Conception thermique de l’enceinte ` a vide

a la temp´erature de 20 ^◦C, pour avoir une stabilit´e relative de fr´equence de 4 × 10⁻¹⁶ (bruit thermique de miroirs en silice fondue), pour un temps d’int´egration donn´e, il faut, sur la mˆeme dur´ee, une stabilit´e de temp´erature de l’ordre de 5 nK.

2.5.2 Conception thermique de l’enceinte `a vide

L’enceinte `a vide joue un rˆole primordial du point de vue de l’isolation thermique de la cavit´e. Elle doit permettre de r´ealiser le filtrage des fluc-tuations de temp´erature et d’asservir la temp´erature de la cavit´e avec une grande stabilit´e. L’objectif est d’asservir la cavit´e `a la temp´erature ambiante avec une stabilit´e de temp´erature de l’ordre de 5 nK sur des temps de 1 s `

a 1000 s. Si cet objectif s’av`ere exp´erimentalement irr´ealisable, la mˆeme en-ceinte `a vide (avec le minimum de modifications) doit permettre de d´ecaler le point de fonctionnement de l’asservissement vers −20 ^◦C afin de s’asservir `a la temp´erature annulant la sensibilit´e thermique de la cavit´e. Cette derni`ere approche n’est pas privil´egi´ee car elle pr´esente l’inconv´enient de devoir faire fonctionner des modules `a effet Peltier avec une diff´erence de temp´erature entre la face chaude et la face froide de plus de 50 K. Outre le fait que leur efficacit´e diminue quand la diff´erence de temp´erature augmente, la crainte est d’avoir un syst`eme de r´egulation beaucoup moins robuste et donc plus sujet aux pannes. Une autre difficult´e consiste `a ´evacuer la chaleur de l’enceinte d’isolation acoustique qui prot`ege la cavit´e mais qui, de fait, confine aussi l’enceinte `a vide pos´ee sur la table optique elle-mˆeme reposant sur une table anti-vibration. Le choix de la technique et du syst`eme utilis´e pour dissiper cette chaleur est compliqu´e puisque il ne doit pas ajouter de bruit sismique ou acoustique, ni mˆeme de convection forc´ee.

La contrainte que l’on se fixe, de pouvoir asservir la temp´erature `a 0<sup>◦</sup>C ou en dessous, a un impact important sur la conception de l’enceinte `a vide : on doit ´eviter le d´epˆot d’eau (condensation ou givre) sur les hublots. On s’y sous-trait en mettant sous vide l’enceinte `a vide qui est asservie en temp´erature (voir figure 2.31). La charge thermique de l’asservissement est par la mˆeme occasion ´enorm´ement r´eduite puisque la puissance ´echang´ee par convection entre l’enceinte r´egul´ee et l’ext´erieur est nulle.

Ind´ependamment de l’aspect thermique, ce syst`eme de double enceinte `

Fig. 2.31 – Sch´<sup>ema en coupe de l’enceinte `a vide et des ´ecrans thermiques. A noter que</sup> les syst`emes de pompage des deux enceintes `a vide ne sont pas repr´esent´es.

se trouve les ´el´ements de l’asservissement de temp´erature (modules `a effet Peltier, thermistances, soudures, tresses thermiques ...). Un avantage vient du fait que le d´egazage occasionn´e par ces composants est relativement ´elev´e et pourrait limiter la pression. De plus, les ´el´ements d´egaz´es pourrait endom-mager les traitements hautement r´efl´echissants des miroirs. Cette s´eparation permet aussi d’intervenir sur ces composants, en cas de panne par exemple, sans avoir `a remettre `a l’air la cavit´e.

Gabarit du filtrage thermique

Les fluctuations de temp´erature, dans le laboratoire, sont d’environ 1 K crˆete `a crˆete, un gain de 9 ordres de grandeur est donc n´ecessaire. Ce n’est pas son rˆole premier mais l’enceinte de protection acoustique r´ejecte de fa¸con non n´egligeable les fluctuations de temp´erature. Dans cette enceinte, la stabilit´e de temp´erature quantifi´ee par l’´ecart type d’Allan est l’ordre de 10⁻² K pour

des temps d’int´egration de 1000 s. L’asservissement de temp´erature et les ´

ecrans thermiques doivent donc permettre de gagner un facteur 2 × 106 sur la stabilit´e de temp´erature. L’enceinte `a vide ext´erieure (d´esignation d´efinie dans la figure 2.31) ainsi que l’asservissement permettent l’apport d’un gain minimum de deux ordres de grandeur sur la stabilit´e de temp´erature.

On atteint ainsi, ce qui est une hypoth`ese pessimiste, une stabilit´e de temp´erature de σT(τ ) = 10⁻⁴ K pour τ compris entre 1 s et 1000 s. En admettant que ce bruit est un bruit de scintillation (en f⁻¹) on peut ´ecrire la densit´e spectrale de puissance (DSP) de fluctuation de temp´erature sous la forme S_T(f ) = ^{σT(τ )} 2 2 ln(2)^f −1 pour τ ∈ [a, b] et f ∈ 1 b^, 1 a  (2.38)

avec a et b des r´eels positifs non nuls tel que a < b. D’apr`es les hypoth`eses faites, la DSP vaut S_T1(f ) ' 7 × 10⁻⁹f⁻¹ K².Hz⁻¹. On peut aussi d´eduire de la relation 2.38 qu’une stabilit´e de 5 nK correspond `a une DSP d’environ S_Tc(f ) ' 2 × 10⁻¹⁷f⁻¹ K².Hz⁻¹. On obtient ainsi le gabarit du filtrage que doivent r´ealiser les ´ecrans thermiques. L’att´enuation est donn´ee par

|G(f )| = s

S_Tc(f )

ST1(f ) ^(2.39) et doit ˆetre au maximum de l’ordre de 5×10⁻⁵pour des fr´equences sup´erieures `

a environ 5 × 10⁻⁴ Hz (´equivalent `a un τ = 2000 s). Mod´elisation des ´echanges thermiques

Compte tenu des contraintes li´ees aux coˆuts et aux choix technologiques (mat´eriaux, masses, encombrement et pression du vide) l’isolation thermique requise est obtenue `a l’aide de trois couches d’´ecrans thermiques dans le cas de l’enceinte de la cavit´e d’axe horizontal. Pour arriver `a cette conclusion, l’effet thermique des ´ecrans a ´et´e mod´elis´e.

La puissance rayonn´ee d’un objet de surface S_i et d’´emissivit´e _i sur un autre objet de surface S_j et d’´emissivit´e _j s’´ecrit

Φ_ij = ¹ 1 − _i _iS_i ⁺ 1 S_jFij ⁺ 1 − _j _jS_j M_i⁰− M0 j
(2.40)

avec Fij le facteur de forme (view factor) de la surface S_i vers S_j. M0 i −M0

j

est la diff´erence d’exitance totale du corps noir. M0 est donn´e par la loi de Stephan

o`u T est la temp´erature de la surface de l’objet et σ = 5, 67×10<sup>−8</sup>W.m<sup>−2</sup>.K<sup>−4</sup>. `

A l’aide des ´equations 2.40 et 2.41 on peut ´ecrire

Φ_ij = ^{σ (Ti+ ∆Tij)} 4− T_i4
1 − _i _iS_i ⁺ 1 S_jFij ⁺ 1 − _j _jS_j (2.42)

Les facteurs de forme, pour les cas les plus courants, sont donn´es dans la litt´erature [118, 119]. Les enceintes `a vide et les ´ecrans thermiques (except´e celui le plus proche de la cavit´e) sont de g´eom´etrie cylindrique d’axe orient´e verticalement. Si les deux objets ´evoqu´es pr´ec´edemment sont des cylindres creux emboˆıt´es (les surfaces d´esign´ees par un indice j sont celles du cylindre int´erieur), il faut distinguer, pour chacun d’eux, trois surfaces : la surface cy-lindrique du corps du cylindre, d´esign´ee par l’indicelatet les deux disques aux extr´emit´es correspondant aux surfaces des brides et not´eesbride 1et

bride 2. Les diff´erents couplages entre surfaces sont list´es dans le tableau 2.1. Si on fait l’hypoth`ese que les deux cylindres ont des diam`etres et des longueurs proches, on peut n´egliger la plupart des couplages. Les couplages consid´er´es sont donc :

– ´emis par S_{lat i} et capt´e par S_{lat j} – ´emis par Sbride 1 i et capt´e par Sbride 1 j

– ´emis par S_{bride 2 i} et capt´e par S_{bride 2 j}

Dans chacun des cas, on connaˆıt la valeur du facteur de forme Fij per-mettant, `a partir de l’´equation 2.42, de calculer les puissances transmises de l’enceinte `a vide int´erieure `a l’´ecran thermique ext´erieur et de cet ´ecran `a l’´ecran interne.

Rayonnement re¸cu par S_{lat j} S_{bride 1 j} S_{bride 2 j} Rayonnement ´emis par

Slat i consid´er´e n´eglig´e n´eglig´e S_{bride 1 i} n´eglig´e consid´er´e n´eglig´e S_{bride 2 i} n´eglig´e n´eglig´e consid´er´e Tab. 2.1 – Bilan des ´^{echanges thermiques par rayonnement pris en compte dans le cas de} deux ´ecrans thermiques imbriqu´es de rayon et de longueur proche.

La valeur du facteur de forme entre l’´ecran int´erieur et l’´ecran form´e du berceau de la cavit´e et de son capot est moins imm´ediate. Pour estimer la puissance transmise, le rapport des surfaces de chaque ´el´ement est pris en compte `a travers la relation suivante :

Φ_ij = ^{σ (Ti+ ∆Tij)} 4 − T_i⁴
1 S_i  1 _i ⁺ 1 − _j _j S_i S_j  (2.43)

La mˆeme relation est aussi utilis´ee pour approximer la puissance trans-mise de ce dernier ´ecran (berceau de la cavit´e et capot) `a la cavit´e. La cavit´e, consid´er´ee enti`erement en ULE, est assimil´ee `a un corps noir parfait <sub>ULE</sub> = 1. Afin de d´efinir une grandeur homog`ene `a une r´esistance thermique as-soci´ee au rayonnement, on lin´earise les relations 2.42 et 2.43. On obtient respectivement les ´equations

Φ_ij = ^{4 σ Ti} 3 1 − _i iSi + ¹ SjFij +^{1 − j} jSj | {z } 1 / R^ray_ij ∆T_ij (2.44) et Φ_ij = ^{4 σ Ti} 3 1 S_i  1 _i ⁺ 1 − _j _j S_i S_j  | {z } 1 / R^ray_ij ∆T_ij (2.45) valables dans l’hypoth`ese o`u ∆T_ij est petit. En pratique cette condition est v´erifi´ee car on s’int´eresse au fonctionnement o`u le syst`eme est quasiment `

a l’´equilibre, les fluctuations de temp´erature sont donc bien inf´erieures `a un degr´e. Pour cette diff´erence de temp´erature l’erreur sur la puissance rayonn´ee est d’environ 0, 5 %. On reconnaˆıt imm´ediatement dans ces deux ´equations l’expression de la r´esistance thermique R<sup>ray</sup>ij associ´ee au rayonnement transmis de l’´el´ement i `a j. Pour les calculs num´eriques de ces r´esistances on consid`ere que l’ensemble est `a T = T_i = 300 K.

Ces puissances transmises par rayonnement sont `a comparer avec les puis-sances transmises de l’enceinte `a vide int´erieure vers la cavit´e par conduction. La puissance est conduite `a travers les pieds supportant les diff´erents ´el´ements et est proportionnelle `a la diff´erence de temp´erature ∆T_ij

Qij = ^∆Tij R^cdij

(2.46)

La r´esistance thermique d´epend de la conductivit´e thermique κ du mat´eriau, de l’aire A de la section et de la longueur ` de la pi`ece :

R^cdij = ^`

A κ ^(2.47)

On ne prend en compte que la r´esistance des diff´erents pieds et on fait l’hypoth`ese que les r´esistances de contact entre un pied et la bride sur laquelle

Fig. 2.32 – Mod`^{ele thermique de l’enceinte int´erieure (EI) de temp´erature T}EI, ´ecran thermique ext´erieur (BE), ´ecran thermique int´erieur (BI), ´ecran thermique de la cavit´e (BC) et la cavit´e (C) de temp´erature T_C. Les r´esistances thermiques R sont mod´elis´ees par des r´esistances et les capacit´es thermiques C_ppar des condensateurs.

il repose ainsi que la bride qu’il supporte sont nulles. Les r´esistances ther-miques de contact sont difficiles `a d´eterminer et cette hypoth`ese est forc´ement erron´ee mais on obtient de cette fa¸con une estimation major´ee de la puissance thermique transf´er´ee `a la cavit´e par conduction.

La capacit´e thermique C_pd’un objet relie sa variation de temp´erature dT `

a l’´energie qu’il peut emmagasiner ou restituer δQc. On l’´ecrit : Cp = δQc

dT ^(2.48)

La capacit´e thermique de chaque ´ecran C_pj est prise en compte. Leurs valeurs d´ependent du mat´eriau les constituant au travers de la densit´e et de la capacit´e thermique massique.

On associe en parall`ele la r´esistance, dite de rayonnement, `a la r´esistance de conduction afin d’obtenir une r´esistance thermique ´equivalente Rij.

On mod´elise l’ensemble par quatre cellules passe bas en cascade. Chaque cellule est constitu´ee de la r´esistance thermique ´equivalente et de la capacit´e thermique correspondante (voir figure 2.32). La fonction de transfert ther-mique total, entre la temp´erature de l’enceinte int´erieure T_EI et celle de la cavit´e T_C, est du quatri`eme ordre :

G(f ) = ¹ 1 + _f^f 2 +  f f2 2 +  f f3 3 +  f f4 4 (2.49) Pour chaque couple d’´el´ements ij on peut d´efinir une constante de temps ζ_j qui donne une id´ee de la contribution de chaque cellule. Cette constante de temps est simplement donn´ee par :

Fig. 2.33 – Module de la fonction de transfert du filtrage thermique entre l’enceinte `^{a vide} int´erieure et la cavit´e (rouge), l’extrapolation de la courbe (pointill´es rouge). La contri-bution de chacun des ´ecrans thermiques (consid´er´es ind´ependamment) est aussi report´ee (´ecran ext´erieur – orange, ´ecran int´erieur – violet, blindage de la cavit´e – vert). En ti-rets bleus apparaˆıt le filtrage requis pour que le bruit de fluctuations de temp´erature soit inf´erieur au bruit thermique des miroirs de la cavit´e.

Filtrage du bruit de temp´erature

L’isolation au rayonnement augmente lorsque l’on diminue l’´emissivit´e des ´ecrans. Dans ce but, les ´ecrans thermiques, de g´eom´etrie cylindrique en aluminium, ont ´et´e polis et dor´es, ce qui permet d’avoir une ´emissivit´e de 2 % ou 3 %. Le support de la cavit´e ou berceau est consid´er´e, pour les calculs, comme ´etant non dor´e bien qu’il le soit, on prend ainsi une marge de s´ecurit´e suppl´ementaire vis-`a-vis de l’isolation recherch´ee.

Afin de minimiser la conduction, on augmente la r´esistance thermique des pieds en diminuant soit la conductivit´e thermique soit la section de conduc-tion. En choisissant du Viton comme supports de l’´ecran ext´erieur et de la cavit´e c’est la premi`ere approche qui est privil´egi´ee. Le choix de ce mat´eriau est guid´e par l’amortissement m´ecanique qu’il procure conjointement `a sa faible conductivit´e thermique (κ_viton = 0, 2 W.K⁻¹.m⁻¹). Les deux autres supports, pieds de l’´ecran thermique int´erieur et pieds du berceau de la ca-vit´e, sont en acier inoxydable dont la conductivit´e est κ_inox = 16 W.K⁻¹.m⁻¹.

La r´esistance thermique tend `a ˆetre augment´ee en diminuant la section des diff´erents pieds. Pour les premiers, ce sont des cylindres creux dont l’´epaisseur de la paroi est minimis´ee sans toutefois les rendre m´ecaniquement fragiles. L’extr´emit´e h´emisph´erique des seconds, sur lesquels repose la surface plane du berceau, permet d’avoir un contact quasi ponctuel. Ce type de contact tend `a augmenter la r´esistance thermique et la stabilit´e m´ecanique.

Le graphique de la figure 2.33 repr´esente le module de la fonction de transfert des ´ecrans thermiques, calcul´e `a partir de la relation 2.49 et de la g´eom´etrie de l’enceinte `a vide et des ´ecrans thermiques. Le filtrage atteint le niveau requis permettant de s’affranchir du bruit thermique `a la fr´equence de 8 × 10⁻⁶ Hz. L’extrapolation de la pente, en f⁻⁴, donne une constante de temps ´equivalente de ∼ 265000 s soit 3 jours.

D’apr`es la valeur de la constante de temps de chaque cellule consid´er´ee ind´ependamment (´equation 2.50), on constate que la fr´equence de coupure de chaque ´ecran thermique est entre 2 × 10<sup>−6</sup> Hz et 1 × 10<sup>−5</sup> Hz. `A part le filtrage entre l’´ecran de la cavit´e et la cavit´e elle-mˆeme, la contribution de chacun des autres ´ecrans est quasiment ´equivalente.

Le filtrage calcul´e est totalement satisfaisant, compte tenu des approxi-mations pessimistes qui ont ´et´e faites. Les approximations les plus impor-tantes ont ´et´e de : n´egliger les r´esistances thermiques de contact entre les diff´erents ´ecrans ; supposer l’´emissivit´e du support de la cavit´e plus grande que ce qu’elle est ; et enfin, sur´evaluer le niveau du bruit de temp´erature de l’enceinte int´erieure, ce qui permet de d´efinir le gabarit du filtrage.