Influence du facteur d’obliquit´e

Coupure du transfert de vecteur d’onde

Rappelons que le facteur d’obliquit´eβ(ξ)d´ecroˆıt exponentiellement pour de grandes valeurs de l’argument ξ = ∆kz,±1/κ [voir le comportement asymptotique (6.15)].

Ceci implique que les populationsw±1 deviennent n´egligeables lorsque le transfert de vecteur d’onde∆kz,±1 augmente au-del`a d’une valeur limite de l’ordre de la constante de d´ecroissanceκde l’onde ´evanescente :

|∆kz,±1| ≫κ : w±1 ∝exp −π|∆kz,±1| κ

!

. (7.50)

Les populations des premiers ordres de diffraction ne sont donc notablement diff´erentes de z´ero que si le transfert normal de vecteur d’onde satisfait `a la condi-tion suivante :

|∆kz,±1|<

∼κ. (7.51)

Pour interpr´eter cette limitation de l’efficacit´e de diffraction, nous rappelons que dans la diffraction, l’onde atomique absorbe un vecteur d’onde du r´eseau r´eciproque du potentiel dipolaire de l’onde ´evanescente stationnaire. Dans la direction horizontale, ceci se traduit par les transferts discrets ±2q parce que le potentiel est p´eriodique et que son r´eseau r´eciproque ne contient que les composantes de FOURIER ±2q. Dans la direction verticale, le potentiel a une ´etendue de l’ordre de1/κ, et son d´eveloppement en ondes planes est limit´e `a des vecteurs d’ondes de l’ordre deκ. Par cons´equent, il ne peut fournir `a l’onde atomique un vecteur d’onde vertical qui soit sup´erieur `a la constante de d´ecroissanceκde l’onde ´evanescente.¹⁰

La condition (7.51) caract´erise les situations dans lesquelles la diffraction est efficace. Notons qu’elle exprime un r´esultat de la th´eorie dynamique (la limite de l’efficacit´e de la diffraction) en termes d’une quantit´e de la th´eorie cin´ematique (le transfert de vecteur d’onde vertical ∆kz,±1). Dans le diagramme d’EWALD (voir les figures 7.10 et 7.11), nous pouvons repr´esenter la coupure (7.51) de l’efficacit´e de la diffraction par une bande horizontale de largeur verticale∼2κcentr´ee autour du vec-teur d’onde(kxi, kzi)de l’ordre sp´eculaire. Les populations non sp´eculaires de la figure de diffraction sont notables seulement si les vecteurs d’ondes diffract´es(kx,±1, kz,±1) se trouvent `a l’int´erieur de cette^hhbande du couplage efficaceⁱⁱ. Dans les paragraphes suivants, nous ´etudions les cons´equences de cette coupure d’abord en incidence nor-male et ensuite en fonction de l’angle d’incidence.

Incidence normale

En incidence normale, nous distinguons entre deux r´egimes qui sont repr´esent´es sur les figures 7.10 et 7.11, respectivement.

10Cet argument n’est pas en contradiction avec la r´eflexion d’atomes ayant une vitesse incidente bien plus grande que ¯hκ/M par l’onde ´evanescente parce qu’il est un argument perturbatif, alors que la r´eflexion est un effet non perturbatif.

Approximation deBORN 135 2κ

2q

0 +1

+2

−2 −1

+3

−3

Figure 7.10: Bande de couplage efficace large : r´egime deRAMAN–NATH (7.52).

Le r´egime de RAMAN–NATH. Sur la figure 7.10, plusieurs ordres diffract´es se trouvent `a l’int´erieur de la bande du couplage efficace. Comme le transfert normal de vecteur d’onde (7.41) pour les ordres premiers vaut approximativement∆k_z,±1 =

−2q²/kzien incidence normale, ce r´egime est caract´eris´e par la condition 2q²

κkzi ≪1. (7.52)

Le facteur d’obliquit´eβ dans (7.40) est donc proche de l’unit´e et les populations des ordres de diffraction n = ±1 sont donn´ees par l’estimation (7.42) du paragraphe pr´ec´edent. Nous notons que la condition (7.52) est satisfaite dans le cas g´en´erique o`u q et κ sont du mˆeme ordre de grandeur, `a cause de la limite semi-classique. Par analogie avec la diffraction par une onde stationnaire en transmission, nous appelerons le r´egime (7.52) celui de RAMAN–NATH.

Le r´egime de BRAGG. La figure 7.11 repr´esente le r´egime oppos´e : la bande de couplage efficace est ´etroite `a l’´echelle des transferts de vecteur d’onde. La diffraction est alors peu efficace en incidence normale. Ce r´egime est caract´eris´e par la condition oppos´ee de (7.52) :

2q² κkzi

>∼1. (7.53)

Pour le r´ealiser dans la limite semi-classique, il faut satisfaire l’in´egalit´e q ≫ κ.

L’´epaisseur1/κdu r´eseau de diffraction est alors beaucoup plus grande que sa p´eriode π/q. Ce r´egime est compl´ementaire du mod`ele du miroir effectif modul´e parce que l’´epaisseur non nulle du r´eseau implique une modification importante des populations

136 Diffraction

0 +1

−1

z

2q

2κ

x

Figure 7.11: Bande de couplage efficace ´etroite : r´egime deBRAGG (7.53).

non sp´eculaires par rapport au r´esultat (7.49). Nous appelerons ce r´egime celui de BRAGG.

Incidence oblique

Nous distinguons de nouveau entre les r´egimes de RAMAN–NATHet de BRAGG parce que les populations des ordres de diffraction y pr´esentent des comportements diff´erents en fonction de l’angle d’incidenceθi.

Le r´egime de RAMAN–NATH. Sur la figure 7.12, nous pr´esentons les populations des ordres de diffraction n = ±1, donn´ees par l’expression (7.40) que nous avons trouv´ee dans le r´egime semi-classique, en fonction de l’angle d’incidence θi dans le plan du r´eseau xOz. Nous constatons que les populations des ordres n = +1 et n = −1 (les courbes en trait plein et en tirets) sont proches l’une de l’autre et qu’elles d´ecroissent vers z´ero lorsque l’angle d’incidence augmente. En particulier, elles d´ecroissent plus vite que l’estimation (7.49) du mod`ele du miroir effectif ondul´e o`u le facteur d’obliquit´e n’est pas pris en compte (les courbes en pointill´ees).

Pour interpr´eter ce comportement, ´etudions le diagramme d’EWALD repr´esent´e sur la figure 7.13. Nous rappelons que dans le r´egime de RAMAN–NATH, la bande du couplage efficace est large devant les diff´erences des composantes normales des vecteurs d’onde diffract´es. Nous pouvons alors approximer le cercle de conservation

Approximation deBORN 137

10 20 30 40 50 60 70 80 θ [°]

0.1 0.2 w n

Figure 7.12: Populations (7.40) de la figure de diffraction dans le r´egime deRAMAN– NATH, en fonction de l’angle d’incidenceθ_i dans le plan du r´eseau xOz (en degr´es).

Trait plein : ordre n = +1, tirets : ordre n = −1. Point-tirets : approximation (7.56) dans le r´egime de RAMAN–NATH. Pointill´ees : r´esultat (7.49) du mod`ele du miroir effectif modul´e qui ne tient pas compte du facteur d’obliquit´e.

Param`etres : ki = 50q, κ = q, ǫ = 0.02. Le param`etre du crit`ere (7.52) vaut 2q²/κki = 0.04.

138 Diffraction

x z

2q

−1 0

+1

2κ

θ_i

Figure 7.13: Bande de couplage efficace dans le r´egime de RAMAN–NATH en inci-dence oblique.

d’´energie par sa tangente `a la position du vecteur d’onde sp´eculaire. Les transferts normaux de vecteur d’onde (7.41) sont alors donn´es par

∆kz,±1 ≈ ∓2qtanθi. (7.54)

Cette approximation montre que∆kz,±1augmente avec l’angle d’incidence. Le facteur d’obliquit´eβ dans (7.40) fait alors d´ecroˆıtre l’efficacit´e de la diffraction lorsque l’on s’´eloigne de l’incidence normale.¹¹ La coupure (7.51) pour ∆kz,±1 implique que la diffraction est efficace dans une plage d’angles d’incidence donn´ee par

q

κtanθi <

∼ 1

2. (7.55)

Cette plage est grande dans le cas g´en´erique o`u q et κ sont du mˆeme ordre de gran-deur. Nous l’appelerons l’incidence oblique. Pour les param`etres de la figure 7.12, l’estimation (7.55) donne la limite θi <

∼ 27^◦, et nous constatons qu’au-del`a de cet angle, les populations non sp´eculaires deviennent n´egligeables.

L’approximation (7.54) pour∆kz,±1 montre ´egalement que les transferts normaux de vecteur d’onde pour les ordres n = +1 et n = −1 diff`erent seulement par leur signe. Le facteur d’obliquit´eβ(∆k_z,±1/κ)prend donc la mˆeme valeur pour ces deux

11Notons que dans l’approximation (7.54), le facteur d’obliquit´e est identique `a celui que nous avons trouv´e pour le mouvement classique,β(ξ), avecξ= 2qtanθi/κ[voir (6.12, 6.13)].

Approximation deBORN 139 ordres. En nous plac¸ant en incidence oblique et en n´egligeant des petites corrections de l’ordre deκ/kzi, les populations (7.40) peuvent alors ˆetre approxim´ees par

w^(RN)_±1 ≈ ǫkzi

La figure de diffraction est donc sym´etrique dans le r´egime de RAMAN–NATH. Le r´esultat (7.56) est repr´esent´e par la courbe en points-tirets sur la figure 7.12, et en comparant `a l’approximation de BORN (les courbes en trait plein et en tirets), nous constatons qu’il est une bonne approximation de la figure de diffraction.

Calculons finalement un crit`ere de validit´e quantitatif pour le r´egime de RAMAN– NATHen incidence oblique. A cet effet, nous approximons le cercle de la conservation d’´energie dans le diagramme d’EWALD (figure 7.13) non pas par une droite, mais par une parabole. On trouve alors l’expression suivante pour les transferts de vecteur d’onde

L’approximation pr´ec´edente (7.54) correspond au premier terme de ce d´eveloppement.

Nous pouvons nous en contenter si le deuxi`eme terme est petit par rapport `a l’´echelle caract´eristiqueκ de la coupure de l’efficacit´e de diffraction. Ainsi trouvons-nous la condition suivante :

2q² κkzi

1

cos²θi ≪1. (7.58)

Si nous nous limitons `a l’incidence oblique (7.55), cette condition est ´equivalente `a celle pour l’incidence normale (7.52) parce que le facteur1/cos²θiy est de l’ordre de l’unit´e :

En incidence rasante par contre, nous avons cosθi → 0, et la condition (7.58) est viol´ee. L’approximation lin´eaire pour le transfert de vecteur d’onde n’est donc plus valable. Nous allons ´etudier ce cas `a la fin du paragraphe, en revenant au r´esultat (7.40) de l’approximation de BORN.

Le r´egime de BRAGG. Sur la figure 7.14, nous montrons les populations (7.40) des ordres de diffraction en fonction de l’angle d’incidence θi, pour un vecteur d’onde incident et un r´eseau tels que la condition (7.53) du r´egime de BRAGG est satisfaite.

Par rapport au r´egime de RAMAN–NATH (la figure 7.12), nous constatons que les populations des ordresn= +1etn =−1sont assez diff´erentes, et qu’elles passent par un maximum `a des angles d’incidence±θB non nuls. En outre, la diffraction devient rapidement inefficace lorsque l’angle d’incidence s’´ecarte de la normale.

Pour interpr´eter ce comportement, nous notons qu’au voisinage de l’incidence nor-male, les transferts de vecteur d’onde (7.41) peuvent ˆetre approxim´es par

∆k_z,±1 ≈ ∓2q kzi

(k_xi±q). (7.60)

140 Diffraction

− 30 − 20 − 10 0 10 20 30 θ [°]

0.1 0.2 w n

Figure 7.14: Populations (7.40) de la figure de diffraction dans le r´egime deBRAGG, en fonction de l’angle d’incidence θi dans le plan du r´eseau xOz (en degr´es). Trait plein : ordren = +1, tirets : ordren = −1, en pointill´ees : r´esultat (7.49) du mod`ele du miroir effectif modul´e qui ne tient pas compte du facteur d’obliquit´e.

Param`etres : ki = 10q, κ = 0.1q, ǫ = 0.01. Le param`etre de la condition (7.53) vaut2q²/κki = 2. La r´esonance de BRAGG a lieu aux angles_±θB ≈ ±6^◦ (les traits verticaux).

Approximation deBORN 141 A cause du facteur d’obliquit´e β(∆kz,±1/κ), les populations non sp´eculaires sont maximales lorsque ces transferts s’annulent :

∆kz,±1 = 0, (7.61)

donc pour des vecteurs d’onde incidents tels quek_xi=±q. En fonction de la longueur d’onde atomique dans le planxOz,λdB = 2π/ki, et de la p´eriode du r´eseaua=π/q, la condition (7.61) s’´ecrit encore sous la forme plus famili`ere d’une condition de BRAGG,

a

2sinθ_B =±λ_dB, (7.62)

o`uθBest l’angle d’incidence au maximum. Nous appelerons ces g´eom´etries de diffrac-tion des r´esonances de BRAGG. Dans le r´egime semi-classique, les angles de r´esonance θBdonn´es par (7.62) sont g´en´eralement proches de l’incidence normale.

Sur la figure 7.15, nous montrons la g´eom´etrie de diffraction `a la r´esonance de BRAGG pour l’ordren = −1. C’est alors la diff´erence ∆kz,−1 = 0 qui s’annule, et le vecteur d’onde incident est ´egal `a(q,−kzi). L’ordre de diffractionn = −1 corres-pond donc `a un vecteur d’onde final(−q, kzi), et cette onde diffract´ee se propage dans la direction inverse de l’onde incidente. A la r´esonance de BRAGG, la g´eom´etrie de diffraction `a atomes correspond donc `a un montage de type LITTROW.

Estimons maintenant la largeur de la r´esonance de BRAGG. En utilisant la li-mite (7.51) pour l’efficacit´e de diffraction et l’expression (7.60) pour les transferts de vecteur d’onde, on trouve que la diffraction vers l’ordren = −1 est efficace tant que la composante horizontalekxidu vecteur d’onde incident v´erifie

q− κkzi

2q <

∼kxi<

∼q+κkzi

2q . (7.63)

En dehors de cet intervalle, le facteur d’obliquit´eβ(∆kz,−1/κ)fait d´ecroˆıtre la popula-tionw−1vers z´ero [voir la figure (7.14)]. Nous constatons donc que c’est pr´ecis´ement dans le r´egime de BRAGG κkzi/(2q²) <

∼ 1(7.53) que l’intervalle (7.63) est plus ´etroit que la s´eparation 2q entre les maximums des populations, comme c’est le cas sur la figure 7.14. Dans ce r´egime, les r´esonances de BRAGG sont nettement r´esolues.

Etant donn´e que les r´esonances de BRAGG ont lieu au voisinage de l’incidence normale, les populations des ordres de diffraction (7.40) autour des r´esonances peuvent ˆetre approxim´ees par

Pour les param`etres de la figure 7.14, cette approximation pour les populations w±1

se confond avec le r´esultat (7.40) de l’approximation de BORN. A la r´esonance pour l’ordren = −1, le facteur d’obliquit´e β est ´egal `a l’unit´e et la population w−1 dans (7.64) est donn´ee par l’estimation (7.42). Par contre, l’´equation (7.64) montre que la populationw+1 est alors r´eduite parce que l’argument deβvaut4q²/κkzi >

∼1.

142 Diffraction

0

−1

z

θ

_B

2 q

2κ +1

x

Figure 7.15: Diffraction d’atomes dans le r´egime deBRAGG. G´eom´etrie deLITTROW

pour l’ordren=−1.

Approximation deBORN 143 Pour observer exp´erimentalement la diffraction de BRAGG, il faut satisfaire `a la condition (7.53). La vitesse incidente des atomes doit donc ˆetre faible :

vzi <

Pour qu’une telle vitesse corresponde encore au r´egime semi-classique, il est alors n´ecessaire que le rapport q/κ soit grand devant l’unit´e.¹² Il convient donc d’utiliser une onde ´evanescente avec une longueur de d´ecroissance1/κbeaucoup plus grande que la p´eriode du r´eseau. Ceci qui peut ˆetre r´ealis´e par une r´eflexion totale interne pr`es de l’angle limite. En effet, l’expression (7.63) montre que les r´esonances de BRAGG

sont d’autant plus ´etroites que la constante de d´ecroissanceκdu r´eseau de diffraction est petite.

Comparons finalement le r´egime de BRAGG au r´egime du r´eseau g´eom´etriquement

´epais. Rappelons que nous avons identif´e ce r´egime dans le contexte du mouvement classique et qu’il est caract´eris´e par le fait que l’atome oscille plusieurs fois dans une

hhvall´eeⁱⁱ du potentiel dipolaire de l’onde ´evanescente stationnaire pendant le temps d’interaction. Nous consid´erons `a cet effet une situation o`u, `a la r´esonance de BRAGG

pour l’ordren =−1, l’expression (7.64) pour la populationw−1 devient de l’ordre de l’unit´e. Ceci correspond `a une valeur du contraste de l’ordre de

ǫ∼ 2κ kzi

, (7.66)

et le calcul perturbatif n’est alors plus valable. Etant donn´e que la diffraction vers l’ordren = +1est beaucoup moins efficace, nous nous attendons `a ce qu’une grande partie de la population de l’ordre sp´eculaire soit transf´er´ee vers l’ordre−1. En com-binant (7.66) avec la condition du r´egime de BRAGG (7.53), nous trouvons que cette situation est ´equivalente au r´egime du r´eseau g´eom´etriquement ´epais (6.30) :

ǫq²

Le transfert de population vers l’ordre n = −1 `a la r´esonance de BRAGG apparaˆıt donc comme l’analogue quantique des oscillations classiques de l’atome dans les vall´ees du potentiel dipolaire. Pour calculer la figure de diffraction dans ce r´egime, l’approximation de BORN n’est plus suffisante. Nous ´etudierons ce probl`eme dans le chapitre 9.

Incidence rasante

Nous avons d´ej`a constat´e que les populations des ordres de diffraction d´ecroissent lorsque l’on s’´eloigne de l’incidence normale (voir les figures 7.12 et 7.14). En nous

12Nous verrons au paragraphe 7.4 suivant que pour une vitesse incidentevzi plus petite que la li-mite semi-classique¯hκ/M, le facteur d’obliquit´e n’intervient plus dans les populations des ordres de diffraction.

144 Diffraction

k

_x

0

−1

2κ

k

_z

k

_zi

Figure 7.16: Bande de couplage efficace en incidence rasante.

Approximation deBORN 145 plac¸ant maintenant en incidence rasante (θi → 90^◦), le diagramme d’EWALD de la figure 7.16 montre que la diff´erence de vecteur d’onde∆kz,−1est du mˆeme ordre que le vecteur d’onde incidentkzi. Or, dans le r´egime semi-classique (qui est g´en´eralement r´ealis´e dans les exp´eriences de diffraction en incidence rasante [12, 13]), le vecteur d’onde incidentkzi est beaucoup plus grand queκ. Il s’ensuit que la population w−1

est proportionnelle `a un facteur exponentiellement petit de l’ordre de exp(−πkzi/κ) [voir (7.50)]. La diffraction est inefficace parce que le transfert de vecteur d’onde ver-tical est beaucoup plus grand que le vecteur d’onde maximal que puisse transf´erer le potentiel dipolaire. Nous concluons que les observations exp´erimentales de la dif-fraction d’atomes en incidence rasante [12, 13] ne peuvent pas ˆetre interpr´et´ees dans le cadre th´eorique que nous avons choisi ici. Nous ´etudierons dans le chapitre 11 un mod`ele plus complexe [78, 79, 81] qui permet d’expliquer la diffraction par des tran-sitions entre ´etats internes de l’atome auxquels sont associ´es des potentiels dipolaires diff´erents.

Dans le document Réflexion et diffraction d’atomes lents par un miroir à onde évanescente (Page 135-146)