Echelles spatiales caract´eristiques
5.2.1 La condition de r´eflexion pour le r´eseau
h∆
|E+|2+|E−|2, (5.6) et le contrasteǫde la modulation du potentiel vaut
ǫ= 2|E+E−|
|E+|2+|E−|2. (5.7)
Notons que le contraste est ind´ependant de la distance z `a l’interface, et inf´erieur ou
´egal `a l’unit´e.
Le potentiel dipolaire (5.5) est repr´esent´e sur la figure 5.3. Ses ´echelles spa-tiales caract´eristiques sont la longueur de d´ecroissance1/κ et la p´eriodea de l’onde
´evanescente stationnaire que nous avons ´etudi´ees au paragraphe pr´ec´edent. La barri`ere de potentiel pr´esente des hhvall´eesii aux nœuds de l’onde ´evanescente stationnaire x= (p+ 1/2)aavecpun entier, qui sont s´epar´ees par deshhcrˆetesiisitu´ees aux ventres x=p a. Un atome avec une ´energie incidente sup´erieure `a(1−ǫ)Vmaxpeut atteindre la surfacez = 0du di´electrique au fond des vall´ees du potentiel. Si nous supposons que l’atome est alors perdu, cette ´energie repr´esente la hauteur de la barri`ere de potentiel.
Il est commode de l’exprimer par la vitessevmax 1
2Mvmax2 ≡(1−ǫ)Vmax. (5.8)
Cette vitessevmaxest non nulle pour un contrasteǫstrictement inf´erieur `a l’unit´e. Nous allons exclure le casǫ= 1dans la suite.
5.2.1 La condition de r´eflexion pour le r´eseau
Consid´erons un atome incident sur la barri`ere de potentiel (5.5) avec une vitesse in-cidentevi. Comme sa composante de vitesse dans la directionOy est conserv´ee, une condition suffisante pour qu’il soit r´efl´echi par le potentiel est que son ´energie cin´etique incidente dans le planxOzsoit inf´erieure `a la hauteur de la barri`ere. En utilisant la vi-tesse maximalevmax, cette condition s’´ecrit
v2xi+vzi2 ≤v2max. (5.9)
Cette condition est une limite pessimiste. Elle assure que l’atome est r´efl´echi quels que soient sa position d’impact et son angle d’incidence. La r´eflexion est n´eanmoins possible pour des vitesses incidentes plus grandes dans des situations particuli`eres : par exemple, si l’atome arrive en incidence normale sur une crˆete du potentiel, ou
R´eseau de diffraction 91
0
0.5
1
1.5
2
2.5 κ z
0
0.5 1
1.5 2
x / a 0
0.5 1 1.5 V ( x , z )
0
0.5
1
1.5 κ z 2
Figure 5.3: Le potentiel dipolaire de l’onde ´evanescente stationnaire (en unit´es de Vmax). Le contraste vautǫ= 0.5.
92 Diffraction encore en incidence oblique, si la composante horizontale de la vitesse reste non nulle pendant la r´eflexion. La condition de r´eflexion devient alors ´egale `a celle du miroir `a onde ´evanescente :
vzi≤vmax. (5.10)
Remarque. Un potentiel semblable au potentiel dipolaire de l’onde ´evanescente station-naire (5.5),
VA(r) =Vmaxexp(−2κz+ǫcos 2qx), (5.11) a ´et´e ´etudi´e par G. ARMANDpour d´ecrire la diffraction d’un atome par une surface cris-talline [103, 104]. La p´eriodeπ/qdu potentiel correspond alors `a la maille ´el´ementaire du cristal, et la longueur 1/κ mod´elise une profondeur de p´en´etration non nulle de l’atome dans le cristal. Dans la limite 1/κ → 0, l’on retrouve une barri`ere de poten-tiel infinie situ´ee sur la surface du cristal,z = (ǫ/2κ) cos 2qx. D’autre part, `a la limite d’un contrasteǫfaible, les potentiels (5.5) et (5.11) deviennent identiques.
5.2.2 Conditions de validit´e
Rappelons que la description de l’interaction entre l’atome et le champ lumineux en termes du potentiel dipolaire est justifi´ee si la saturation de la transition atomique est faible et si le temps d’interaction est suffisamment court pour que la probabilit´e d’´emission spontan´ee soit n´egligeable. En outre, nous nous limitons au seul potentiel dipolaire de l’onde ´evanescente et nous n´egligeons l’interaction attractive deVAN DER
WAALS, en supposant que l’atome rebrousse chemin suffisamment loin du sommet de la barri`ere de potentiel. Ces conditions impliquent les mˆemes contraintes pour la diffraction que pour la r´eflexion d’atomes, et nous renvoyons au paragraphe 2.2.2 du chapitre 2 pour une ´etude plus quantitative.
En revanche, nous devons r´e-examer encore deux conditions qui ajoutent de nou-velles contraintes parce que le mouvement atomique dans direction horizontale Ox intervient explicitement dans la th´eorie. Nous supposons en effet
• que le d´eplacement DOPPLER est n´egligeable par rapport au d´esaccord de la fr´equence lumineuse et
• que l’atome suit adiabatiquement le niveau habill´e qui rejoint l’´etat fondamental en absence du champ lumineux.
En incidence au voisinage de la normale, le mouvement de l’atome dans la direction horizontale est lent par d´efinition de sorte que le deplacement DOPPLER est faible et que l’´etat de l’atome peut suivre adiabatiquement le niveau de l’´etat fondamental.
Les contraintes suivantes sont donc pertinentes surtout pour la diffraction en incidence oblique.
R´eseau de diffraction 93 Le d´eplacement DOPPLER. Lorsque l’atome est en mouvement `a la vitessevxdans la direction horizontale, il voit, dans son r´ef´erentiel propre, les fr´equences lumineuses des deux composantes progressives de l’onde ´evanescente d´eplac´ees `a cause de l’effet DOPPLER. Les d´ecalages en fr´equence valent±∆D o`u∆D =qvx est le d´eplacement DOPPLER et vx la composante horizontale de la vitesse atomique. Pour une onde
´evanescente simple, nous avons pu incorporer ce changement de fr´equence dans la d´efinition du d´esaccord ∆, en nous plac¸ant dans le r´ef´erentiel propre de l’atome. Si nous faisions cette transformation pour l’onde ´evanescente stationnaire, elle cr´eerait une diff´erence de fr´equence2∆D entre les deux ondes lumineuses et le potentiel di-polaire deviendrait donc d´ependant du temps. Nous ´evitons cette d´ependance en res-tant dans le r´ef´erentiel du laboratoire dans lequel les deux ondes ´evanescentes ont la mˆeme fr´equence. Cependant, au sens strict, le potentiel dipolaire d´epend alors de la vitesse horizontale vx `a travers le d´esaccord. Nous n´egligeons cette d´ependance en nous plac¸ant dans le r´egime o`u le d´esaccord est beaucoup plus grand que le d´ecalage DOPPLER:
∆≫∆D. (5.12)
Les d´ecalages DOPPLER pour la vitesse incidente vxi et pour les vitesses des ordres de diffraction ne diff`erent que par une fr´equence de l’ordre de la fr´equence de re-cul, ¯hkL2/2M, et cette diff´erence est g´en´eralement faible devant le d´esaccord ∆. Le d´ecalage DOPPLER pertinent dans (5.12) est donc celui pour la vitesse incidente vxi. Comme il s’annule en incidence normale, c’est en incidence rasante que le r´egime (5.12) peut ˆetre remis en question. Nous pr´esenterons au chapitre 11 une ap-proche alternative `a la diffraction qui ne repose pas sur un potentiel dipolaire scalaire et qui est valable mˆeme quand le d´ecalage DOPPLER est comparable au d´esaccord.
Le suivi adiabatique. Le mouvement de l’atome dans la directionOxcr´ee unhh cou-plage non adiabatiqueii [78] entre les ´etats habill´es associ´es aux ´etats fondamental et excit´e parce que ceux-ci pr´esentent des variation spatiales. Nous avons vu au cha-pitre 1.1, `a l’´equation (1.23), que la fr´equence caract´eristiqueΩn.ad.pour ce couplage est de l’ordre
ΩNA ∼qvx|dE(r)|
¯
h∆ (5.13)
La estimation (1.24) pour la probabilit´e de suivi adiabatique donne alors la condition suivante
qvx|dE(r)|
¯
h∆ ≪∆ (5.14)
pour la composante horizontale de la vitesse atomique. Nous constatons que ce crit`ere est satisfait, compte tenu du r´egime de faible saturation (1.12), d`es que nous nous sommes plac´e dans le r´egime d’un d´ecalage DOPPLER ∆D faible devant le d´esaccord
∆[la condition (5.12)].
94 Diffraction