, puisque comme N ≥ L, les amas ont tendance `a percoler selon la direction verticale. Par cons´equent, l’expression de wc se

simplifie, car seule sa valeur propre dominante √Q importe, voir Eq. (4.20) : wc ∼ √Qn, et

donc les boucles non triviales ont aussi un poids √Q, comme dans le cas du mod`ele de Potts : ZPotts ∼ ZRSOS dans la limite N → ∞. On en d´eduit que les valeurs propres dominantes Λr et

4.2. CAS DES CL TORO¨IDALES 87

Transfer matrix : T_RSOSeven T_RSOSodd Tspin Tspindual

Twist : I Z2 I Z2 I Z2 Z3 I Z2 Z3 -4.547135105405 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 -4.536300662409 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 -4.530748290953 1 1 0 0 2 0 0 0 0 1 -3.512711596812 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 -3.502223380184 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 -3.441474985184 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 -3.397645107750 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 -3.348639214318 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 -3.292754029664 1 0 2 1 0 1 1 2 1 0 -2.335814864962 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 -2.307465012288 2 1 1 0 2 1 0 0 1 1 -2.285900912958 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 -2.251579827634 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 -2.236228400659 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 -2.203480723895 1 1 0 0 2 0 0 0 0 1 -2.202573934202 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 -2.158744056768 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0

Tab. 4.1 – Spectre des matrices de transfert des diff´erents mod`eles consid´er´es pour Q = 3, soumis `a des CL transverses periodiques (I) ou twist´ees (Z2 et Z3). La premi`ere colonne donne

les ´energies libres βfi = −L−1log(Λi), pour une largeur L = 2 et une temp´erature x = 5. Les

colonnes suivantes donnent les multiplicit´es de chaque fi. Une multiplicit´e ´egale `a 0 veut dire que

Λi n’est pas une valeur propre de la matrice de transfert consid´er´ee. La somme des multiplicit´es

88 CHAPITRE 4. MOD `ELES RSOS

les secteurs pair et impair du mod`ele RSOS, car Zeven

RSOS et ZRSOSodd ne diff´eraient qu’`a cause des

diagrammes d´eg´en´er´es, qui ont une probabilit´e nulle dans la g´eom´etrie consid´er´ee. On peut ainsi ´ecrire que :

ZRSOS ≃ 2ZRSOSeven ≃ 2ZRSOSodd . (4.41)

En effet, les valeurs propres maximale et minimale dans l’Eq. (4.20) diff`erent juste par un signe (ce qui n’a pas de cons´equence vu que n est pair) et donc plus pr´ecis´ement wc ≃ 2√Qn. De

mˆeme, les valeurs propres dominantes de Tspinet Tspindualsont identiques, les diagrammes d´eg´en´er´es

ne contribuant pas pour N → ∞.

Non seulement il y a ´egalit´e entre les valeurs propres dominantes de ces quatre matrices de transfert, mais aussi entre de nombreuses valeurs propres sous-dominantes, parfois avec des multiplicit´es diff´erentes. Cela est une cons´equence des relations entre fonctions de partition ´etablies pr´ec´edemment. Consid´erons par exemple l’Eq. (4.27). Les fonctions de partition, ´etant donn´ees par des traces de matrices de transfert (on ne consid`ere pas ici la matrice de transfert dans la repr´esentation en amas), s’´ecrivent sous la forme :

Z(x) =X

i

αi(Λi(x))N , (4.42)

o`u pour une largeur L donn´ee, les Λi(x) sont les valeurs propres de la matrice de transfert

correspondante et les αi leurs multiplicit´es. L’Eq. (4.27), ´etant valable pour tout N , impose des

contraintes sur les multiplicit´es. Ainsi, pour toute valeur propre, on doit avoir :

(Q − 1)(αevenRSOS− αoddRSOS) = αspin− αdualspin . (4.43)

Par exemple, si αeven

RSOS > αoddRSOS, on en d´eduit que la valeur propre apparaˆıt au moins dans

le spectre de Tspin(x), et peut-ˆetre aussi dans celui de Tspindual(x) avec une multiplicit´e moindre.

Le fait que certaines valeurs propres puissent avoir mˆeme multiplicit´e dans les secteurs pair et impair, i.e. αeven

RSOS = αoddRSOS, explique pourquoi les spectres des mod`eles RSOS et de Potts ne

sont pas exactement identiques.

Consid´erons maintenant les co¨ıncidences de valeurs propres entre les mod`eles RSOS twist´es et non twist´es. Nous allons expliquer pourquoi dans chaque secteur, pair ou impair, la valeur propre dominante de TZ2

RSOS est une valeur propre sous-dominante de TRSOS. Les configurations

contribuant `a ZZ2

RSOS sont celles o`u les amas non triviaux ont i2 pair, ce qui inclut en particulier

le cas d´eg´en´er´e. Dans la limite L << N , les configurations typiques sont ces configurations d´eg´en´er´ees, avec un amas non trivial direct dans le secteur pair et dual dans le secteur impair, voir Eq. (4.34). A cause de ces effets de parit´e, la valeur propre dominante du mod`ele twist´e n’est pas la mˆeme dans les deux secteurs, sauf bien sˆur pour x = 1 puisqu’alors Teven,Z2

RSOS et

Todd,Z2

RSOS sont identiques. En utilisant l’Eq. (4.35), et comme les valeurs propres dominantes ne

s’annulent pas `a droite, pour x g´en´erique, on en d´eduit qu’elles sont aussi pr´esentes `a gauche, et donc dans le spectre du mod`ele RSOS, la valeur propre dominante du secteur pair twist´e co¨ıncidant avec une valeur propre sous-dominante du secteur pair non twist´e et de mˆeme pour les secteurs impairs, si p₂ est impair, ou bien si p₂ est pair, ce sont des secteurs de parit´es oppos´ees qui sont en correspondance (cf. le facteur (−1)p2+1 de l’Eq. (4.35)). La raison pour laquelle ces

valeurs propres sont sous-dominantes dans les secteurs non twist´es est que les configurations dominantes pour N → ∞ sont comme nous l’avons vu celles avec un grand nombre d’amas percolant verticalement, les configurations d´eg´en´er´ees ´etant sous-dominantes.