L’approximation du r´eseau de phase mince
8.1 Diffraction de la lumi`ere par un objet de phase
Consid´erons la diffraction d’une onde lumineuse par un objet de phase dont l’indice de r´efraction varie dans l’espace (voir la figure 8.1) et plac¸ons-nous dans le point de vue de l’optique g´eom´etrique. Lorsqu’un rayon lumineux traverse l’objet, la variation de l’indice a deux effets : d’une part, le chemin optique le long du rayon est modifi´e, et d’autre part, le rayon s’´ecarte de sa direction initiale parce qu’il y a un gradient de l’indice. La modification du chemin optique donne le d´ephasage du champ lumineux apr`es la travers´ee de l’objet, et l’on obtient la figure de diffraction dans le champ lointain en prenant la transform´ee de FOURIER du champ lumineux d´ephas´e.
Si l’objet de phase a une ´epaisseur faible, les rayons lumineux s’´ecartent peu de leur direction initiale `a l’int´erieur de l’objet de phase. Dans ce r´egime, la phase du champ lumineux peut ˆetre calcul´ee le long des rayons rectilignes que la lumi`ere suivrait en absence de l’objet. La modification du chemin optique s’obtient alors simplement en accumulant la variation de l’indice `a travers l’objet, le long de la direction de l’onde lumineuse incidente. Ce r´egime est habituellement appel´e celui du r´eseau de phase mince ou encore de l’hologramme mince. Ses conditions de validit´e sont quelque peu floues dans la litt´erature. Dans ce m´emoire, nous allons utiliser le terme approximation du r´eseau de phase mince pour l’approximation qui consiste `a calculer la phase du champ lumineux le long des rayons que la lumi`ere suivrait si la modulation d’indice n’existait pas.
R´eseau de phase mince 173
n ( r )
z
x δ φ
Figure 8.1: Diffraction d’une onde lumineuse par un objet de phase.
Pour fixer les id´eees, ´etudions un r´eseau de phase dont l’indice varie de fac¸on sinuso¨ıdale dans la directionOx, avec une p´eriodeaet une amplitude de variationδn, et soite l’´epaisseur du r´eseau dans la direction Oz (voir la figure 8.2). Lorsque une onde lumineuse traverse le r´eseau en incidence normale (parall`ele `a la directionOz), elle accumule un d´ephasage∆ϕ(x)qui est modul´e lui aussi de fac¸on sinuso¨ıdale, avec une amplitude de modulationuoptdonn´ee par
uopt =kLe δn (8.1)
o`ukLest le (module du) vecteur d’onde optique dans le vide. Le champ lumineux est donc spatialement modul´e en phase, ce qui implique que les intensit´esIn des ordres de diffraction sont donn´ees par les fonctions de BESSEL:
In=IincJn2(uopt) (8.2)
o`u Iinc est l’intensit´e incidente. La figure de diffraction est caract´eris´ee par le pa-ram`etreuopt que l’on appelle indice de modulation. Elle pr´esente des bandes lat´erales faibles si l’indice de modulation est petit devant l’unit´e. Dans ce r´egime, nous pou-vons ´egalement obtenir la figure de diffraction `a l’aide d’une approche perturbative, analogue `a l’approximation de BORN. L’int´erˆet de l’approximation du r´eseau de phase mince est qu’elle permet aussi de d´ecrire le r´egime d’une modulation de phase forte o`u l’indice de modulationuoptest grand devant l’unit´e. Dans ce qui suit, nous allons nous concentrer sur ce r´egime. Un certain nombre d’ordres sup´erieurs apparaissent alors de fac¸on sym´etrique de part et d’autre de l’ordre sp´eculaire dans la figure de diffraction.
Les propri´et´es des fonctions de BESSEL impliquent que le nombre des ordresnmaxqui
174 Diffraction
z
x
∆θmax
e
a / 2
R+ R −
∆ x max zcau
Figure 8.2: Rayons lumineux dans un r´eseau de phase sinuso¨ıdal.
sont pr´esents dans la figure de diffraction est de l’ordre denmax≃uopt. Pour cet ordre, l’angle de diffraction vaut∆θmax, avec2
∆θmax = λL
a nmax≃ 2πe δn
a . (8.3)
Cet angle est faible pour la diffraction par une onde acoustique, par exemple, parce que l’amplitude de variation de l’indiceδnest g´en´eralement tr`es inf´erieure `a l’unit´e.
Etudions `a l’aide de cet exemple les conditions sous lesquelles l’approximation du r´eseau de phase mince est valable. La figure 8.2 montre un rayon lumineux qui est d´evi´e de l’angle ∆θmax par le gradient d’indice (le rayon hhR+ii). Dans la direction Ox, il s’est d´eplac´e d’une distance∆xmaxapr`es avoir travers´e l’´epaisseuredu r´eseau, avec ∆xmax = etan ∆θmax. Nous obtenons une condition n´ecessaire pour la validit´e de l’approximation du r´eseau de phase mince, en demandant que ce d´eplacement soit faible devant la p´eriodeadu r´eseau :
∆xmax
a = e
atan ∆θmax≪1. (8.4)
2Du point de vue de l’optique g´eom´etrique, la d´eviation angulaire maximale correspond `a un rayon lumineux qui traverse le r´eseau de phase aux positions o `u le gradient d’indice est maximal. Comme le rayon de courbure du rayon est ´egal `a l’inverse du gradient d’indice,ρc≃a/2πδn, l’angle de d´eviation du rayon est de l’ordree/ρc ≃2πe δn/aidentique `a (8.3). Le maximum de la figure de diffraction `a cet angle est appel´e unhharc-en-cielii[107, 74].
R´eseau de phase mince 175 En utilisant l’expression (8.3) pour l’angle de d´eviation maximal∆θmax, cette condi-tion est remplie dans le r´egime caract´eris´e par
2πe2δn
a2 ≪1. (8.5)
(Pour all´eger les formules, nous avons suppos´e que l’angle maximal∆θmaxest faible.) Ce r´egime impose une limite sup´erieure `a l’´epaisseure du r´eseau, en-dessous de la-quelle l’approximation du r´eseau de phase mince est valable.
Cependant, nous voyons dans la figure 8.2 que derri`ere le r´eseau, le rayon lumineux
hhR+iicroise un autre rayonhhR−ii. Ce rayon a travers´e le r´eseau une demi-p´eriode plus loin dans la directionOxet a ´et´e d´evi´e par l’angle−∆θmax. Les deux rayons se croisant
`a une distancezcau =a/(4 tan ∆θmax). A cette position apparaˆıt une caustique dans le champ lumineux et l’optique g´eom´etrique n’y est plus valable. Mais, si la caustique se trouve loin derri`ere le r´eseau de phase, l’on peut se servir des rayons g´eom´etriques pour calculer le champ lumineux jusqu’`a une surface situ´ee entre le r´eseau et la caustique.
A partir de cette surface, le principe de HUYGHENS–FRESNEL permet de propager le champ vers l’infini, et l’on trouve ainsi la figure de diffraction. La condition que la caustique se trouve loin derri`ere le r´eseau s’´ecrit
zcau
e = a
4etan ∆θmax ≫1, (8.6)
et en comparant au crit`ere (8.4), nous constatons que, `a un facteur num´erique pr`es, cette condition est ´equivalente `a un d´eplacement∆xmax du rayon lumineux petit devant la p´eriodeadu r´eseau.
L’´equivalence entre les conditions (8.4) et (8.6) est un peu surprenante, car tandis que (8.4) est n´ecessaire pour la validit´e de l’approximation du r´eseau de phase mince o`u l’on calcule la phase du champ lumineux le long des rayons rectilignes, la condition (8.6) caract´erise la validit´e de l’optique g´eom´etrique qui calcule la phase du champ lu-mineux le long deshhvrais iirayons lumineux qui sont courb´es par le gradient d’indice.
Physiquement, il paraˆıt ´evident que cette derni`ere approche permet d’obtenir une des-cription plus pr´ecise du champ lumineux, et ceci implique que l’approximation du r´eseau de phase mince doit ˆetre sujette `a une condition de validit´e suppl´ementaire qui soit plus restrictive que la condition (8.4). Nous concluons donc que la condition d’un d´eplacement du rayon lumineux faible devant le pas du r´eseau,∆xmax≪a, caract´erise la validit´e de l’optique g´eom´etrique, mais non pas la validit´e de l’approximation du r´eseau de phase mince. Il s’agit certes d’une condition n´ecessaire, mais non pas suffi-sante.
Nous verrons dans la suite de ce chapitre que l’approximation du r´eseau de phase mince peut ´egalement s’utiliser en optique atomique, et nous mettrons en ´evidence ses conditions de validit´e de fac¸on plus pr´ecise dans ce contexte-l`a.
176 Diffraction