Pr´esentons maintenant le plan du pr´esent m´emoire, avec une attention particuli`ere pour les approches th´eoriques que nous avons suivies.
Partie I : la r´eflexion sp´eculaire
Une fois que nous avons adopt´e une description de l’interaction entre l’atome et le champ lumineux en termes du potentiel dipolaire (au chapitre 1.1), la r´eflexion d’atomes se r´eduit `a un probl`eme ´el´ementaire de la m´ecanique quantique : la solution de l’´equation de SCHRODINGER¨ pour une barri`ere de potentiel r´epulsive (chapitre 2).
Pour lehhm´ecanicien quantiqueii, la r´eflexion est alors enti`erement caract´eris´ee par le d´ephasage de l’onde r´efl´echie.4 Le potentiel dipolaire de l’onde ´evanescente le met
4A. MESSIAH, M´ecanique Quantique (Dunod, Paris, nouvelle ´edition 1995), tome 1, chap. X.
25 en outre dans la situation heureuse que la barri`ere de potentiel est d’une forme parti-culi`erement simple (une fonction exponentielle) qui permet de trouver des solutions analytiques explicites `a l’´equation de SCHRODINGER¨ (au chapitre 3). Les premiers `a les ´ecrire furent J. M. JACKSON et N. F. MOTT en 1932 [68].5 Ayant `a notre dispo-sition une solution compl`ete du probl`eme de la r´eflexion, nous pouvons ´etudier deux situations limites : il s’agit des r´egimes semi-classique et quantique o`u la longueur d’onde de l’onde atomique incidente est soit tr`es petite, soit tr`es grande devant la longueur caract´eristique du potentiel exponentiel.6 Dans la limite semi-classique, la solution analytique exacte permet de retrouver le r´esultat donn´ee par l’approximation BKW [67] : l’on peut alors obtenir la phase de l’onde r´efl´echie en int´egrant l’impulsion le long de la trajectoire classique r´efl´echie par le potentiel. Dans la limite quantique par contre, la barri`ere de potentiel varie rapidement `a l’´echelle de la longueur d’onde incidente. L’on obtient alors une bonne approximation du d´ephasage `a la r´eflexion en remplac¸ant le potentiel exponentiel par une barri`ere de potentiel infinie. Dans cette limite, il est mˆeme possible d’observer la r´eflexion d’une onde atomique, avec un co-efficient de r´eflexion non nul, par un potentiel exponentiel attractif sur lequel aucune r´eflexion ne se produit d’un point de vue classique (chapitre 4). Tels sont les r´esultats de la premi`ere partie de ce m´emoire o`u nous nous limitons au probl`eme simple d’une barri`ere de potentiel de forme exponentielle.
Partie II : la diffraction
Du point de vue de la m´ecanique quantique, la diffraction d’atomes par une onde
´evanescente stationnaire se pr´esente dans le cadre suivant : il est n´ecessaire de d´ecrire l’atome par une approche ondulatoire pour que la notion de diffraction ait un sens. Le champ lumineux par contre n’intervient qu’`a travers le potentiel dipolaire que nous pouvons d´ecrire par un potentiel externe ind´ependant du temps, comme dans la th´eorie quantique de la diffusion. L’onde atomique est diffract´ee parce que le potentiel externe lui transf`ere des vecteurs d’onde, tout en respectant la conservation de l’´energie. Il s’ensuit que le hhm´ecanicienii d´eveloppera une th´eorie de la diffraction d’atomes par l’onde ´evanescente stationnaire, dans laquelle il n’y a pas dehhphotonsii(parce que le champ lumineux n’est pas quantifi´e).
Nous ferons encore une concession au m´ecanicien et `a son souci de simplifica-tion, en pr´esentant d’abord, au chapitre 7, un ´etude perturbative de la diffraction. Nous
5JACKSONet MOTT´etudi`erent alors l’´echange d’´energie `a l’interface entre un gaz et un solide.
6Dans ce m´emoire, nous utilisons l’adjectifhhsemi-classiqueiidans le sens pr´ecis´e ci-dessus. Notons qu’il existe un usage diff´erent du mothhsemi-classiqueiidans le contexte du refroidissement radiatif, o `u l’on consid`ere un atome avec une position et une vitesse bien d´efinies et dont on d´ecrit de fac¸on quantique la dynamique des ´etats internes. Dans ce contexte-l`a, le mouvement du centre de masse de l’atome est d´ecrit de fac¸on classique, il n’y a pas de fonction d’ondehhexterneii. Si par contre le mou-vement externe de l’atome est quantifi´e, l’on se sert par exemple deshh´equations de BLOCHoptiques g´en´eralis´eesiiou deshhfonctions d’onde Monte Carloii. Ces approches ne sont pas n´ecessaires ici parce qu’en n´egligeant l’´emission spontan´ee, il est justifi´e de d´ecrire l’atome par une fonction d’onde (un
hh´etat purii).
26 Introduction g´en´erale consid´ererons une onde ´evanescente stationnaire avec une faible composante contra-propageante. Le potentiel dipolaire contient alors une partie avec une modulation spa-tiale, superpos´ee sur un potentiel non modul´e. L’approche perturbative consiste `a trai-ter la partie modul´ee du potentiel comme une perturbation, dans l’approximation de BORN `a partir d’ondes d´eform´ees. Il s’av`ere que le point de rebroussement de l’atome ne pr´esente pas de probl`eme lorsque l’on prend les fonctions d’ondes exactes pour la r´eflexion sp´eculaire comme point de d´epart dans le d´eveloppement perturbatif : celles-ci varient en effet de fac¸on r´eguli`ere autour du point de rebroussement.
Les r´esultats principaux de la th´eorie de diffraction perturbative sont les suivants : d’une part, dans le r´egime semi-classique et au voisinage de l’incidence normale, il suffit d’une onde ´evanescente avec une faible composante stationnaire pour ex-citer les premiers ordres de diffraction non sp´eculaires. L’onde atomique pr´esente donc une grande sensibilit´e aux variations spatiales du potentiel dipolaire du miroir
`a atomes. D’autre part, dans la direction perpendiculaire `a la surface du miroir, la diff´erence du vecteur d’onde de l’onde atomique diffract´ee par rapport `a une r´eflexion sp´eculaire, est au plus de l’ordre de la constante de d´ecroissance caract´eristique de l’onde ´evanescente. Ceci implique que dans le r´egime semi-classique, la compo-sante normale du vecteur d’onde atomique est quasiment conserv´ee, `a une r´eflexion sp´eculaire pr`es. Par cons´equent, le potentiel dipolaire ne peut transf´erer le vecteur d’onde n´ecessaire `a la conservation de l’´energie en incidence oblique et rasante, et la diffraction devient alors inefficace.
Mais le physicien voudra aller plus loin que l’approximation de BORN qui est li-mit´ee au calcul des premiers ordres de diffraction non sp´eculaires. Nous mettrons ici en relief deux parmi les quatre approches que nous pr´esentons `a cet effet : l’hh approxi-mation du r´eseau de phase minceii(chapitre 8) et lahhdiffraction assist´ee par structure interneii(chapitre 11).
L’approximation du r´eseau de phase mince est d´evelopp´ee au chapitre 8. Elle s’appuie sur le fait que les exp´eriences de miroir `a atomes se situent g´en´eralement dans le r´egime semi-classique o`u la longueur d’onde atomique est faible devant les
´echelles caract´eristiques du potentiel.7 Nous choisissons alors une position de d´epart diff´erente : au lieu de r´esoudre l’´equation de SCHRODINGER¨ , nous nous plac¸ons dans la limite semi-classique de la formulation de la m´ecanique quantique dans l’int´egrale de FEYNMAN[69, 70, 71, 72]. La phase de la fonction d’onde s’obtient alors au moyen de l’int´egrale d’action8 que l’on calcule le long d’une trajectoire classique. Cette ap-proche g´en´eralise l’approximation BKW `a un nombre arbitraire de dimensions. En
op-7Nous voudrions souligner que dans l’approximation du r´eseau de phase mince, l’extension du r´eseau n’est pas faible devant la longueur atomique, bien que le qualificatifhhminceiipuisse le sugg´erer.
Le contraire est le cas, ´etant donn´e que l’on se place dans le r´egime semi-classique. C’est la forme des trajectoires classiques dans le r´eseau qui d´etermine si celui-ci esthhminceii.
8L’int´egrale d’action est une quantit´e emprunt´ee au formalisme lagrangien de la m´ecanique classique dont nous rappelons les principes au chapitre 1.2.1. Dans ce contexte, les trajectoires classiques sont d´etermin´ees par un principe variationnel, lehhprincipe de moindre actionii: ce sont elles qui minimisent l’action.
27 tique lumineuse, une approche analogue correspond `a l’optique g´eom´etrique9, o`u l’on calcule la phase du champ lumineux `a l’aide du chemin optique le long des rayons g´eom´etriques. A partir de ce cadre th´eorique, nous d´eveloppons une approche bative o`u ce n’est pas la fonction d’onde qui fait l’objet d’un d´eveloppement pertur-batif, comme dans l’approximation de BORN, mais plutˆot sa phase. L’on peut alors interpr´eter la diffraction de l’onde atomique par une modulation de phase spatiale que lui impose le r´eseau de diffraction. Pour une amplitude de modulation de phase plus grande que l’unit´e, plusieurs ordres sont pr´esents dans la figure de diffraction.
En optique lumineuse, une approche ´equivalente est utilis´ee pour la diffraction par des r´eseaux de phase minces, et c’est pour cette raison que nous avons choisi le nom d’hh ap-proximation du r´eseau de phase minceii. Comme l’a montr´e C. COHEN-TANNOUDJI
[71, 72], cette approximation peut servir de fac¸on plus g´en´erale `a calculer le d´ephasage de la fonction d’onde atomique lorsque l’atome est soumis `a un potentiel faible, un probl`eme qui se pose fr´equemment dans l’interf´erom´etrie. La physicienne des surfaces connaˆıtra une approximation ´equivalente sous le nom dehhtrajectory approximationii, dont les premiers traces remontent `a J. L. BEEBY [73] et qui a ´et´e d´evelopp´ee dans les groupes de A. C. LEVIde l’Universit´e de Genova (Italie) [74], de P. TOENNIESdu Max-Planck-Institut f¨ur Str¨omungsforschung `a G¨ottingen (Allemagne) [75], de D. M.
NEWNSde l’Imperial College `a London (Grande-Bretagne) [76] et de W. BRENIGde l’Universit´e Ludwig Maximilian `a M¨unchen (Allemagne) (voir [77]).
Au chapitre 11, nous ferons appel `a la structure interne de l’atome pour interpr´eter la diffraction d’atomes en incidence rasante. Historiquement, il s’agit l`a de la premi`ere approche exp´erimentale `a la diffraction, et nous devons confronter la th´eorie aux ob-servations exp´erimentales des groupes de W. ERTMER `a Bonn et de V. LORENT `a Paris-Nord [12, 13]. L’approche du potentiel dipolaire se trouve en difficult´es pour expliquer la diffraction en incidence rasante, parce qu’elle interdit, `a cause de la quasi-conservation de la composante normale du vecteur d’onde atomique, les transferts de vecteur d’onde entre les ordres de diffraction qui sont impos´es par la conservation de l’´energie. Nous pr´esentons donc des th´eories de diffraction alternatives qui ont ´et´e d´evelopp´ees pour le cas de l’incidence rasante par R. DEUTSCHMANN, W. ERTMER
et H. WALLISde l’Universit´e de Bonn [78, 79]. En comparant la th´eorie aux observa-tions exp´erimentales, nous soulignons que la diffraction est seulement possible si elle fait intervenir des transitions entre les sous-niveaux magn´etiques de l’´etat fondamental atomique. Une telle conclusion a d´ej`a ´et´e pr´esent´ee par le groupe de C. M. SAVAGE
de l’Universit´e Nationale d’Australie (Canberra), moyennant une solution num´erique de l’´equation de SCHRODINGER¨ d´ependante du temps [80, 81].
9Nous utiliserons dans ce m´emoire la notion d’hhoptique g´eom´etriqueiidans un sens un peu large, en y incorporant la notion de la phase du champ lumineux. Le long d’un rayon de l’optique g´eom´etrique habituelle, la phase est donn´ee par le chemin optique, en divisant par la longueur d’onde lumineuse.
28 Introduction g´en´erale