Sources de bruit

Le bruit de fr´equence d’un laser ultra-stable est enti`erement d´etermin´e par le bruit de longueur optique de la cavit´e de stabilisation ainsi que par le gain et la bande passante de l’asservissement. On s’int´eresse ici aux diff´erents effets qui peuvent d´eplacer ou faire fluctuer la longueur optique de la cavit´e.

Fluctuations d’indice de r´efraction

Les fluctuations d’indice de r´efraction n proviennent du changement de temp´erature ou de pression du milieu de propagation. Pour de l’air sec, `a

temp´erature ambiante, cet indice d´epend lin´eairement de la pression P ex-prim´e en Pascal (Pa) :

n − 1 ∼ 3 × 10⁻⁹P (2.4) Imaginons, par exemple, que la cavit´e se trouve dans un environnement nor-mal de laboratoire et que le montage m´ecanique utilis´e soit le plus simple possible, c’est-`a-dire qu’elle est `a pression atmosph´erique. Dans ce cas, un exp´erimentateur, des syst`emes d’instrumentation et de climatisation peuvent g´en´erer suffisamment de fluctuations de pression acoustique (environ 60 dBA — acoustique) dans le laboratoire pour d´eplacer la fr´equence de la cavit´e de 20 kHz. Le d´eplacement en fr´equence peut atteindre ∼ 1 GHz pour un changement de pression atmosph´erique de l’ordre de 1 %. Ces effets sont gigantesques par rapport au bruit de fr´equence que l’on souhaite atteindre mais s’en affranchir est relativement simple. On limite l’influence des fluc-tuations de pression en mettant la cavit´e dans une enceinte ultra-vide. En consid´erant des fluctuations de pression d’environ 10 %, il faut atteindre une pression d’environ 10<sup>−6</sup> Pa (10<sup>−8</sup>mbar) pour limiter les fluctuations relatives de fr´equence `a 3×10⁻¹⁶soit des fluctuations absolues de 0, 1 Hz `a la longueur d’onde de 1064 nm. On supposera pour la suite que la cavit´e est dans le vide et que l’onde laser se propage `a la vitesse de c.

Pression de radiation

Les photons exercent une force de pression de radiation sur les miroirs de la cavit´e. Pour une cavit´e de finesse F = 700000 et une puissance incidente de 5 µW, la puissance circulant dans la cavit´e P_cavite est de l’ordre de 1 W. La force exerc´ee sur un miroir est donn´ee par

F = ^{2 Pcavite}

c ^(2.5)

et vaut 7 × 10⁻⁹ N. Si on assimile le miroir `a un disque contraint, o`u la force s’exerce uniform´ement, le d´eplacement du miroir est donn´e dans [98]. Le d´eplacement relatif de fr´equence correspondant s’exprime :

δν<sub>`</sub> ν` = 3 F r_m^{2 1 − β} 2 2π E L em² (2.6)

Cette relation n’est plus valable au voisinage de la r´esonance m´ecanique du miroir. Pour des miroirs d’´epaisseur e_m = 6 mm et de rayon r_m = 12, 7 mm en silice fondue (module d’Young E_FS = 73 × 109 GPa, coefficient de Poisson β_FS = 0, 17), le d´eplacement est de l’ordre de ∼ 2 × 10⁻¹⁸. Cet effet est totalement n´egligeable mˆeme dans le cas de fluctuations de puissance de 10 %.

Bruit de d´etection

Les fluctuations de fr´equence δν_`)_1Hz, dans une bande de 1 Hz, d’un laser asservi en fr´equence sur un r´esonateur de largeur ∆νc d´ependent du niveau de bruit pr´esent dans le signal d’erreur. Si le bruit est blanc, on peut ´ecrire la relation

δν_`)_1Hz∝ ^∆νc

SNR_1Hz ^(2.7)

o`u SNR)1Hz (pour Signal to Noise Ratio) est le rapport signal sur bruit dans une bande de 1 Hz. Cette relation est valable quelque soit la m´ethode utilis´ee pour l’obtention du signal d’erreur. Dans le cas o`u le r´esonateur est une cavit´e Fabry-Perot, l’´equation suivante met en ´evidence l’int´erˆet d’avoir une finesse ´ elev´ee : δν<sub>`</sub>)<sub>1Hz</sub>∝ <sup>1</sup> F 1 SNR)<sub>1Hz</sub> <sup>(2.8)</sup> En augmentant la finesse on diminue l’importance des fluctuations de fr´equence pour un mˆeme rapport signal sur bruit. Par exemple, pour avoir un laser ultra-stable dont les fluctuations sont de 0, 1 Hz en utilisant une cavit´e de fi-nesse 700000 et de longueur 100 mm, il faut que ces effets aient une influence inf´erieure `a 10⁻⁴ de la largeur de la r´esonance ∆ν_c. Pour une cavit´e de mˆeme longueur et de finesse 10 fois plus faible, la largeur de la r´esonance est 10 fois plus grande, les effets parasites et les niveaux de bruit doivent dans ce cas ˆetre r´eduits au niveau de 10⁻⁵∆ν_c pour obtenir un laser ´equivalent au pr´ec´edent.

La d´etection de la diff´erence de fr´equence entre celle du laser et celle de la cavit´e se fait en utilisant une photodiode. De part la nature quantique de la lumi`ere, le signal qu’elle fournit est entach´e d’un bruit blanc, dit de grenaille (ou shot noise). Traduit en densit´e spectrale de puissance (DSP), ce bruit limite les performances de l’asservissement au niveau de

Ssn = 2 h Ppdν` [W².Hz⁻¹] (2.9) avec P_pd la puissance laser vue par la photodiode et h la constante de Plank. Ce niveau de bruit augmente avec la racine carr´e du nombre moyen de pho-tons d´etect´es N . Le rapport signal sur bruit augmente donc comme √

N . A ce bruit, il faut ajouter le bruit de la photodiode (courant d’obscurit´e), des amplificateurs ´electroniques et du m´elangeur de fr´equence, dont on ne peut se passer pour la mise en forme du signal d’erreur. Ces bruits ne sont ´

evidemment pas la cause de fluctuations de longueur, mais ils sont interpr´et´es par la boucle d’asservissement comme ´etant un bruit fictif de la fr´equence de la cavit´e. Le faisceau laser ´etant asservi sur la cavit´e, ces bruits contribuent donc aux fluctuations de fr´equence du laser stabilis´e.

Bruit thermique

Ce bruit d´etermine les fluctuations de longueur intrins`eques d’une cavit´e. Pour une longueur de cavit´e donn´ee, il d´etermine le bruit et la stabilit´e de fr´equence limites atteignables. La DSP de ce bruit est inversement propor-tionnel `a la fr´equence de Fourier consid´er´ee (bruit de scintillation ou flicker de fr´equence). Du fait de cette d´ependance en f⁻¹, la stabilit´e relative de fr´equence (ou de longueur) d’une cavit´e, limit´ee par ce bruit thermique, ne pourra pas d´epasser un palier ind´ependant du temps d’int´egration consid´er´e. Il est dˆu `a la dissipation de l’´energie thermique des ´el´ements constituant la cavit´e : le corps de la cavit´e (ou cale d’espacement), les miroirs et leur traitement r´efl´echissant (la fonction du corps de la cavit´e est expliqu´e au paragraphe suivant 2.1.1). Le th´eor`eme de fluctuation dissipation [99] permet de calculer la DSP monolat´erale du d´eplacement u `a la fr´equence de Fourier f , induit par chacun de ces ´el´ements. Ce th´eor`eme peut s’´ecrire sous la forme suivante

Su(f ) = −^{4 kB T}

2π f =[H(f )] (2.10) avec kBet T qui sont respectivement la constante de Boltzmann et la temp´ era-ture. H(f ) est la fonction de transfert d´efinie par :

H(f ) = ^{U (f )}

F (f ) ^(2.11)

F (f ) et U (f ) ´etant les transform´ees de Fourier des fonctions f (t) la force appliqu´ee `a la surface consid´er´ee et u(t) le d´eplacement induit. La fonction =[H(f )] (partie imaginaire de la fonction H(f )) d´epend ´evidemment de la g´eom´etrie et des propri´et´es m´ecaniques du syst`eme ´etudi´e, mais surtout, il est proportionnel aux pertes m´ecaniques du mat´eriau φ. Numata et al. [71] donnent les valeurs des pertes m´ecaniques pour les verres sp´eciaux les plus couramment utilis´es pour la r´ealisation de cavit´es : Zerodur, l’ultra-low-expansion glass (ULE) et la silice fondue qui valent respectivement φ_zero = 3, 2 × 10⁻⁴, φ_ULE = 1, 6 × 10⁻⁵ et φ_FS = 10⁻⁶. On constate que le plus avantageux, de ce point de vue, est la silice fondue car elle provoque des d´eplacements de deux ordres de grandeur plus petits que le Zerodur. En effet, plus le facteur de qualit´e m´ecanique (´egale `a l’inverse des pertes) est petit plus la r´esonance m´ecanique est importante et donc l’´energie dissip´ee hors r´esonance faible.

Le crit`ere des pertes m´ecaniques n’est pas le seul `a consid´erer, il faut y ajouter un crit`ere li´e `a la forme de la structure, autrement dit, on doit consid´erer la contribution de chacun des ´el´ements sur le d´eplacement total. Une expression analytique est donn´ee dans ce mˆeme article pour chacun des

´

el´ements de la cavit´e. Cependant, la validit´e du calcul repose sur plusieurs hypoth`eses. La premi`ere, due `a la m´ethode, est que le d´eplacement total est ´egal `a la somme quadratique des contributions de chaque ´el´ement pris s´epar´ement. Cela veut dire que, par exemple, le miroir n’a pas d’influence sur le bruit du corps de la cavit´e d’une part et d’autre part que le bruit du miroir et du corps ne sont pas corr´el´es. La seconde est de consid´erer la taille du col du faisceau n´egligeable devant la surface du miroir (´epaisseur et aire infinies). Enfin, la troisi`eme hypoth`ese est due `a la mauvaise connaissance des pertes m´ecaniques du traitement r´efl´echissant et ´eventuellement celle de son ´

epaisseur (elle n’est pas toujours communiqu´ee par le fabriquant). Malgr´e ces approximations, l’application du calcul donne une id´ee assez correcte (compar´e `a ce qui est obtenu par calcul num´erique) de la contribution de chacun des ´el´ements.

La DSP du bruit de position d’une extr´emit´e d’un barreau cylindrique de longueur L et de rayon R est donn´ee (dans [71]) par

S_cale(f ) = ^{2 kBT L}

3 Ecaleπ2R2f ^{φcale (2.12)} avec Ecale le module d’Young et φcale les pertes m´ecaniques du barreau.

Pour le substrat du miroir la relation est [71]

S_sub(f ) = ^{2 kBT (1 − β}

2)

π3/2Esubw f ^{φsub (2.13)} o`u β et E_sub sont respectivement le coefficient de Poisson et le module d’Young du substrat des miroirs, et w est le rayon du faisceau sur le mi-roir.

La prise en compte du traitement r´efl´echissant, d’´epaisseur e_cet de pertes m´ecaniques φ_coat, intervient par le biais du facteur correctif :

η = 1 + ^{2 ec(1 − 2ρ)} w√

π(1 − β) φ_coat

φ_sub ^(2.14) La contribution du miroir est donc donn´ee par :

S_miroir(f ) = η S_sub(f ) (2.15) Ces relations permettent de calculer la contribution de chacun des ´el´ements de la cavit´e. Pour les propri´et´es du traitement r´efl´echissant donn´ee dans [71] (e_c = 2 × 10⁻⁶ m et φ_coat = 4 × 10⁻⁴) et dans le cas de substrats en ULE (φ_ULE = 1, 6 × 10⁻⁵, E_ULE = 67, 6 GPa et β_ULE = 0, 17) ou en silice fondue (φ_FS = 10⁻⁶, E_FS = 73 GPa et β_FS = 0, 17), la contribution du corps est

minoritaire. Si celui-ci est en ULE, le cas le plus courant, elle est alors de moins de 1 % pour un faisceau de rayon w = 260 µm. Cette contribution reste inf´erieure `a 2 % mˆeme dans le cas o`u l’on fait varier e_c d’un ordre de grandeur ainsi que φcoat et w d’un facteur 2.

Lorsque le substrat est en ULE, on constate que dans la plupart des cas il contribue au niveau de ∼ 80 % ou plus sur le bruit de l’ensemble de la cavit´e. Avec un substrat en silice fondue, grˆace aux faibles pertes de ce mat´eriau, sa contribution est r´eduite `a environ 25 %. C’est le traitement r´efl´echissant qui devient la contribution majoritaire.

Des calculs num´eriques plus complets [71] permettent d’arriver `a des conclusions similaires et fixent aussi les ordres de grandeur des diff´erentes sources de bruits. Ces calculs n’ont malheureusement pas ´et´e r´ealis´es pour la g´eom´etrie du corps qui nous int´eresse (2R ' 100 mm et L ' 100 mm) mais, au vu de ces conclusions, il est raisonnable d’appliquer les r´esultats pour une autre g´eom´etrie de cavit´e, ´etant donn´e que la contribution de la cale peut-ˆetre n´eglig´ee. Pour des miroirs en ULE et une longueur de cavit´e de 100 mm, le bruit thermique limite la stabilit´e relative de fr´equence `a ∼ 10⁻¹⁵. Elle peut atteindre 3 ou 4 × 10⁻¹⁶ lorsque les miroirs sont en silice fondue.

Les travaux de th`ese avaient pour ambition d’utiliser des substrats de miroirs en silice fondue afin d’atteindre la stabilit´e relative de fr´equence de l’ordre de 4 × 10⁻¹⁶ pour une longueur de cavit´e de l’ordre de 100 mm. Bruit sismique

Sous l’effet de vibrations, la cavit´e et son environnement (table optique, monture de miroirs, enceinte `a vide...) subissent des d´eformations. Celles qui affectent les dimensions de la cavit´e sont particuli`erement pr´ejudiciables. Les d´eformations peuvent ˆetre fortement r´eduites en fixant les deux mi-roirs du r´esonateur sur une cale d’espacement g´en´eralement cylindrique [56– 58, 72, 100]. Le gain obtenu d´epend ´evidemment des propri´et´es m´ecaniques du mat´eriau utilis´e. Afin d’´eviter toute confusion, on peut expliciter que l’on appelle cavit´e ultra-stable l’ensemble constitu´e du corps (ou cale d’espace-ment), des deux miroirs et des traitements optiques hautement r´efl´echissants. Le dispositif le plus ´el´ementaire est constitu´e d’une cale cylindrique dont l’axe est orient´e horizontalement, afin qu’il repose sur deux supports en forme de

 V [56, 58, 100]. La position longitudinale de ces supports, judicieuse-ment choisie aux points d’Airy [101], permet de minimiser le changejudicieuse-ment de longueur de la cale lorsqu’elle est soumise `a des vibrations transverses. La contribution des vibrations selon l’axe ~e_i sur la DSP de bruit de fr´equence

Fig. 2.1 – Densit´^{e spectrale de puissance des vibrations du sol, d’une table d’isolation} pas-sive et d’une table d’isolation active, pour les axes nord-sud (tirets), est-ouest (pointill´es) et vertical (ligne). Ces bruits sont mesur´es avec un sismom´etre de bande passante 0, 03 Hz ` a 50 Hz ou 100 Hz. du laser s’´ecrit S<sub>δν</sub> = ν<sub>`</sub>^{2 X} i=x,y,z k²_i S_ai (2.16) avec S_ai la DSP du bruit sismique vue par la cavit´e et k_i le coefficient de sensibilit´e aux vibrations de la cavit´e selon l’axe ~e_i. Formul´e diff´eremment, ce coefficient k_i est l’allongement relatif de la cavit´e lorsqu’elle est soumise `a une acc´el´eration de 1 m.s⁻²orient´ee selon l’axe ~e_i. Pour des cavit´es support´ees sur ces supports en forme deV, les coefficients de sensibilit´e acc´el´erom´etrique sont de l’ordre de 3 × 10⁻¹⁰ (m.s⁻²)⁻¹.

Le bruit sismique peut ˆetre r´eduit en utilisant des tables d’isolation. Ces syst`emes commerciaux filtrent le bruit pour les fr´equences sup´erieures au hertz. Comme on le voit sur la figure 2.1, en fonction de la technologie utilis´ee, active ou passive, et de la fr´equence consid´er´ee, l’att´enuation est de l’ordre de 20 dB `a 40 dB.

Les syst`emes passifs acceptent une masse en charge d’environ 300 kg pour une surface au sol de moins de 1 m2. Ces tables ne permettent pas de filtrer les vibrations du sol en dessous de ∼ 0, 7 Hz, o`u se trouve un exc`es de bruit sismique qui a pour origine le d´eferlement des vagues sur les cˆotes (la fr´equence et l’amplitude sont sujets `a des variations). Au-dessus de la fr´equence de coupure, le bruit est tr`es bien filtr´e pour atteindre environ −140 dB (m.s<sup>−2</sup>)<sup>2</sup>.Hz<sup>−1</sup>. Cependant, le bruit acoustique, coupl´e par l’air `a la partie isol´ee de la table, induit des vibrations qui d´egradent s´erieusement ses performances `a partir de quelques dizaines de hertz. Pour s’affranchir de ce probl`eme, on peut isoler acoustiquement l’ensemble de l’exp´erience avec une enceinte d´edi´ee.

Les syst`emes actifs ne sont pas dot´es d’acc´el´erom`etres ayant une bande passante suffisamment grande pour d´etecter et donc corriger le bruit en des-sous du hertz. Leurs niveaux de bruit sont tels que la DSP de bruit sismique est limit´ee au niveau de −130 dB (m.s⁻²)².Hz⁻¹.

Ces deux syst`emes pourraient ˆetre am´elior´es, en mesurant le bruit sis-mique r´esiduel `a l’aide d’un instrument `a bas bruit (externe `a la table). Le signal fourni peut alors ˆetre utilis´e pour asservir le d´eplacement de la table `

a l’aide d’actionneurs (c´eramique pi´ezo´electrique, ´electro-aimant ...).

L’autre alternative, celle choisie, est de se focaliser sur le cœur du probl`eme la sensibilit´e aux vibrations des cavit´es ultra-stables. On doit la r´eduire pour que le laser ultra-stable atteigne une stabilit´e relative de fr´equence de σ<sub>y</sub> = 4 × 10<sup>−16</sup>´evoqu´ee dans le paragraphe pr´ec´edent. Il faut que la contribu-tion des vibracontribu-tions sur le bruit de fr´equence du laser soit inf´erieure au bruit que l’on souhaite atteindre. Pour du bruit de scintillation de fr´equence, la DSP de fr´equence du laser est reli´ee `a la stabilit´e relative de fr´equence par la relation

S_δν(f ) = ^{(σy ν`)}

2

2 ln(2) ^f

−1 (2.17)

et vaut dans ce cas 6 × 10⁻³ f⁻¹ Hz².Hz⁻¹ pour un laser `a la fr´equence de ∼ 282 THz.

Pour simplifier on fait l’hypoth`ese que le niveau de bruit sismique est le mˆeme sur tous les axes et que la valeur de chacun des coefficients de sensibilit´e acc´el´erom´etrique est identique k. La relation 2.16 se r´eduit donc `a :

S_δν = 3 ν<sub>`</sub><sup>2</sup> k<sup>2</sup> S<sub>a</sub> (2.18) Afin de d´efinir la valeur maximale du coefficient de sensibilit´e acc´el´ ero-m´etrique, on peut exclure du bruit sismique les fr´equences de Fourier sup´ e-rieures `a la dizaine de hertz car elle peuvent ˆetre att´enu´ees par de l’isola-tion acoustique. Le maximum observ´e au laboratoire est atteint pour des

fr´equences l´eg`erement sup´erieures `a 0, 1 Hz, et vaut −90 dB (m.s⁻²)².Hz⁻¹ (figure 2.1). `A partir des relations 2.17 et 2.18 on en d´eduit que la sensibilit´e de la cavit´e aux vibrations doit ˆetre inf´erieure `a 1, 6 × 10⁻¹¹ (m.s⁻²)⁻¹ pour chacun des axes.