Pr´esentation
En annexe de ce chapitre, nous reproduisons l’articlehhPhase shifts of atomic de Broglie waves at an evanescent wave mirrorii par C. H., J.-Y. COURTOIS, R. KAISER, C.
WESTBROOKet A. ASPECT, qui a ´et´e publi´e dans le num´ero sp´ecial Laser cooling and trapping de la revue Laser Physics 4 (no. 5), pp. 1042–1049 (1994).1 Nous ´etudions dans ce travail la r´eflexion d’une onde atomique par le potentiel dipolaire de l’onde
´evanescente. Grˆace au fait que ce potentiel a une forme analytique simple (2.4), V(z) =Vmaxe−2κz, (3.1) il est possible de r´esoudre compl`etement le probl`eme m´ecanique, et ce aussi bien du point de vue classique que quantique. Nous r´esumons ici les r´esultats que l’on obtient d’une part pour le mouvement classique dans la barri`ere de potentiel et d’autre part pour les fonctions d’onde quantiques.
Le processus classique de r´eflexion a lieu sur une ´echelle de temps caract´eristique τint donn´ee par le temps n´ecessaire pour traverser la profondeur de p´en´etration1/κde l’onde ´evanescente `a la vitesse incidentevzi[voir l’´equation (Pha 2)] :
τint = 1 κvzi
, (3.2)
comme nous l’avons anticip´e `a l’´equation (2.8). Dans la r´egion asymptotique o`u le potentiel s’annule, l’atome est en mouvement rectiligne et uniforme longtemps avant et apr`es la r´eflexion. La figure Pha 1 montre que les deux branches asymptotiques de la trajectoire se croisent `a une distance ζcl (Pha 5) de la surface. Du point de vue classique, nous pouvons donc nous repr´esenter le miroir `a onde ´evanescente par un
1Dans ce m´emoire, nous utilisons le signethhPhaii pour faire r´ef´erence aux ´equations, figures et pages de cette publication.
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70 R´eflexion sp´eculaire miroir effectif situ´e `a cette position : lorsque l’on ignore la dynamique d´etaill´ee du processus de r´eflexion, l’atome r´efl´echi sort du potentiel du miroir de la mˆeme fac¸on que s’il avait rencontr´e une barri`ere de potentiel infinie (un hhmiroir parfaitii) situ´ee `a ζcl.
Du point de vue quantique, l’atome est d´ecrit par une fonction d’ondeψkzi(z)qui est une solution de l’´equation de SCHRODINGER¨ stationnaire pour la barri`ere de po-tentiel du miroir. Dans la r´egion asymptotique, ψkzi(z) est une superposition d’une onde incidente et d’une onde r´efl´echie dont les vecteurs d’onde valent ∓kzi et o`ukzi
est reli´e `a la vitesse incidente parkzi = Mvzi/¯h. Nous d´efinissons le d´ephasage `a la r´eflexion∆ϕpar le comportement asymptotique suivant de la fonction d’ondeψkzi(z) [voir (1.58) et (Pha 8, Pha 18)] :
z →+∞: ψkzi(z)∝he−ikiz−ei(kiz+∆ϕ)i. (3.3) Dans cette expression, la deuxi`eme exponentielle repr´esente l’onde r´efl´echie, et le d´ephasage∆ϕdonne la correction de sa phase par rapport `a la r´eflexion instantan´ee2 par un miroir parfait situ´e sur la surface du di´electriquez = 0.
Nous montrons `a l’´equation (Pha 19) de l’annexe 3.A que le d´ephasage∆ϕest de l’ordre de la phasekzi/κassoci´ee `a la propagation libre de l’onde incidente `a travers la profondeur de p´en´etration1/κde l’onde ´evanescente. Dans le r´egime semi-classique kzi ≫ κ, o`u la longueur d’onde atomique incidente est beaucoup plus petite que1/κ,
∆ϕest donc grand devant l’unit´e. A l’´equation (Pha 20) du paragraphe Pha 3.2, nous trouvons que dans cette limite, la solution exacte de l’´equation de SCHRODINGER¨ et l’approximation BKW donnent un d´ephasage identique, `a une correction de l’ordre de (kzi/κ)−1 pr`es. En particulier, ce d´ephasage d´epend de la vitesse incidente, et par cons´equent, la r´eflexion d’atomes par le miroir est dispersive.
Dans la limite quantiquekzi ≪κ, o`u la longueur d’onde atomique est plus grande que1/κ, le d´eveloppement asymptotique (3.3) de la fonction d’onde peut s’´ecrire sous la forme suivante
z→+∞, kzi ≪κ
)
: ψkzi(z)∝sinhkzi(z−ζeffSchr)i. (3.4) Le miroir `a onde ´evanescente se comporte alors comme un miroir parfait situ´e `a la position fixeζeffSchr(Pha 22b), avec
ζeffSchr = 1
2κlog e2γ Vmax
2¯h2κ2/M
!
. (3.5)
[γ ≈ 0.577 est la constante d’EULER.] Cette position est proche du point de rebrous-sement d’un atome avec une vitesse incidente ´egale `a la hhvitesse de reculii hκ/M¯ . Comme ζeffSchr ne d´epend plus de la vitesse incidente, nous constatons que le miroir devient non dispersif dans le r´egime quantique.
2Le signe−de l’onde r´efl´echie provient du choix d’une barri`ere de potentiel infinie pour donner la r´ef´erence de phase.
R´eflexion par un potentiel r´epulsif 71 Notons finalement l’expression exacte de la fonction d’onde atomique pour la r´eflexion par une onde ´evanescente simple. A la diff´erence de l’article en annexe [les expressions (Pha 17, Pha B8)], nous avons choisi dans ce m´emoire une normalisa-tion diff´erente, o`uψkzi(z)tend dans la r´egion asymptotique vers une onde stationnaire d’amplitude unit´e :
z →+∞: ψkzi(z) = sinhkiz+ 12∆ϕi. (3.6) Avec cette normalisation, la fonction d’onde est donn´ee par
ψkzi(z) =
skzi
πκsinhπkzi
κ Kikzi/κ[u(z)], (3.7) o`u Kikzi/κ(u) est une fonction de BESSEL modifi´ee de la deuxi`eme esp`ece3 dont l’argumentu(z)est d´efini par
La fonction d’onde (3.7) est repr´esent´ee sur la figure Pha 2, pour un vecteur d’onde in-cident assez faible,kzi= 3κ. La figure 3.1 correspond `a un vecteur d’onde plus grand, kzi = 30κ. Nous observons l’augmentation de l’amplitude de la fonction d’onde au-tour du point de rebroussement classique, sans toutefois qu’elle y pr´esente une singu-larit´e comme c’est le cas pour la solution donn´ee par l’approximation BKW (la courbe en tirets sur la figure Pha 2).
Remarque. Apr`es la publication de l’article reproduit dans l’annexe, nous avons pris connaissance du fait que les premiers `a ´ecrire les fonctions d’onde (3.7) dans le potentiel exponentiel (3.1) furent J. M. JACKSON et N. F. MOTT en 1932 :hhEnergy exchange between inert gas atoms and a solid surfaceii, Proc. Roy. Soc. (London) Ser. A 137, pp. 703–717.
Erratum. La note de bas de page no. 7 de l’annexe 3.A devrait ˆetre une r´ef´erence biblio-graphique `a l’article hhResonant enhancement of evanescent waves with a thin dielectric waveguideiipar R. KAISER, Y. L ´EVY, N. VANSTEENKISTE, A. ASPECT, W. SEIFERT, D.
LEIPOLDet J. MLYNEK, Opt. Commun. 104, 234 (1994).
Notations. Nous donnons au tableau suivant une synopse des notations utilis´ees dans l’article Pha de l’annexe 3.A et dans le pr´esent m´emoire.
Grandeur physique dans ce m´emoire dans l’annexe 3.A potentiel `az= 0 Vmax ´eq. (3.1) p2max/2M ´eq. (Pha 1)
vitesse incidente vzi p∞/M
distance de rebroussement zreb ´eq. (2.7) z0 ´eq. (Pha 3) temps de r´eflexion τint ´eq. (2.8) τrefl ´eq. (Pha 4)
3Handbook of Mathematical Functions, ´edit´e par M. ABRAMOWITZ et I. STEGUN(Dover, New York, 1965), chap. 9.6 et 9.7.
72 R´eflexion sp´eculaire
0 0.5 z reb 1.5 2 2.5 kappa z E zi
Figure 3.1: Fonction d’onde atomique dans la barri`ere de potentiel de l’onde
´evanescente. Le vecteur d’onde incident vaut kzi = 30κ et Vmax = 10Ezi de sorte queλdB ≈0.21κ−1etzreb≈1.15κ−1. La position est donn´ee en unit´es de1/κ.