R´ esultats de simulations

Les trois composantes k_x = k^R_x, k_y = k_y^R et k_z = k^T_z sont calcul´ees par ´

el´ements finis pour les diff´erents facteurs de formes et positions du plan d’ap-puis. L’aire de la surface d’appuis est fix´ee `a 0, 36 mm2. On fait varier `a la fois le facteur de forme et la position du plan d’appuis. Les caract´eristiques g´eom´etriques de l’´epaulement sont fix´ees (b_R = 2 mm et b_L = 3 mm).

Composantes horizontales k_x = kR

x et k_y = kR y

On a vu dans la partie 2.3.2 que lorsque les acc´el´erations horizontales sont appliqu´ees `a la cavit´e, les appuis doivent aussi ˆetre contraints selon l’axe ver-tical. Le seul choix possible concerne la direction horizontale orthogonale `a celle qui porte l’acc´el´eration. On choisit de contraindre totalement les appuis pour les calculs des deux coefficients de sensibilit´e acc´el´erom´etrique horizon-taux.

Ces deux coefficients horizontaux k_x^R et k^R_y sont donc d´ependants de la rotation des miroirs. La valeur du d´ecentrage d entre les axes optiques et

Fig. 2.27 – Moyenne des coefficients de sensibilit´^{e horizontaux induits par la rotation} des miroirs kR

xy en fonction de la position relative du plan d’appuis a et pour plusieurs longueurs de cavit´e L (aire des appuis 0, 36 mm2, R = 55 mm, b_R= 2 mm et b_L = 3 mm).

m´ecaniques est suppos´ee de 1 mm pour les simulations. Ces deux coefficients ont exactement le mˆeme comportement en fonction du facteur de forme mais d´ecal´es de ∼ 2 × 10⁻¹² (m.s⁻²)⁻¹ (voir la figure 2.26).

Afin d’all´eger les graphiques on ne repr´esente sur la figure 2.27 que la valeur moyenne de ces deux coefficients not´ee k_xy^R. Elle met en ´evidence que kR

xy est tr`es peu d´ependant de a, la position du plan d’appuis en valeur relative de la longueur de la cavit´e (depuis le miroir du bas). De plus, la pente de k<sub>xy</sub><sup>R</sup> en fonction de la longueur de cavit´e L est de 4 × 10<sup>−13</sup> (m.s<sup>−2</sup>)<sup>−1</sup>.mm<sup>−1</sup>. Cette valeur, extrˆemement faible, permet de ne pas avoir une contrainte forte sur L. Le signe n’a pas d’importance en soit puisque qu’il va d´ependre de celui du d´ecentrage de l’axe optique par rapport `a l’axe m´ecanique d de la cavit´e. Cependant, le changement de signe qui a lieu, pour L compris entre 85 mm et 90 mm, traduit lequel de l’effet de Poisson ou de la flexion subie par la cavit´e va induire les d´eformations dominantes.

Une longueur de cavit´e de 100 mm est choisie `a l’issue d’un compro-mis entre la sensibilit´e acc´el´erom´etrique, le bruit thermique de la cavit´e qui augmente quand la longueur diminue et les contraintes de fabrication qui

Fig. 2.28 – Coefficient de sensibilit´^{e verticale provoqu´e par la translation des miroirs} kT

z en fonction de la position relative du plan d’appuis a pour une cavit´e de L = 100 mm : dans le cas o`u les appuis sont verticalement contraints et calcul´es avec Cast3m

et avec COMSOL Multiphysics , dans le cas o`u les appuis sont contraints dans toutes les directions (♦, calcul´e avec Cast3m). Les autres propri´et´es sont : une aire des appuis 0, 36 mm2, R = 55 mm, bR= 2 mm et bL = 3 mm).

imposent un diam`etre maximum `a peine sup´erieur `a 110 mm. Pour cette valeur, k_xy ' −5 × 10−12 (m.s⁻²)⁻¹, le coefficient selon ~e_x est donc d’environ (−5 + 1, 5) × 10⁻¹² (m.s⁻²)⁻¹ pour un d´ecalage pessimiste de 1 mm de l’axe optique.

Selon l’axe ~e_y le coefficient est de (−5 − 1, 5) × 10⁻¹² (m.s⁻²)⁻¹ auquel il faut ajouter le biais de ±3 × 10⁻¹² (m.s⁻²)⁻¹ li´e au coefficient induit par la translation des miroirs k_y^T (voir le paragraphe 2.4.2). La valeur maximale de k_y est donc, en valeur absolue, de ∼ 1 × 10⁻¹¹ (m.s⁻²)⁻¹. Cette longueur de cavit´e qui donne des coefficients inf´erieurs aux objectifs fix´es (inf´erieurs `

a ∼ 1, 6 × 10⁻¹¹ (m.s⁻²)⁻¹), on le rappelle, dans le cas d’une estimation pessimiste du d´ecalage de l’axe optique.

Composante verticale k_z = k_z^T

La longueur de la cavit´e ´etant fix´ee `a 100 mm pour un rayon de R = 55 mm, le degr´e de libert´e restant, permettant d’optimiser la sensibilit´e verticale,

est la position du plan d’appuis aL. Ce param`etre n’influence pratiquement pas les coefficients horizontaux (voir la figure 2.26), il peut donc ˆetre choisi totalement ind´ependamment. On rappelle que le coefficient k<sub>z</sub>est uniquement dˆu `a la translation des miroirs.

Sur la figure 2.28 est repr´esent´e ce coefficient, en fonction de a, pour une cavit´e de longueur 100 mm. Lorsque les appuis sont contraints verti-calement, la valeur optimale de a est de 0, 49 ind´ependamment du logiciel utilis´e (Cast3m [112] ou COMSOL Multiphysics [113]). Les deux pentes, de ∼ 10−11(m.s⁻²)⁻¹ par mm de changement de aL, sont en accord `a mieux que 95 %. La pente reste la mˆeme lorsque les appuis sont contraints dans toutes les directions. Par contre, dans ce cas, la position optimale du plan d’appuis est nettement plus basse, aL = 41 mm (calculs r´ealis´es avec Cast3m).

Ces deux valeurs de a qui annulent k^T_z pour chacun des mod`eles de contrainte, peuvent ˆetre consid´er´ees comme des valeurs extrˆemes. En contrai-gnant les appuis verticalement, on laisse totalement libre les d´eformations horizontales de la cavit´e au niveau des appuis. `A l’oppos´e, en les contrai-gnant dans toutes les directions, aucun d´eplacement n’est permis. La r´ealit´e physique se trouve entre les deux. En effet, si les appuis sont quelques peu ´

elastiques (avec un module d’Young plus faible que celui de l’ULE) dans cette zone, la cavit´e peut se d´eformer horizontalement mais pas aussi libre-ment qu’avec le mod`ele de contraintes verticales.

On choisit donc de positionner le plan d’appuis entre ces deux valeurs `a aL = 47 mm. Avec une hauteur de l’´epaulement b<sub>L</sub> de 3 mm, en retournant la cavit´e, on a aussi la possibilit´e, une fois la cavit´e r´ealis´ee, d’avoir un plan d’appuis `a aL = 50 mm.

D’autre part, selon les conventions utilis´ees, une sensibilit´e aux vibrations positive signifie que la cavit´e s’allonge lorsque l’acc´el´eration qui lui est ap-pliqu´ee au niveau de ses appuis est orient´ee vers le haut. On a donc une variation positive de longueur de la partie inf´erieure de la cavit´e tandis que la partie sup´erieure ne voit pas sa longueur suffisamment diminuer. Il est possible en ajoutant une masse sur le haut de la cavit´e de compenser cette diff´erence. La situation compl`etement inverse est nettement plus d´elicate car elle n´ecessite le collage de la masse sous la cavit´e.

En positionnant la cavit´e de fa¸con `a avoir aL = 47 mm, on peut, si la sensibilit´e acc´el´erom´etrique est trop ´elev´ee, ajouter de la masse. S’il s’av`ere que l’ajout de masse a pour effet d’augmenter la sensibilit´e, cela signifie que le point d’annulation correspond `a une valeur de aL sup´erieure `a 47 mm. Il suffit donc de retourner la cavit´e. De la mˆeme fa¸con, dans cette position, il est aussi possible, si n´ecessaire, d’ajuster la sensibilit´e acc´el´erom´etrique dont l’optimum, k_z = 0 doit ˆetre obtenu d’apr`es le mod`ele pour a L compris entre 47 mm et 49 mm.

Fig. 2.29 – Coefficient d’expansion thermique en fonction de la temp´erature pour de l’ULE (pointill´es bleu), pour des miroirs en silice enti`erement contact´es (rouge) ou partiellement contact´es (vert) sur une cale en ULE.

Comme on le verra par la suite, dans la partie 3.2.5, aucune optimisation n’a ´et´e n´ecessaire pour obtenir les sensibilit´es acc´el´erom´etriques souhait´ees.