La barri`ere de potentiel du miroir `a atomes
2.3 Le potentiel de VAN DER W AALS
2.3.2 Le sommet de la barri`ere de potentiel
La position du sommet est d´etermin´ee par la condition que le gradient du potentiel total s’annule :
d
dz[VvdW(z) +V(z)]zs = 0 ⇐⇒ (2κzs)4e−2κzs = 3 ¯hγ
Vmax, (2.19) o`u nous avons introduit la quantit´e¯hγ =c3(2κ)3 qui est de l’ordre dehΓ. La solution¯ zs de l’´equation (2.19) permet d’exprimer la hauteurVs du sommet de la barri`ere de deux mani`eres ´equivalentes :
Nous constatons que dans le cas particulier κzs = 32, le sommet de la barri`ere se trouve `a l’´energie nulle (la courbe en tirets ´epais sur la figure 2.2). D’apr`es (2.19), cette situation est r´ealis´ee pour un potentiel dipolaire
Vmax = ¯hγ
e 3
3
≈0.74 ¯hγ. (2.21)
3Dans cette exp´erience, il fut possible de mesurer l’´ecart entre la forme ´electrostatique (2.16) du po-tentiel deVAN DERWAALSet un calcul plus exacte de l’´electrodynamique quantique, qui tient compte du temps fini de propagation du champ ´electromagn´etique entre l’atome et la surface. Dans ce para-graphe, nous nous restreignons n´eanmoins `a la limite ´electrostatique pour simplifier les calculs.
Barri`ere de potentiel 65
1 2 3 Kappa z
5 10
V total [hbarre Gamma]
Figure 2.2: Barri`ere de potentiel du miroir `a atomes, en tenant compte de l’interaction deVAN DERWAALSavec le di´electrique. Le potentiel est donn´e en unit´es de¯hΓet la distancezen unit´es de1/κ. Le potentiel dipolaire `a l’interface est fix´e `aVmax = 10 ¯hΓ, et le coefficientc3varie.
Tirets fin : sans interaction deVAN DERWAALS,c3 = 0; trait plein :c3(2κ)3 = 0.3 ¯hΓ; pointill´ees :c3(2κ)3 = 2 ¯hΓ; tirets ´epais : c3(2κ)3 = (3/e)3Vmax ≈ 13 ¯hΓ. Pour cette valeur, le sommet de la barri`ere se trouve `a l’´energieVs = 0, `a la positionzs = 32κ−1. Pour un potentiel dipolaire Vmax inf´erieur `a ce seuil, le potentiel total est n´egatif `a toutes les distances. Afin de r´ealiser une barri`ere de potentiel, il faut donc que Vmax
soit beaucoup plus grand que¯hΓenviron.
Consid´erons maintenant la limite d’un potentiel dipolaire tr`es ´elev´e,Vmax ≫ ¯hγ.
L’on s’attend alors `a ce que l’on se rapproche d’un potentiel exponentiel pur. Cepen-dant, le potentiel deVAN DER WAALS, `a cause de sa divergence `az = 0, l’emportera toujours sur le potentiel dipolaire au voisinage de l’interface. Pour un potentiel dipo-laireVmax ´elev´e, nous pouvons tout au plus supposer que la position du sommetzsest faible devant1/κ. Dans cette limite, l’´equation (2.19) admet la solution suivante (en remplac¸ant l’exponentielle par l’unit´e)
Nous constatons que la distance du sommetzs diminue assez faiblement avec le po-tentiel dipolaireVmax. En reportant la solution approch´ee (2.22) dans la premi`ere des expressions (2.20), nous trouvons que la hauteur du sommet vaut
Vmax≫¯hγ : Vs ≃Vmax Mis `a part un facteur correctif (en accolades), la hauteur de la barri`ere de poten-tiel est donc donn´ee par la valeur du potenpoten-tiel exponenpoten-tiel `a la position zs (2.22) du
66 R´eflexion sp´eculaire sommet. En particulier,Vs est inf´erieur `a la hauteurVmax du seul potentiel dipolaire.
Dans l’exp´erience de notre groupe, le rapportVmax/Vsest g´en´eralement de l’ordre de quelques unit´es [39] et d´epend faiblement deVmax[voir (2.22)].4
Sur la figure 2.3, nous comparons l’expression (2.23) pour la hauteur Vs de la barri`ere de potentiel `a la solution exacte donn´ee par (2.19, 2.20). La hauteur est trac´ee en fonction du potentiel dipolaire Vmax, pour quelques valeurs du param`etre γ/Γ = c3(2κ)3/¯hΓ. La droite en tirets fins correspond `a l’estimationVs = Vmax qui ignore l’interaction deVAN DER WAALS. Nous constatons que l’expression asympto-tique (2.23) donne une bonne approximation de la hauteur de la barri`ere, si l’´energie c3(2κ)3 est faible devant le potentiel dipolaire Vmax (les courbes en trait plein et en pointill´ees sur la figure 2.3).
Conclusion
La r´eflexion d’un atome par le miroir `a onde ´evanescente peut ˆetre d´ecrite par un potentiel exponentiel r´epulsif si le d´esaccord du champ lumineux est grand et positif.
La condition la plus restrictive pour le d´esaccord est celle d’une probabilit´e d’´emission spontan´ee faible (2.14) :
∆
Γ ≫ vzi
¯
hκ/M ≫1, (2.24)
´etant donn´e que la vitesse incidente des atomes est g´en´eralement grande devant la vitesse de recul¯hκ/M.
La pr´esence du potentiel de VAN DER WAALS implique qu’il faut un potentiel dipolaire avec une valeur `a l’interface Vmax d’environ ¯hΓ au moins, pour que le po-tentiel total ait une valeur maximale positive. Dans l’exp´erience de notre groupe, une contrainte comparable provient de la condition de r´eflexion parce que l’´energie in-cidente Ezi est de l’ordre de quelques¯hΓ. Avec (2.9, 2.10, 2.24), nous trouvons les conditions suivantes pour l’intensit´e lumineuseILde l’onde ´evanescente
4∆2
Γ2 ≫ IL
Isat ≫ ∆
Γ ≫1. (2.25)
Dans la pratique, des intensit´es lumineuses assez ´elev´ees sont alors n´ecessaires, ce qui a conduit au d´eveloppement de techniques d’exaltation du champ ´evanescent [17, 18, 93, 20].
Dans la limite d’un potentiel dipolaire fort, le sommet de la barri`ere de potentiel se trouve au voisinage de la surface, et sa position d´epend peu de la valeur exacte du po-tentiel dipolaire. La hauteur de la barri`ere est r´eduite d’un facteur approximativement constant qui est g´en´eralement de l’ordre de quelques unit´es. Cependant, si l’atome rebrousse chemin loin du sommet de la barri`ere, le potentiel de VAN DER WAALS
4Pour faire varier le rapportVmax/Vs, un moyen exp´erimental est de choisir des valeurs diff´erentes pour la constante de d´ecroissanceκce qui modifie le param`etre¯hγ=c3(2κ)3.
Barri`ere de potentiel 67
20 40
V max[hbarre Gamma]
0 20 40
0 20 40
-20 0 20 40 V s [hbarre Gamma]
Figure 2.3: HauteurVs de la barri`ere de potentiel du miroir en fonction du potentiel dipolaireVmax `a l’interface, pour quelques valeurs du coefficientc3 de l’interaction de
VAN DERWAALS(2.16). Les ´energies sont donn´ees en unit´es de¯hΓ, et les chiffres sur les courbes donnent le rapportγ/Γ =c3(2κ)3/¯hΓ.
La droite en tirets fins,Vs = Vmax, ignore l’interaction de VAN DER WAALS: c3 = 0. Trait plein :c3(2κ)3 = 0.3 ¯hΓ, l’expression asymptotique (2.23) [repr´esent´ee pour Vmax>10 ¯hΓ] se confond presque avec le r´esultat exacte. Pointill´ees :c3(2κ)3 = 2 ¯hΓ, avec un ´ecart plus grand par rapport `a (2.23). Longs tirets :c3(2κ)3 ≃13 ¯hΓ; pour une valeur aussi grande du potentiel deVAN DERWAALS, l’estimation asymptotique (2.23) n’est plus valable (la courbe n´egative).
68 R´eflexion sp´eculaire repr´esente une faible d´eformation du potentiel dipolaire que nous pouvons n´egliger.
Ce r´egime correspond `a une ´energie incidente Ezi (le long de la normale au miroir) faible devant la hauteur de la barri`ere.