L’onde ´evanescente

Consid´erons une onde lumineuse plane qui subit une r´eflexion totale interne sur une interface entre le vide et un milieu di´electrique (la figure 2.1). Dans le vide au-dessus de l’interface z = 0, une onde ´evanescente se propage parall`element `a la surface avec une amplitude qui d´ecroˆıt de fac¸on exponentielle en fonction de la distance z.

L’amplitude complexe du champ ´electrique de l’onde ´evanescente est donn´ee par, dans l’approximation scalaire,

z >0 : E(r) =E0 exp (iqx−κz). (2.1) Les composantes du vecteur d’onde lumineux dans le plan d’incidence xOz sont not´ees par q et iκ. L’amplitude E₀ est reli´ee `a l’amplitude du champ incident dans le di´electrique par un coefficient de FRESNEL.

La composanteqdu vecteur d’onde de l’onde ´evanescente est donn´ee par

q=kLndsinθL. (2.2)

59

60 R´eflexion sp´eculaire

n _d

θ _L z

x

onde lumineuse

onde evanescente

Figure 2.1: Dispositif exp´erimental sch´ematique pour le miroir `a onde ´evanescente.

Dans cette expression, k_L ≡ ω_L/c est le module du vecteur d’onde optique dans le vide, nd est l’indice de r´efraction du di´electrique et θL est l’angle d’incidence de l’onde lumineuse, mesur´e par rapport `a l’axe vertical (voir la figure 2.1). Dans la di-rection verticale, l’onde ´evanescente (2.1) a une ^hh´epaisseurⁱⁱ donn´ee par la longueur de d´ecroissance1/κ, avec

κ=kL

q

n²_dsin²θL−1. (2.3)

L’´epaisseur de l’onde ´evanescente est g´en´eralement de l’ordre de la longueur d’onde optique r´eduite λL/2π. Par contre, pour une onde incidente au voisinage de l’angle limite (ndsinθL → 1), κ tend vers z´ero et la profondeur de p´en´etration de l’onde

´evanescente devient grande. La valeur minimale de l’´epaisseur estλL/2π(n²_d−1)^1/2; elle correspond `a une onde lumineuse qui est incidente dans le di´electrique en inci-dence rasante.

2.2 Le potentiel dipolaire

Une onde ´evanescente avec un d´esaccord `a r´esonance ∆positif correspond `a un po-tentiel dipolaire (1.16) r´epulsif avec une forme exponentielle

V(z) =Vmaxe^−2κz, (2.4) dont la valeur maximale `a l’interface (z = 0) est ´egale `a

Vmax= d²|E0|²

¯

h∆ . (2.5)

Comme le potentiel dipolaire V(z) ne d´epend que de la distance z, l’atome est en mouvement rectiligne et uniforme dans dans le plan xOy. Nous pouvons alors nous limiter `a la directionOzpour d´ecrire son mouvement.

Barri`ere de potentiel 61

2.2.1 La condition de r´eflexion

Si nous consid´erons seulement le potentiel dipolaire de l’onde ´evanescente, la hauteur de la barri`ere de potentiel du miroir est donn´ee parVmax, en supposant que les atomes qui atteignent la surface du di´electrique sont alors perdus. La condition de r´eflexion pour le miroir s’´ecrit donc

Ezi ≡ ¹2Mv²_zi≤Vmax, (2.6)

o`u−v_ziest la composante de vitesse incidente le long de la normale au miroir, etE_zi l’´energie cin´etique associ´ee.

Si la condition de r´eflexion (2.6) est satisfaite, l’atome s’approche de l’interface jusqu’`a une distancez_reb, avec

z_reb = 1

2κlogVmax

Ezi

. (2.7)

A cette position se trouve le point de rebroussement de l’atome : sa vitesse s’annule, et sa trajectoire classique est renvers´ee. L’atome redescend ensuite la barri`ere de poten-tiel en reprenant son ´energie cin´etique initiale, pour sortir de l’onde ´evanescente `a la vitessev_zi. Nous pouvons nous attendre `a ce que la r´eflexion a lieu sur une ´echelle de temps de l’ordre de

τint = 1

κv_zi, (2.8)

ce qui sera confirm´e au chapitre 3, o`u nous donnerons la trajectoire classique dans le potentiel dipolaire (2.4) [`a l’´equation (Pha 2)]. Le temps caract´eristique τint est g´en´eralement de l’ordre de la centaine de nanosecondes.

2.2.2 Conditions de validit´e

Nous rassemblons ici les contraintes qu’impose l’approximation d’atome `a un niveau o`u l’interaction avec l’onde ´evanescente est d´ecrite par le potentiel dipolaire.

La condition de r´eflexion ainsi que le r´egime de faible saturation donnent les in´egalit´es suivantes pour le param`etre de saturations(0) `a la surface du di´electrique [voir (1.26)]

La condition de r´eflexion(∗)impose une borne inf´erieure pour l’intensit´eILdu champ lumineux¹, ´etant donn´e que le param`etre de saturations(0)vaut

s(0) = 2d²|E₀|²/¯h²

∆²+ Γ²/4 = I_L/I_sat

1 + 4∆²/Γ², (2.10) avecIsat l’intensit´e de saturation.

1Nous d´efinissons l’^hhintensit´eⁱⁱ de l’onde ´evanescente comme ´etant proportionnelle au carr´e du champ ´electrique.

62 R´eflexion sp´eculaire Pour pouvoir n´egliger l’effet Doppler, il faut que la composante de vitessevxide l’atome parall`ele `a la direction de propagation de l’onde ´evanescente satisfasse

v_xi≪ ∆

q. (2.11)

Cette condition est en fait reli´ee `a la pr´ec´edente (2.9) ce qui apparaˆıt de fac¸on transpa-rente si nous nous plac¸ons dans le r´ef´erentiel de l’atome. A cause de l’effet DOPPLER, la fr´equence de l’onde ´evanescente est r´eduite de∆D =qvxi, de sorte que le d´esaccord devient∆7→∆−∆D. Si maintenant (2.11) est viol´e, l’atome^hhvoitⁱⁱun champ lumi-neux dont la fr´equence s’approche de la r´esonance atomique, si bien que le r´egime de faible saturation est remis en question.

L’hypoth`ese de suivi adiabatique sur le niveau habill´e associ´e `a l’´etat fondamental implique ´egalement une contrainte sur la vitesse atomique parce que les ´etats habill´es dans l’onde ´evanescente d´ependent de la position. Nous tirons de (1.24) l’estimation suivante pour la probabilit´e de transition non adiabatiquewn.ad.:

wn.ad. ≤

qvxi+κvzi

∆

₂ s(0)

2 . (2.12)

Compte tenu de (2.9) (faible saturation) et de (2.11) (d´ecalage DOPPLER n´egligeable), le terme faisant intervenir la composante de vitesse horizontale vxi dans (2.12) est faible devant l’unit´e. Pour la composante normale vzi, nous trouvons donc la limite suivante

vzi ≪ ∆ κ

s 2

s(0). (2.13)

Finalement, nous pouvons n´egliger l’´emission spontan´ee si le temps d’interaction τint(2.8) est suffisamment court de sorte que la probabilit´ew´em.s.≃ ¹₂Γs(0)τint(1.28) est faible. En fait, l’on peut montrer en int´egrant le taux d’´emission spontan´ee le long de la trajectoire classique dans le miroir, quew_´em.s.est donn´ee par²[22, 23]

w´em.s.= Γs(zreb)τint = Mvzi

¯ hκ

Γ

∆, (2.14)

et nous en d´eduisons la limite suivante pour la composante normale de la vitesse : vzi≪ ¯hκ

M

∆

Γ (2.15)

Le r´esultat (2.15) montre que pour une vitesse incidente grande devant la ^hhvitesse de reculⁱⁱ ¯hκ/M (ce qui est g´en´eralement le cas dans l’exp´erience), il est n´ecessaire de

2La probabilit´e d’´emission spontan´ee (2.14) augmente avec la vitesse parce que l’atome entre alors plus profond´ement dans l’onde ´evanescente o `u il est soumis `a un champ lumineux plus intense. Plus pr´ecis´ement, le taux d’´emission spontan´ee au point de rebroussement est donn´e par ¹₂Γs(zreb) ≈ Γ(Ezi/¯h∆), il augmente donc plus vite avecvzique ne d´ecroˆıt le temps d’interactionτint ∝1/vzi.

Barri`ere de potentiel 63

Atome ⁴He^{∗ 20}Ne^{∗ 22}Na ⁸⁵Rb ¹³⁷Cs

λL 1 080 nm 640 nm 589 nm 780 nm 852 nm Γ/(¯hk_L²/2M) 40 340 400 1530 2570

Tableau 2.1: Rapports entre la largeur naturelle Γ et la fr´equence de recul ¯hk_L²/2M (le^hhparam`etre de masseⁱⁱ[91]) pour quelques atomes et transitions utilis´es en optique atomique.

se placer dans le r´egime ∆ ≫ Γ pour que la r´eflexion soit possible avec une faible probabilit´e d’´emission spontan´ee.

La plus restrictive des conditions (2.13) et (2.15) est d´etermin´ee d’une part, par le param`etre de saturation s(0) et d’autre part, par le rapport sans dimension Γ/(¯hκ²/2M). Nous en donnons au tableau 2.1 quelques valeurs pour quelques atomes et transitions fr´equemment utilis´es dans la manipulation d’atomes par laser, en prenant κ= 2π/λL.