Quantification du mouvement avec l’int´egrale de F EYNMAN Le point de vue habituel

Dans la formulation habituelle de la m´ecanique quantique, l’on introduit la fonction d’ondeψ(x, t)de la particule, qui donne l’amplitude de probabilit´e pour que la parti-cule se trouve `a l’instantt `a la positionx. La fonction d’onde satisfait `a une ´equation d’ondes, l’´equation de SCHRODINGER¨

i¯h ∂tψ(x, t) = ˆH(x,−i¯h∂x)ψ(x, t), (1.47) dans laquelle on obtient l’op´erateur HamiltonienHˆ en remplac¸ant l’impulsionp par l’op´erateur diff´erentiel−i¯h∂_x.

L’int´egrale de chemins

R. P. FEYNMAN a donn´e une formulation alternative de la m´ecanique quantique `a l’aide de l’int´egrale de chemins : l’on consid`ere l’amplitude de probabilit´e de trouver une particule `a l’instanttf `a la positionxf, ´etant donn´ee que la particule ´etait `a l’instant ti `a la position xi bien d´efinie. Cette amplitude, que nous notonsG(xf, tf|xi, ti), est une solution `a l’´equation de SCHRODINGER¨ avec la condition que la particule est initialement localis´ee `a une position donn´ee. L’on appelle G(xf, tf|xi, ti) ´egalement le propagateur. R. FEYNMAN l’´ecrit sous la forme [69, 71, 72]

G(xf, tf|xi, ti) =

o`u S[x(t)] est l’action classique introduite `a l’´equation (1.35), et le symbˆoleD[x(t)]

signifie une int´egration sur^hhtoutes les trajectoires classiques qui satisfont aux condi-tions initiales et finalesx(ti) =xi, x(tf) =xfⁱⁱ. Il n’est pas du tout ais´e de donner une formulation math´ematique pr´ecise pour cette int´egrale⁹, mais nous n’allons pas entrer dans les d´etails.¹⁰

La limite semi-classique du propagateur

Le point de vue de FEYNMAN rend particuli`erement transparente la limite semi-classique, o`u l’actionS[x(t)]varie rapidement `a l’´echelle de la constante de PLANCK

¯

h. Pour la plupart des trajectoires, les facteurs de phase exp (iS[x(t)]/¯h) interf`erent alors de fac¸on d´estructive, et il ne reste plus que les contributions des trajectoires

9Dans la pratique, l’on d´ecoupe l’intervalle[ti, tf]enN morceaux de mˆeme longueur et consid`ere des trajectoires qui sont rectilignes sur chaque morceau. La diff´erentielle de l’int´egrale dans (1.48) devient alorsdx1. . .dxN, et l’on peut l’´evaluer. C’est `a la fin du calcul que l’on prend la limiteN → ∞.

10Dans un sens, R. FEYNMANa r´etabli dans le monde quantique l’^hh´egalit´e entre les trajectoiresⁱⁱ: elles contribuent toutes de la mˆeme fac¸on au propagateurG(xf, tf|xi, ti); dans le monde classique, par contre, r`egne le^hhfavoritismeⁱⁱprivil´egiant l’unique trajectoire qui minimise l’action.

47 qui rendent stationnaire la phase S[x(t)]/¯h. Par le principe de moindre action, ce sont donc les trajectoires classiques xcl(t) qui dominent l’amplitude de probabilit´e dans la limite semi-classique. Il est alors possible de calculer la phase du propagateur G(xf, tf|xi, ti)par le moyen de l’int´egrale d’action

o`u xcl(t) est la trajectoire classique qui relie les positionsxi et xf. Du point de vue quantique, la valeur de l’action pour la trajectoire classique d´etermine donc une quan-tit´e importante, la phase de la fonction d’onde. Rappelons que dans le contexte de la m´ecanique classique, la valeur num´erique de l’action n’avait pas d’importance, elle servait seulement `a formuler les principes variationnels.

Plusieurs am´eliorations de l’expression (1.49) pour le propagateur semi-classique ont ´et´e ´etudi´ees. Notons d’abord que (1.49) fut d´ej`a donn´e par J. H.VAN VLECK en 1928 [70], bien avant que FEYNMAN ne formulˆat son int´egrale. Ensuite, il est possible que plusieurs trajectoires classiques existent qui rendent la phase stationnaire ; leurs facteurs de phaseexp iϕcl interf`erent alors dans l’amplitude de probabilit´e finale. Fi-nalement, la phase du propagateur doit ˆetre corrig´ee par des multiples deπ/2lorsque l’ensemble des trajectoires classiques contient des^hhcaustiquesⁱⁱ, c’est-`a-dire des points de convergence ou des lignes et surfaces d’accumulation [89, 70]. Dans le cas d’une seule dimension spatiale, ceci revient `a la formule de raccordement de l’approximation BKW autour d’un point de rebroussement classique.¹¹

Exemple. Calculons l’action pour une particule dans le champ de pesanteur. Le po-tentiel dans le Lagrangien vaut alorsV(x) = Mgx. En utilisant la solution g´en´erale pour la trajectoire classique

xcl(t) =xi+v0(t−ti)−¹₂g(t−ti)², (1.50) o`u xi et v0 sont la position et la vitesse initiale, l’int´egrale d’action (1.35) donne le r´esultat suivant, apr`es avoir effectu´e deux int´egrations

S[xcl(t)] = +M 6g

h(v0−g(tf −ti))³−v₀³ⁱ

−Mg^hxi(tf −ti) + ¹₂v0(tf −ti)²−¹6g(tf −ti)³ⁱ. (1.51) Dans cette expression, la vitesse initialev₀ est fix´ee par les positions initiale et finale :

v0 = xf −xi

tf −ti − g(tf −ti)

2 . (1.52)

11A. MESSIAH, M´ecanique Quantique, nouvelle ´edition (1995), t. I, chap. VI,§9.

48 Atome `a un niveau Nous pouvons aussi faire un calcul alternatif et utiliser la conservation de l’´energie.

L’action se simplifie alors comme `a l’´equation (1.43), et il ne reste plus qu’une seule int´egrale `a calculer.¹²Nous trouvons alors

S[xcl(t)] = +M 3g

h(v0−g(tf −ti))³−v₀³ⁱ

−^h1₂Mv₀²+Mgxi

i(tf −ti). (1.53) Les deux m´ethodes donnent ´evidemment le mˆeme r´esultat final pour l’action. Nous concluons que l’on a le choix entre plusieurs formulations ´equivalentes de l’action, qui dans la pratique conduisent `a des calculs plus ou moins complexes.

Le cas d’une onde plane incidente

Consid´erons le cas d’une particule qui, `a l’instant ti, est d´ecrite par une onde plane avec un vecteur d’onde ki bien d´efini. Par le principe de superposition, sa fonction d’onde `a la positionx_f `a l’instantt_f est donn´ee par

ψ(xf, tf) = G(xf, tf|ki, ti)≡

Z

dxiG(xf, tf|xi, ti) exp ikixi. (1.54) En cherchant de nouveau la condition de phase stationnaire pour cette int´egrale, nous trouvons

Or, la d´eriv´ee de l’action par rapport `a la coordonn´ee initiale est reli´ee `a l’impulsion initiale [voir (1.43)], de sorte que la phase est stationnaire pour la trajectoire classique dont l’impulsion initiale vautp(ti) = ¯hki. La phase de l’amplitude de probabilit´e finale vaut donc

ϕcl =kixcl(ti) + 1

¯

hS[xcl(t)], (1.56) o`u le premier terme correspond `a la phase de l’onde plane incidente `a la position ini-tiale de la trajectoire classique. La phase (1.56) est identique `a l’actionS2/¯hque nous avons introduite pour une impulsion initiale donn´ee [l’´equation (1.45)].

Exemple. Calculons le d´ephasage pour la r´eflexion par un potentiel ^hh semi-harmoniqueⁱⁱ, c’est-`a-dire une barri`ere de potentiel parabolique (voir la figure 1.4)

V(x) = ¹₂Mω²x², x <0. (1.57) Pour d´efinir le d´ephasage∆ϕ `a la r´eflexion, nous consid´erons une onde incidente dans la r´egion asymptotique x → +∞ avec le vecteur d’onde−k<sub>i</sub> et l’´energie E<sub>i</sub>. Apr`es

12Cette int´egrale,R

p(x) dx, se calcule mˆeme sans qu’il soit n´ecessaire de connaˆıtre la trajectoire classique en fonction du temps.

49

x V(x)

x = 0 x_reb

E_i

Figure 1.4: R´eflexion d’une particule par un potentiel semi-harmonique.

r´eflexion par la barri`ere, elle se trouve de nouveau dans la r´egion asymptotique, et son vecteur d’onde a chang´e de signe. Nous d´efinissons le d´ephasage `a la r´eflexion par le comportement asymptotique suivant pour la fonction d’onde totale

x→+∞: ψ(x, t)∝^he^−ikix−e^{i(kix+∆ϕ)i}e^−iEit/¯h. (1.58) Le d´ephasage∆ϕdonne la correction de phase par rapport `a une r´eflexion instantan´ee

`a la positionx = 0. Dans la limite semi-classique, nous trouvons donc le d´ephasage

∆ϕen ´ecrivant la phaseϕcl de l’onde r´efl´echie de la fac¸on suivante

x_f →+∞: ϕ_cl =Mv_ix_f/¯h+ ∆ϕ−π−E_i(t_f −t_i)/¯h, (1.59) o`uvi = ¯hki/M est la vitesse incidente et le d´ephasageπcorrespond `a la r´eflexion par une barri`ere infinie `ax = 0 [voir (1.58)]. Nous nous servons de la conservation de l’´energie pour calculer l’action. En comparant (1.45) et (1.59), nous constatons qu’il ne reste plus que l’action r´eduite (1.44) `a calculer. Int´egrons-la par parties pour trouver

(−Mvi)xi+

Z

dx p(x) =Mvixf +

tf

Z

ti

dt xcl(t) d

dxV[xcl(t)], (1.60) parce que l’impulsion de la particule r´efl´echie tend versp(tf) = Mvi dans la r´egion asymptotique. Nous voyons donc apparaˆıtre la phase de l’onde r´efl´echie,Mvixf, de sorte que le d´ephasage est simplement donn´e par l’int´egrale suivante o`u intervient la force agissant sur la particule :

∆ϕ=π+ 1

¯ h

tf

Z

ti

dt xcl(t) d

dxV[xcl(t)]. (1.61)

50 Atome `a un niveau Dans le demi-potentiel harmonique, la trajectoirexcl(t)est donn´ee par

t₀ < t < t₀ +π/ω : x_cl(t) =−v_i

ω sinω(t−t₀), (1.62) o`ut0est l’instant o`u l’atome entre dans la barri`ere de potentielx <0. Par cons´equent, l’int´egrale (1.61) pour le d´ephasage devient

∆ϕ=π+ Mω²

Pour interpr´eter l’ordre de grandeur du d´ephasage, nous notons que la particule rebrousse chemin dans la barri`ere de potentiel `a la position x_reb = −v_i/ω. Le d´ephasage (1.63) est donc de l’ordre de la phaseMvixreb/¯hqui correspond au mou-vement libre jusqu’au point de rebroussement `a la vitesse incidente.

Pr´efacteur de l’amplitude de probabilit´e semi-classique

Pour finir, donnons la normalisation de l’amplitude de probabilit´eG(xf, tf|ki, ti)dans la limite semi-classique. Nous nous servons `a cet effet d’un argument compl`etement classique : dans la limite semi-classique la quantit´e |G(x_f, t_f|k_i, t_i)|² donne en effet la probabilit´e pour que la particule arrive `a la position finale xf. Or, le nombre de particules qui arrivent `a xf, `a dxf pr`es, est ´egal au nombre de particules qui sont parties de la positionx_i = x_cl(t_i), `adx<sub>i</sub> pr`es. Comme la densit´e spatiale dans l’onde plane incidente est uniforme, la normalisation de l’amplitude semi-classique est donc la suivante¹³ Notons que l’on obtient un r´esultat similaire dans l’optique g´eom´etrique¹⁴: le flux d’´energie lumineuse ∝ n|E|²dΣ d’un ^hhpinceauⁱⁱ de rayons g´eom´etriques avec une section dΣ est conserv´e le long des rayons, de sorte que l’amplitude E du champ lumineux varie comme(ndΣ)^−1/2.

Exemple. La barri`ere semi-harmonique permet de calculer explicitement le pr´efacteur dans (1.64) : consid´erons `a cet effet une particule qui part `a l’instantt<sub>i</sub> de la r´egion asymptotiquexi →+∞et se trouve `a l’instanttf dans la barri`ere de potentiel xf <0. Les positionsxi etxf v´erifient alors les ´equations

xi = −vi(ti−t0), (1.65a)

xf = −vi

ω sinω(tf −t0) (tf −t0 < π/ω). (1.65b)

13En un nombre plus ´elev´e de dimensions, le rapport∂xi/∂xf dans (1.64) devient le^hhd´eterminant deVANVLECKⁱⁱdet∂ri/∂rf =−det∂²S/∂rf∂pi[70].

14M. BORNet E. WOLF, Principles of Optics, 6e ´edition, chap. 3.1.2.

51 La deuxi`eme ´equation (1.65b) permet d’exprimer l’instantt0 en fonction dexf, tf et vi. En reportant la solution dans l’expression pour la position initialexi, nous pouvons calculer sa d´eriv´ee par rapport `axf, ce qui donne

∂xi

∂xf

= −1

q1−(ωxf/vi)² = −1

q1−(xf/xreb)² (1.66) Nous retrouvons ici le r´esultat bien connu que l’expression semi-classique pour la fonction d’onde diverge au point de rebroussement xreb, comme c’est le cas pour l’approximation BKW, par exemple. En effet, nous pouvons encore ´ecrire le pr´efacteur (1.66) comme

∂xi

∂xf

= vi

v(xf), (1.67)

ce qui donne avec (1.64) la normalisation famili`ere de la fonction d’onde de l’approximation BKW.

Remarque. Le r´esultat (1.67) est valable pour un potentiel quelconque. Pour le d´emontrer, il suffit de choisir l’instant t₀ au voisinage de t_i. La position finalex_f est donn´ee par la trajectoire classiquex_cl(t_f)et d´epend en fait seulement de la diff´erence t_f−t₀parce que l’origine du temps est arbitraire. La d´eriv´ee∂t₀/∂x_f est alors identique

`a l’inverse de la vitessev(x_f), et (1.67) s’ensuit.

Conclusion

Dans le point de vue de l’int´egrale de chemins de FEYNMAN, l’on peut calculer, dans la limite semi-classique, le propagateur quantique par la m´ethode de la phase station-naire. En vertu du principe de moindre action, ce sont alors seulement les trajectoires classiques qui contribuent `a l’int´egrale. Le long des trajectoires classiques, l’action permet de calculer la phase de la fonction d’onde.

52 Atome `a un niveau