Le potentiel dipolaire

Mise `a part l’approximation r´esonnante, l’´equation de SCHRODINGER¨ (1.11) est une

´equation exacte. Nous allons nous placer dans ce m´emoire dans le r´egime de faible saturation o`u il est justifi´e de la simplifier de fac¸on `a faire disparaˆıtre l’´etat excit´e.

Elimination adiabatique de l’´etat excit´e

Plus pr´ecis´ement, nous supposons que l’´energie d’interaction est faible devant le d´esaccord:

|V_AL(r, t)| ≪h∆.¯ (1.12) Dans l’´equation de SCHRODINGER¨ (1.11), le champ lumineux induit alors un couplage entre les ´etats fondamental et excit´e qui est faible par rapport `a leur s´eparation en

´energie. Pour cette raison, l’on appelle aussi le r´egime (1.12) celui du couplage faible.

L’´equation de SCHRODINGER¨ pour l’´etat excit´e s’´ecrit

i¯h ∂tψ¯e= ˆT ψ¯e−¯h∆ ¯ψe−dE(r) ¯ψg. (1.13) Nous supposons pour l’instant que l’´energie cin´etique est ´egalement faible devant le d´esaccord ¯h∆. (Cette condition sera relax´ee au paragraphe suivant.) L’´elimination adiabatique de l’´etat excit´e que nous allons justifier dans un instant, consiste `a r´esoudre l’´equation (1.13) de la fac¸on suivante :

ψ¯e(r, t)≃ −dE(r)

¯

h∆ ψ¯g(r, t). (1.14) Avec cette solution, l’´evolution de l’´etat excit´e est donc pilot´ee par celle de l’´etat fon-damental. En reportant l’expression pour l’´etat excit´e dans l’´equation de SCHRODIN¨

-GERpour le fondamental, nous obtenons

i¯h ∂_tψ¯_g = ˆT ψ¯_g+V(r) ¯ψ_g. (1.15) Il apparaˆıt ici une ´energie potentielleV(r)donn´ee par

V(r) = d²

¯

h∆|E(r)|². (1.16)

Ce potentiel est l’expression approch´ee du potentiel dipolaire `a la limite de faible satu-ration. On l’appelle ´egalement le d´eplacement lumineux parce qu’il modifie l’´energie de l’´etat fondamental d’un atome ´eclair´e par un champ lumineux. Pour un d´esaccord

37 positif, le potentiel dipolaire V(r) repousse un atome des r´egions de forte intensit´e lumineuse.

Pour justifier la solution adiabatique (1.14), nous notons que l’´equation diff´erentielle (1.13) pour l’´etat excit´e, sans l’´energie cin´etique, admet la solution sui-vante avec la condition initiale que l’amplitudeψ¯e s’annule pourt = ti. Au premier terme dans (1.17), nous retrouvons la solution adiabatique (1.14). Nous pouvons suppo-ser que le deuxi`eme terme s’annule en choisissant l’instant initialti tel que l’atome se trouve alors en dehors du champ lumineux (s’il s’agit d’un paquet d’ondes loca-lis´e), ou bien tel que le champ lumineux lui-mˆeme s’annule. En utilisant l’´equation de SCHRODINGER¨ (1.15) pour l’´etat fondamental, nous constatons que l’int´egrand dans le troisi`eme terme est de l’ordre de [ ˆT +V(r)] ¯ψg/¯h. En int´egrant par parties, nous trouvons que le troisi`eme terme dans (1.17) corrige la solution adiabatique par une quantit´e qui est plus petite par un facteur de l’ordre de[ ˆT+V(r)]/¯h∆. Dans le r´egime de couplage faible (1.12) et d’´energie cin´etique faible devant le d´esaccord, cette cor-rection est donc n´egligeable.

L’effet DOPPLER

Dans le calcul pr´ec´edent, nous avons n´eglig´e l’op´erateur d’´energie cin´etiqueTˆdevant le d´esaccord¯h∆. Cette restriction n’est cependant pas n´ecessaire, et nous pouvons la remplacer par une condition moins forte.

Consid´erons `a cet effet des atomes incidents avec une vitesse v_i et une ´energie cin´etiqueE_i = ¹₂Mv²_i. Nous pouvons choisirE_i comme l’origine de l’´energie. C’est alors seulement le changement de l’´energie cin´etique ∆Ecin qui est pertinente pour estimer l’ordre de grandeur de l’op´erateurTˆ. Supposons qu’un atome dans l’´etat fon-damental interagisse avec une onde plane lumineuse de vecteur d’ondek_L. Lors d’un processus d’absorption, l’onde atomique rec¸oit un transfert de vecteur d’ondek_L, et par cons´equent, l’´energie cin´etique change d’une quantit´e

∆Ecin = ¯h∆D + ¯h²k²_L/2M, (1.18) o`u∆D est donn´e par

∆D =k_L·v_i, (1.19)

ce qui correspond au d´ecalage DOPPLER de la fr´equence lumineuse dans le r´ef´erentiel de l’atome. Avec ce choix de l’origine de l’´energie, l’´elimination adiabatique de l’´etat

38 Atome `a un niveau excit´e est donc justifi´ee si le d´ecalage DOPPLER et la^hhfr´equence de reculⁱⁱ¯hk²_L/2M sont faibles devant le d´esaccord

¯ hk²_L

2M,|∆D| ≪∆. (1.20)

La condition la plus stricte portera g´en´eralement sur le d´ecalage DOPPLER. Le suivi adiabatique

Lorsqu’un atome est en mouvement dans un champ lumineux inhomog`ene, il faut que l’amplitude de probabilit´eψ¯<sub>e</sub>(r, t)s’<sup>hh</sup>adapte<sup>ii</sup>au profil du champE(r), pour que la re-lation (1.17) soit toujours satisfaite. L’on peut s’attendre `a ce que ceci soit le cas pour une vitesse atomique faible, et l’on parle alors d’un ^hhsuivi adiabatiqueⁱⁱ de l’atome sur la courbe de potentiel donn´ee par le d´eplacement lumineux de l’´etat fondamental.

Notons que c’est seulement dans ce r´egime que nous pouvons consid´erer le potentiel dipolaire comme une ´energie potentielle. Pour une vitesse trop grande, l’´etat atomique peut^hhd´ecrocherⁱⁱ, et l’atome passe alors sur une autre courbe de potentiel qui est as-soci´ee `a l’´etat excit´e. Nous donnons ici une estimation pour la probabilit´e de transition non adiabatique.

Introduisons `a cet effet les <sup>hh</sup>niveaux habill´es<sup>ii5</sup>, c’est-`a-dire les valeurs propres de la matrice de couplage (1.4). Pour un couplage faible, ils sont donn´es par (voir la figure 1.2)

La valeur propre V1(r) est identique au potentiel dipolaire (1.16) pour l’´etat fonda-mental. Le niveau d’´energieV2(r)est proche de l’´etat excit´e. Nous notons qu’il attire l’atome vers les r´egions de haute intensit´e lumineuse (si le d´esaccord∆est positif).

Les ´etats habill´es |1,ri, |2,riassoci´es aux niveaux d’´energieV1,2(r)sont donn´es par, au premier ordre en perturbations,

|1,ri=|gi − dE(r)

o`u nous retrouvons, aux amplitudes de l’´etat habill´e|1,ri, la relation (1.14) qui permet d’´eliminer l’´etat excit´e. Nous nous int´eressons ici au ^hhcouplage non adiabatique ⁱⁱ de

5Nous utilisons ici la notion de niveau habill´e dans un sens large. A l’origine, elle a ´et´e introduite par C. COHEN-TANNOUDJIen tenant compte de la quantification du champ lumineux (voir par exemple [28]).

39

h ∆ etat g

etat e E

V₁(r)

V₂(r) etat 1,r

etat 2,r

E = 0

E = − h∆

forte intensite faible intensite

Figure 1.2: Niveaux habill´es pour un atome `a deux niveaux. L’intensit´e lumineuse augmente de la droite vers la gauche.

40 Atome `a un niveau l’´etat |1,ri vers l’´etat |2,ri induit par le mouvement d’un atome `a la vitesse v. Ce couplage est caract´eris´e par la fr´equenceΩn.ad., avec

Ωn.ad. =h2,r|v·∇|1,ri=−(v·∇)dE(r)

¯

h∆ . (1.23)

La probabilit´e de transition non adiabatiquewn.ad. est n´egligeable si la fr´equence de couplage Ωn.ad. est faible devant la s´eparation en fr´equence des niveaux habill´es.⁶ Dans le r´egime du couplage faible, les niveaux sont approximativement s´epar´es par le d´esaccord∆, de sorte que l’estimation donn´ee par A. M^ESSIAH implique

wn.ad. ≤ max|Ωn.ad.|

Nous avons estim´e le gradient du champ ´electrique E(r) par kLE(r), o`u kL est le vecteur d’onde optique.

Nous concluons de (1.24) que le suivi adiabatique est assur´e, wn.ad. ≪ 1, dans la limite de faible saturation (1.12) et si la vitesse atomiquev est au plus de l’ordre de

∆/kL.

Remarque. Puisque le potentiel dipolaire (1.16) est ind´ependant du temps, l’´energie de l’atome est conserv´ee lors de son interaction avec le champ lumineux. Ceci peut surprendre parce que c’est seulement l’´energie du syst`eme total, <sup>hh</sup>atome+champ lu-mineux<sup>ii</sup>, qui est conserv´ee a priori. Nous rappelons `a ce sujet que la force dipolaire est le r´esultat de processus d’absorption et d’´emission de lumi`ere qui sont stimul´es et qui font intervenir un champ lumineux avec une seule fr´equence. Lorsque l’atome absorbe un photon d’un mode du champ et en ´emet un dans le mˆeme ou un autre mode spatial, l’´etat final de l’atome a donc la mˆeme ´energie que l’´etat initial. Ces double processus sont sch´ematis´es sur la figure 1.3.