La th´eorie cin´ematique

Les ordres de diffraction

Supposons pour commencer que l’onde atomique soit incidente sur le potentiel di-polaire (5.5) dans le plan xOz, comme repr´esent´e `a la figure 7.1. Puisque le poten-tiel dipolaire s’annule dans la r´egion asymptotique loin de la surface du di´electrique, l’onde atomique y est une onde plane. Soient λdB sa longueur d’onde etθi son angle d’incidence, mesur´e par rapport `a la direction normale. Comme le r´eseau est invariant suivant la direction Oy, la composantey de la quantit´e de mouvement atomique est conserv´ee et les ondes diffract´ees se propagent ´egalement dans le planxOz. Comme le potentiel dipolaire du r´eseau de diffraction est ind´ependant du temps, l’´energie est conserv´ee et dans la r´egion asymptotique, l’atome diffract´e a la mˆeme ´energie cin´etique que l’atome incident. La longueur d’onde des ondes diffract´ees vaut donc

´egalement λdB. Nous notons θn l’angle entre l’onde diffract´ee dans l’ordre n et la normale.

Les angles de diffraction θn sont d´etermin´es par la condition que les ondes ato-miques r´efl´echies par le r´eseau interf`erent de fac¸on constructive dans cette direction.

Sur la figure 7.1, nous repr´esentons les ondes atomiques par des fronts d’ondes as-soci´es `a des trajectoires classiques. Pour que l’interf´erence soit constructive, il faut que la diff´erence de marche entre les ondes r´efl´echies par deux p´eriodes voisines du r´eseau soit un multiple entier de la longueur d’onde atomique. Sur la figure 7.1, cette diff´erence de marche correspond `a la diff´erence de ^hhchemin atomiqueⁱⁱ AB −A^′B^′. Nous notons que la p´eriodicit´e du r´eseau implique que les deux trajectoires atomiques (A → CetC^′ → B^′) sont simplement d´ecal´ees l’une par rapport `a l’autre. Pour cal-culer leur diff´erence de marche, on peut donc se placer dans la r´egion asymptotique o`u les trajectoires sont droites.¹ Nous sommes alors ramen´e `a la construction habituelle des angles de diffraction : la diff´erence de marche est donn´ee parCB −A^′C^′ et l’on trouve l’´equation suivante pour l’angleθn

a(sinθn−sinθi) = nλdB, n= 0,±1, . . . (7.1)

1Le fait que les trajectoirs soient courbes `a l’int´erieur du r´eseau n’a donc pas d’influence sur les angles de diffraction.

Approximation deBORN 117

a

θ_i θ_n

a a

A

A’ B

C B’

C’

x z

θ_i θ_n

Figure 7.1: Construction des angles de diffraction.

o`uaest la p´eriode du r´eseau (5.3).

Au lieu de caract´eriser les ordres de diffraction par les angles θn, nous calcu-lons maintenant leurs vecteurs d’onde. Le vecteur d’onde incident a les composantes (kxi,−kzi)dans le plan d’incidence, avec

kxi=kisinθi, kzi =kicosθi. (7.2) Sa composante normale est n´egative parce que l’onde incidente se propage vers le r´eseau de diffraction. Le moduleki du vecteur d’onde incident est reli´e, d’une part,

`a la longueur d’onde de BROGLIE par la relation ki ≡ 2π/λdB. D’autre part, il est proportionnel au modulevi de la vitesse incidente de l’atome, grˆace `a la formule de

DEBROGLIE

¯

hk_i = h λdB

=Mv_i. (7.3)

Les composantes(k_xn, k_zn) des vecteurs d’onde diffract´es sont donn´ees par des ex-pressions analogues `a (7.2) en fonction des anglesθn.

La condition d’interf´erence constructive (7.1) s’´ecrit alors k_xn =k_xi+2πn

a =k_xi+ 2nq, n= 0,±1, . . . (7.4) Dans la direction Ox parall`ele au pas du r´eseau, l’onde atomique diffract´ee rec¸oit donc un transfert de vecteur d’onde ´egal `a un vecteur 2nq du r´eseau r´eciproque du

118 Diffraction

k_xi k_xi + 2q

k_xi + q k_xi − q

k_xi − 2q

E+

E₋ E₊

E₋

Figure 7.2: Interpr´etation de la diffraction `a l’aide de processus d’absorption et d’´emission stimul´ee.

potentiel p´eriodique. Par conservation d’´energie, la composante normale du vecteur d’onde diffract´e vaut

kzn=^qk_zi² −4nq(kxi+nq), n = 0,±1, . . . (7.5) Remarque 1. Dans le r´egime quantique o`u la longueur d’onde de DE BROGLIE est grande devant les ´echelles spatiales du r´eseau, il n’est plus possible d’attribuer des tra-jectoires classiques `a l’onde atomique diffract´ee. L’on pourrait alors remettre en cause la d´emonstration de la figure 7.1. Mais, nous pouvons interpr´eter l’´equation (7.4) de fac¸on compl`etement quantique, en invoquant des processus d’absorption et d’´emission stimul´ee (voir la figure 7.2) : par exemple, lorsque l’onde atomique absorbe un photon de l’onde ´evanescenteE<sub>+</sub>qui se propage dans la direction desxcroissants [voir le champ lumineux (5.1)], elle rec¸oit un transfert de vecteur d’onde+q; l’´emission stimul´ee d’un photon dans l’onde contra-propageanteE−lui communique un autre transfert+q. Apr`es le processus complet, le vecteur d’onde horizontal de l’onde atomique a donc chang´e de +2q, alors que l’´energie (la fr´equence) de l’onde atomique est conserv´ee parce que les deux ondes lumineuses ont la mˆeme fr´equence et que le processus d’´emission est sti-mul´e.

Si nous nous plac¸ons dans un r´ef´erentiel en co-mouvement avec l’atome, l’effet DOPPLERd´eplace les fr´equences des deux ondes lumineuses d’une quantit´e∆_D =qv_xi. L’´energie de l’atome change alors d’une quantit´e2¯h∆_Dapr`es un processus d’absorption et d’´emission stimul´ee. Ce changement d’´energie correspond au terme crois´e (en nq) dans l’expression (7.5) pour le vecteur d’onde diffract´ek_zn. Le dernier terme (enn²q²) dans cette formule repr´esente^hhl’effet de reculⁱⁱqui provient du changement de vitesse de l’atome lors de l’absorption d’un photon.

Remarque 2. Si le plan d’incidence atomique ne se confond pas avec le plan xOz (voir la figure 7.3), il suffit d’ajouter aux expressions (7.4) et (7.5) la conservation de la

Approximation deBORN 119

x y

φ_i

Figure 7.3: Plan d’incidence atomique en dehors du planxOz.

composanteydu vecteur d’onde

k_yn =k_yi, n= 0,±1, . . . (7.6) pour d´eterminer les vecteurs d’onde des ondes diffract´ees. Nous notons que le transfert de vecteur d’onde s’effectue encore le long de la directionOx, la diffraction fait alors sortir l’onde atomique de son plan d’incidence. Les ´equations (7.4) et (7.6) donnent alors les conditions suivantes pour les angles de diffraction(θ_n, φ_n)

a(sinθ_ncosφ_n−sinθ_icosφ_i) = nλ_dB, (7.7a) sinθ_nsinφ_n−sinθ_isinφ_i = 0, (7.7b) o`u les angles φ<sub>i,n</sub> rep`erent le plan d’incidence atomique et le plan de l’onde dif-fract´ee par rapport au planxOz. Ces expressions remplacent la condition d’interf´erence constructive (7.1). Une telle g´eom´etrie de diffraction d’atomes a ´et´e utilis´ee par le groupe de Vincent LORENT`a l’Universit´e de Paris-Nord [13].

La construction d’EWALD

Il est instructif de se repr´esenter les ordres de diffraction `a l’aide de la construction d’EWALD(voir la figure 7.4). A cause de la conservation de l’´energie, le vecteur d’onde atomique incident et les vecteurs d’onde diffract´es se trouvent sur la mˆeme sph`ere.

Comme par ailleurs la composanteydu vecteur d’onde est conserv´ee, on peut se res-treindre `a une coupe circulaire de cette sph`ere. Cette coupe est repr´esent´ee par le cercle de la figure 7.4 dont le rayon vautki. Les composantes horizontaleskxn(7.4) des vec-teurs d’onde diffract´es se trouvent sur un ensemble de lignes verticales ´equidistantes

120 Diffraction

k_x k_z

k_i

k₀ k₋₁

k₊₁

k_i 2q

k_xi

Figure 7.4: La construction d’EWALD pour les ordres de diffraction.

Approximation deBORN 121 de2q qui correspond au r´eseau r´eciproque du potentiel dipolaire p´eriodique. On ob-tient les vecteurs d’onde diffract´es aux points d’intersection entre le cercle et le r´eseau r´eciproque. Nous notons qu’il n’y a qu’un nombre fini d’intersections, le nombre des ordres qui apparaissent dans la figure de diffraction est donc limit´e.

A l’aide de la construction d’EWALD, nous ´etudions maintenant l’influence de la hauteur de la barri`ere de potentiel sur les ordres qui sont accessibles dans la fi-gure de diffraction. Nous rappelons que la vitesse maximalevmaxintroduite dans (5.8) fixe un vecteur d’onde maximalkmax ≡ Mvmax/¯h. La condition de r´eflexion (5.10) correspond alors `a une limite horizontale dans le diagramme d’EWALD: les atomes sont r´efl´echis si leur vecteur d’onde se trouve en-dessous de cette ligne.² Nous nous limiterons au cas o`u le vecteur d’onde maximal kmax est beaucoup plus grand que l’espacement2qentre les ordres.³

Nous pouvons alors distinguer quatre r´egimes diff´erents pour le nombre des ordres accessibles dans la figure de diffraction :

1. Tout d’abord, si le vecteur d’onde incidentkiest inf´erieur au pas ´el´ementaire2q du r´eseau r´eciproque du potentiel, seul l’ordre sp´eculaire existe dans la figure de diffraction, quel que soit l’angle d’incidence (voir la figure 7.5 `a gauche). Les transferts de vecteur d’onde sont alors interdits par la conservation d’´energie.

(En fait, les vecteurs d’onde diffract´eskznsont tous imaginaires de sorte que les ondes diffract´ees ne peuvent se propager dans la r´egion asymptotique au-dessus du r´eseau. De telles^hhondes atomiques ´evanescentesⁱⁱ restent localis´ees dans le r´eseau de diffraction.)

Ce r´egime est difficile `a r´ealiser exp´erimentalement parce que la vitesse inci-dente dans le planxOz doit ˆetre inf´erieure `a¯hq/M, ce qui est de l’ordre de la vitesse de reculhk¯ L/M. Une solution possible est de choisir le planyOzcomme plan d’incidence et d’utiliser l’incidence rasante pour r´eduire les vitesses ato-miques dans les directionsOxetOz.

2. Pour un vecteur d’onde incident ki de l’ordre de quelques q, un petit nombre d’ordres non sp´eculaires apparaissent dans la figure de diffraction, avec de grandes s´eparations angulaires. (Voir la figure 7.5 `a droite.) Comme la longueur d’onde atomique est alors comparable `a la p´eriode du r´eseau, ce r´egime est do-min´e par les effets ondulatoires. Pour une r´ealisation exp´erimentale possible, voir 1.

2En principe, il est possible que l’atome gagne de l’´energie cin´etique pendant qu’il sort du r´eseau de diffraction et que son vecteur d’onde normalkzf soit plus grand quekmax. Mais c’est un probl`eme de la th´eorie dynamique de la diffraction de d´eterminer la valeur maximale dekzf. Pour l’instant, nous allons nous contenter de comparer les vecteurs d’onde diffract´es `akmax.

3Dans les r´ealisations exp´erimentales du miroir `a l’onde ´evanescente, la vitesse maximale vmax

est g´en´eralement grande devant la vitesse de recul¯hkL/M. Comme le vecteur d’onde q de l’onde stationnaire est de l’ordre du vecteur d’onde optiquekL, la conditionkmax≫qest donc g´en´eralement satisfaite.

122 Diffraction

k_x k_z

k_i 2q

k_x k_z

k_i 2q

Figure 7.5: Construction d’EWALD pour une ´energie incidente tr`es basse. A gauche : ki < q. A droite :ki >

∼q.

3. Ensuite, pour un vecteur d’onde incident ki beaucoup plus grand que q, mais inf´erieur au vecteur d’onde maximal kmax, un grand nombre d’ordres est ac-cessibles, ind´ependamment de l’angle d’incidence (voir la figure 7.6). Cette si-tuation est g´en´eralement r´ealis´ee dans les exp´eriences de r´eflexion d’atomes en incidence normale. La s´eparation angulaire entre les ordres de diffraction est alors petite : `a partir de (7.1), on trouve qu’en incidence normale (θi = 0), les angles des premiers ordres valent approximativement

θ±1 ≈ ±2q ki

; (7.8)

et qu’en incidence rasante (θi →π/2), l’angle de l’ordren=−1vaut θ−1 ≈ π

2 −2

sq ki

. (7.9)

(En incidence rasante, les ordres n = +1,+2, . . .sont interdits par la conser-vation d’´energie.) Nous notons qu’en incidence rasante, la s´eparation angu-laire entre les ordres de diffraction est plus grande qu’en incidence normale.

La construction d’EWALD montre que cet effet provient des diff´erents angles d’intersection entre le cercle de la conservation d’´energie et le r´eseau r´eciproque.

4. Si finalement le vecteur d’onde incident ki est beaucoup plus grand que kmax, les atomes ne peuvent ˆetre r´efl´echis que s’ils sont incidents au voisinage de l’incidence rasante. Les ordres qui apparaissent dans la figure de diffraction sont alors d´etermin´es par les conditions 0 < kzn < kmax (voir la figure 7.7). Les premi`eres exp´eriences de diffraction d’atomes ont ´et´e r´ealis´ees dans ce r´egime [12, 13] parce qu’il peut ˆetre atteint avec un faisceau atomique de vitesse ´elev´ee.

Approximation deBORN 123

k_x k_z

k_i 2q

k_max

0

−2 −1

+2 +1

Figure 7.6: Construction d’EWALD pour une ´energie incidente ´elev´ee, mais inf´erieure

`a la hauteur de la barri`ere de potentiel :q ≪k_i < k_max.

k_max

k_x k_i

0

−1

−2 k_z

Figure 7.7: Ordres de diffraction pour une ´energie incidente au-dessus de la hauteur de la barri`ere de potentiel :ki ≫kmax.

124 Diffraction Remarque. La s´eparation angulaire entre les ordres de diffraction est une quantit´e im-portante pour des raisons exp´erimentales : comme on mesure g´en´eralement les compo-santes des vitesses atomiques perpendiculaires `a la direction de l’ordre sp´eculaire, les

´ecarts entre les ordres de la figure de diffraction sont proportionnels `a leurs s´eparations angulaires. En incidence normale, une r´esolution de vitesse de l’ordre de la vitesse de recul ¯hk_L/M est n´ecessaire pour r´esoudre les ordres de diffraction. En revanche, une r´esolution de vitesse de l’ordre de^p(¯hk_L/M)v_xisuffit en incidence rasante.