4.1.1 Signal optique ´emis
Un laser femtoseconde produit un train d’impulsions dont la porteuse est typiquement dans le domaine visible ou infrarouge proche (voir la figure 4.1 - (a)). Son nom vient du fait que la dur´ee de ces impulsions τp est, selon le
Fig. 4.1 – Sch´ema repr´esentant le train d’impulsions (a) et le peigne de fr´equence (b) ´emis par un laser femtoseconde.
laser, entre la dizaine et la centaine de femtosecondes. L’intervalle de temps entre deux impulsions successives est not´e Trep. La porteuse se propage `a la vitesse de phase alors que l’enveloppe du champ se propage `a la vitesse de groupe. Si ces deux vitesses sont diff´erentes, il existe une variation de phase non nulle, d’une impulsion `a l’autre entre l’enveloppe et la porteuse, et not´ee ∆φ.
Par transform´ee de Fourier, ce train d’impulsions correspond, dans le domaine fr´equentiel, `a un peigne de fr´equence centr´e `a la fr´equence d’oscil-lation du champ ´electrique (voir la figure 4.1 - (b)). La fr´equence ou le taux de r´ep´etition, qui est l’intervalle de fr´equence entre deux dents (ou modes) cons´ecutives du peigne, vaut frep = 1 / Trep. Le d´ephasage entre l’enveloppe et la porteuse conduit `a un d´ecalage (ou offset) en fr´equence de tous les modes du peigne fceo. La fr´equence de la necomposante du peigne s’´ecrit donc :
4.1.2 Principe de fonctionnement d’un laser
femtose-conde
Le principe utilis´e pour produire ce train impulsions et le peigne de fr´equence associ´e est bri`evement d´ecrit dans ce paragraphe. Plus de d´etails sont donn´es dans de nombreuses r´ef´erences, par exemple [96, 136, 137]. Comme pour un laser continu, on place un milieu de gain dans une cavit´e optique. De mˆeme que pour tout oscillateur, on r´ealise de cette fa¸con un syst`eme boucl´e avec du gain. L’obtention du r´egime de fonctionnement im-pulsionnel femtoseconde requiert des conditions suppl´ementaires `a celles d’un laser continu qui sont d´ecrites plus loin. Dans un premier temps, on sait que, d’apr`es les propri´et´es de la transform´ee de Fourier, la largeur spectrale du peigne de fr´equence optique ∆ν et la dur´ee des impulsions τp sont reli´ees par l’in´egalit´e :
∆ν τp ≥ 1 2
Dans cette relation, ∆ν et τp sont `a consid´erer en tant qu’´ecart quadratique moyen. On peut en d´eduire que plus la largeur spectrale est grande, et plus les impulsions seront br`eves. Le milieu de gain doit donc avoir une largeur spectrale suffisamment grande afin de pouvoir produire des impulsions d’une dur´ee assez courte. L’´egalit´e est obtenue quand les profils temporels et spec-traux sont gaussiens.
L’´emission laser, stimul´ee par un faisceau laser de pompe, s’´etale sur la largeur spectrale du milieu de gain. Pour les longueurs d’onde r´esonantes dans la cavit´e, c’est-`a-dire ´etant un multiple entier de la longueur de la cavit´e, les oscillations vont ˆetre entretenues. La densit´e spectrale d’´energie circulant dans la cavit´e est donn´ee par le produit d’un peigne de fonctions de Dirac espac´ees d’un intervalle spectral libre de la cavit´e par une courbe de largeur ∆ν. Cette courbe d´epend de la r´eponse du milieu de gain mais aussi de nombreux param`etres comme par exemple des pertes. Pour obtenir un train d’impulsions, il faut aussi que la dispersion chromatique introduite par les ´
el´ements de la cavit´e (milieu de gain et miroirs) soit compens´ee. Elle influence la vitesse de groupe et se traduit par un ´elargissement de l’impulsion. Il n’y a alors plus d’accord de phase entre les impulsions circulant dans la cavit´e. En d’autres termes, la compensation de la dispersion permet `a une impulsion de se reproduire identique `a elle-mˆeme apr`es chaque tour de cavit´e.
Par cons´equent, on peut en d´eduire deux informations utiles au contrˆole des param`etres du peigne de fr´equence produit par le laser. La premi`ere, ´
evidente, est que le taux de r´ep´etition frep = 1 / Trep d´epend de la longueur optique de la cavit´e. L’´ecart entre deux impulsions est donn´e par le temps mis par l’impulsion pour effectuer un tour de cavit´e. Pour stabiliser frep, il
faut donc stabiliser la longueur optique de la cavit´e. L’autre information est que le d´ephasage entre l’enveloppe et la porteuse d´epend de la dispersion de la cavit´e. L’offset de fr´equence du peigne fceoest reli´e `a ce d´ephasage ∆φ par la relation :
fceo = ∆φ mod (2π) 2π frep
On rappelle que ∆φ est le d´ephasage entre deux impulsions cons´ecutives, ce qui correspond au d´ephasage accumul´e par une impulsion apr`es un tour de cavit´e. L’offset de fr´equence fceose contrˆole donc en agissant sur la dispersion dans la cavit´e.
Une derni`ere condition est n´ecessaire pour assurer le fonctionnement en r´egime impulsionnel. Il faut un m´ecanisme pour favoriser la propagation d’im-pulsions dans la cavit´e au d´epend des ondes lasers continues. Ce m´ecanisme doit inciter les modes `a se verrouiller en phase. L’effet physique utilis´e est d´ependant du milieu de gain mais exploite les ph´enom`enes non lin´eaires per-mettant de tirer parti du fait que la densit´e d’´energie des impulsions est tr`es sup´erieure `a celle des ondes lasers continues. Par exemple, dans les cristaux de saphir dop´es au titane (Titane:Saphir), l’effet de lentille Kerr (Kerr–lens) est utilis´e pour que la focale ´equivalente soit plus courte pour un faisceau form´e d’un train d’impulsions que pour un faisceau laser continu. Dans le cas des lasers utilisant des fibres optiques dop´ees `a l’erbium comme milieux amplificateurs, on exploite la bir´efringence des fibres optiques qui d´epend de l’intensit´e du champ ´electrique. Les miroirs `a absorbeurs saturables (Satu-rable Absorber Mirrors), dont la r´eflectivit´e d´epend de l’´energie, sont aussi utilis´es dans certaines cavit´es femtosecondes.
La fr´equence de chaque mode du peigne d´epend uniquement de la fr´ e-quence du taux de r´ep´etition frep et de la fr´equence d’offset fceo (relation 4.1). Pour contrˆoler tous les modes, il faut parvenir `a mesurer ces param`etres. Le taux de r´ep´etition est mesur´e en envoyant le train d’impulsions sur une photodiode. La d´etection de fceo, moins imm´ediate, n´ecessite un dispositif optique suppl´ementaire. Le plus souvent, et lorsque c’est possible, la m´ethode f − 2f est utilis´ee [133]. Cette m´ethode consiste `a r´ealiser un battement optique entre un mode de la partie hautes fr´equences du peigne n00frep+ fceo et un mode de la partie basses fr´equences mais doubl´ees 2(n0frep + fceo). Ce battement est envoy´e sur une photodiode qui voit donc des signaux de fr´equence :
2 n0frep+ 2 fceo− n00frep− fceo
En ayant 2 n0 = n00, le signal obtenu est finalement `a la fr´equence fceo. Cette m´ethode n´ecessite que le peigne de fr´equence s’´etale spectralement sur une octave au minimum. Pour la plupart des lasers femtosecondes, le
spectre en sortie de la cavit´e ne remplit pas cette condition. Il faut alors uti-liser une fibre optique hautement non lin´eaire (Highly Non-Linear Fiber ) dont le d´eveloppement remonte au d´ebut des ann´ees 2000 [138]. Ce type de fibres permet donc d’´elargir le spectre du peigne tout en conservant la coh´erence de phase entre les modes [139]. Leur utilisation permet aussi d’augmenter la plage des longueurs d’onde accessibles.
4.1.3 Processus de division
La fr´equence du ne mode du peigne de fr´equence est donn´ee par la rela-tion 4.1. Si ce mode interf`ere sur une photodiode avec un laser continu de fr´equence ν`, elle fournit un signal de battement `a la fr´equence :
fb = nfrep+ fceo− ν` (4.2) Les fluctuations de fr´equence du taux de r´ep´etition frep dans une bande donn´ee s’´ecrivent `a partir de l’´equation pr´ec´edente :
δfrep= δν`+ δfb− δfceo
n (4.3)
Un laser ultra-stable pr´esente des fluctuations de fr´equence δν` de l’ordre de 0, 1 Hz. Supposons que fb soit de l’ordre de la centaine de m´egahertz. Si l’on stabilise la fr´equence de ce signal sur une source qui pr´esente des fluctuations relatives de fr´equence plus faibles que 10−10 (par exemple un synth´etiseur de fr´equence), les fluctuations de fr´equence sont donc inf´erieures `a δfb = 10 mHz. On peut donc n´egliger la contribution de δfb devant celle de δν`. On suppose aussi que l’on est capable d’asservir fceo tel que ses fluctuations δfceo
soient n´egligeables devant δν`. Dans ce cas, l’´equation 4.3 se r´eduit donc `a : δfrep' δν`
n (4.4)
Les fluctuations de fr´equence du laser ultra-stable sont donc divis´ees par n et transf´er´ees `a la fr´equence de r´ep´etition.
Ces deux derni`eres ´equations (4.2 et 4.4) permettent d’´ecrire les fluctua-tions relatives de la fr´equence de r´ep´etition :
δfrep frep =
δν`
ν`+ fb− fceo (4.5) Les signaux de battement et de l’offset de fr´equence sont dans le domaine radio-fr´equence donc n´egligeables devant la fr´equence du laser. On constate
que le peigne de fr´equence peut ˆetre utilis´e pour transf´erer, du laser ultra-stable au taux de r´ep´etition, les fluctuations relatives de fr´equence et par extension la stabilit´e relative de fr´equence correspondante. Bien ´evidement, le processus inverse est possible et est souvent utilis´e pour les comparaisons entre horloges atomiques optiques et micro-ondes. De la mˆeme fa¸con, la com-paraison directe entre fr´equences optiques fonctionne aussi selon ce principe. L’un des lasers est utilis´e pour stabiliser le peigne de fr´equence, chaque mode du peigne poss`ede la stabilit´e de ce laser. Une photodiode permet de d´elivrer le signal de battement entre un mode du peigne et un second laser. L’analyse de ce signal permet de connaˆıtre la stabilit´e de fr´equence de la comparaison entre ces lasers.