La diffraction d’atomes dans l’approximation de B ORN
7.5 Conclusion et perspectives
L’approximation de BORN nous a permis d’identifier une coupure d’ordre dyna-mique pour l’efficacit´e de la diffraction d’atomes : dans la direction normale Oz,
`a la diff´erence de la r´eflexion sp´eculaire, le potentiel du r´eseau de diffraction ne peut transf´erer un vecteur d’onde `a l’atome qui soit tr`es sup´erieur `a la constante de d´ecroissanceκde l’onde ´evanescente. Cette coupure permet d’´evaluer l’efficacit´e de la diffraction en comparant le transfert limiteκaux diff´erences verticales∆kz,±1 des vecteurs d’onde des ordres de diffraction. Elle implique en particulier que la diffrac-tion devient inefficace en incidente rasante. Il semble donc difficile d’expliquer les observations exp´erimentales de la diffraction d’atomes en incidence rasante [12, 13]
dans le cadre du mod`ele du potentiel dipolaire scalaire que nous avons choisi ici. Nous
´etudierons ce probl`eme au chapitre 11 `a l’aide d’un mod`ele plus complexe o`u inter-vient ´egalement la structure interne de l’atome.
Avant d’aborder ce mod`ele plus complexe, nous allons rester dans le cas scalaire et pr´esenter trois approches qui permettent de d´epasser le r´egime perturbatif auquel est restreinte l’approximation de BORN. En effet, nous avons pu ´etablir dans ce chapitre une limite de validit´e pour l’approximation de BORN: il faut que le contraste ǫ de l’onde ´evanescente stationnaire soit inf´erieur au rapportκ/kzientre la longueur d’onde deDE BROGLIE de l’atome incident et l’´epaisseur du r´eseau de diffraction. Une fac¸on
´equivalente d’exprimer cette condition est que la position du miroir effectif associ´e au r´eseau de diffraction soit faiblement modul´ee `a l’´echelle de la longueur d’onde atomique incidente. Dans le r´egime semi-classique, o`u l’´epaisseur du r´eseau est grande devant la longueur d’onde atomique, l’approximation de BORNn’est alors valable que pour des valeurs tr`es petites du contraste.
Sur le sch´ema 7.20, nous repr´esentons les diff´erents r´egimes que nous avons identifi´es jusqu’ici, ainsi que des directions possibles pour d´epasser les limites de l’approximation de BORN. La condition de validit´e de l’approximation de BORN est repr´esent´ee par la ligne horizontale du sch´ema 7.20. La ligne diagonale s´epare les r´egimes du r´eseau g´eom´etriquement mince (au-dessus et `a gauche) et ´epais que nous avons identifi´es au chapitre 6. La partie gauche du sch´ema repr´esente le r´egime de RAMAN–NATH o`u l’´epaisseur de l’onde ´evanescente stationnaire est comparable ou plus petite que sa p´eriode [la condition (7.52)]. Dans la partie droite, le r´eseau est beaucoup plus ´epais, et l’on r´ealise alors le r´egime de BRAGG [la condition (7.53)].13
Sur le sch´ema (7.20), les fl`eches illustrent deux strat´egies pour d´epasser le r´egime perturbatif (dans la limite semi-classique) :
1. Nous avons constat´e que si l’´epaisseur et la p´eriode du r´eseau sont du mˆeme ordre de grandeur (le r´egime de RAMAN–NATH situ´e sur la partie gauche du
13Lorsque l’angle d’incidence augmente, la ligne verticale se d´eplace en direction de la r´egionq < κ
`a cause de la condition (7.58). Quant `a la limite pour l’approximation de BORN, elle se d´eplace vers des valeurs plus grandes du contrasteǫ: `a cause du facteur d’obliquit´eβ < 1, un contraste plus ´elev´e est n´ecessaire en incidence oblique pour cr´eer une population non sp´eculaire donn´ee.
154 Diffraction
reseau epais q >> κ reseau mince q < κ
ε = 0
ε = 1
regime de RAMAN -NATH
regime de BRAGG
ε ( q / κ ) 2 > 1
approximation de BORN valable
ε < κ / kzi chap. 8 chap. 9
ordres de diffraction superieurs
Pendelloesung
2 q2 / κ kzi > 1
Figure 7.20: Repr´esentation sch´ematique des diff´erents r´egimes en fonction du contrasteǫ de l’onde ´evanescente stationnaire et du rapport q/κentre sa longueur de d´ecroissance et sa p´eriode. Le sch´ema est esquiss´e pour l’incidence normale et dans le r´egime semi-classique.
Approximation deBORN 155 sch´ema 7.20), la figure de diffraction pr´esente des points communs avec la distri-bution de vitesse classique du r´egime du r´eseau g´eom´etriquement mince : les va-leurs moyennes et quadratiques moyennes du transfert de vitesse sont les mˆemes dans les deux points de vue. Si le contraste augmente au-del`a du r´egime pertur-batif, la distribution de vitesse classique devient plus large et couvre plusieurs ordres de diffraction. Nous nous attendons donc `a ce que dans la figure de dif-fraction, des ordres sup´erieurs apparaissent et que l’enveloppe des populations des ordres soit donn´ee par la distribution de vitesse classique. L’on peut alors se demander si l’approche perturbative classique qui nous a permis de trouver la distribution de vitesse pour un r´eseau g´eom´etriquement mince, peut ˆetre utilis´ee aussi pour calculer la figure de diffraction. Nous r´epondrons `a cette question par l’affirmative au chapitre 8 qui pr´esente l’approximation duhhr´eseau de phase minceii. Dans le r´egime de RAMAN–NATH et pour un r´eseau g´eom´etriquement mince, cette approximation permet de d´ecrire `a la fois le r´egime perturbatif o`u l’approximation de BORNest valable, et une r´egion de valeurs plus importantes du contrasteǫ, o`u plusieurs ordres sont peupl´es dans la figure de diffraction.
2. Pour le cas d’un r´eseau ´epais (le r´egime de BRAGG sur la partie droite du sch´ema 7.20), nous avons constat´e que les populations des ordresn = ±1sont diff´erentes. L’asym´etrie maximale se produit `a la r´esonance de BRAGG o`u deux ordres,n = 0etn =−1, par exemple, ont des vecteurs d’onde dont les compo-santes normales sont les mˆemes. Le vecteur d’onde diffract´e de l’ordren = +1 se trouve alors en-dehors de la bande de couplage efficace dans le diagramme d’EWALD, et la population w+1 est beaucoup plus faible que w−1. Au-del`a du r´egime perturbatif, nous nous attendons `a ce que une grande partie de la popu-lation atomique soit transf´er´ee vers l’ordre−1. Il paraˆıt alors justifi´e de se res-treindre aux seuls ordresn = 0,−1entre lesquels le couplage est maximal. C’est une telle approche (symbˆolis´ee par la fl`eche `a droite du sch´ema 7.20) que nous permet au chapitre 9 de mettre en ´evidence le ph´enom`ene de la Pendell¨osung (la
hhsolution du penduleii) dans la diffraction de BRAGG.
Finalement, l’approximation de BORN nous `a ´egalement permis d’´etudier la dif-fraction d’atomes dans le r´egime quantique, kzn ≪ κ, o`u la longueur d’onde de DE
BROGLIEest beaucoup plus grande que la port´ee du potentiel. Dans ce r´egime, la cou-pure de l’efficacit´e de la diffraction n’est pas pertinente, ´etant donn´ee que les transferts de vecteur d’onde sont tous inf´erieurs `aκ. Nous avons montr´e que la figure de diffrac-tion atomique peut alors ˆetre interpr´et´ee par la r´eflexion sur une barri`ere de potentiel infinie dont la position pr´esente une faible modulation spatiale. Ce mod`ele est ana-logue `a la diffraction d’une onde lumineuse par un r´eseau de diffraction m´etallique.
Cette analogie permet d’envisager une troisi`eme strat´egie pour calculer la figure de diffraction au-del`a de la limite perturbative (voir le sch´ema 7.21) :
3. Dans le r´egime quantique, nous avons constat´e que les ordres non sp´eculaires de la figure de diffraction restent faiblement peupl´es, mˆeme si le contrasteǫdu
156 Diffraction
ε = 0
ε = 1
ε ( q / κ )2 > 1 approximation
de BORN valable
ε << 1 chap. 10
ordres de diffraction superieurs
diffraction interdite par conservation d’energie
reseau epais q > κ reseau mince q << κ
q > ki
Figure 7.21: Repr´esentation sch´ematique analogue `a la figure 7.20, mais pour le r´egime quantique.
A droite de la ligne verticale, les ordres non sp´eculaires sont interdits par la conser-vation de l’´energie. L’approximation de BORN d´ecrit la diffraction dans la par-tie sup´erieure du sch´ema parce qu’elle est limit´ee au premier ordre par rapport au contrasteǫ.
L’approche deRAYLEIGH(symbˆolis´ee par la fl`eche) permet de couvrir le r´egime d’un contraste comparable `a l’unit´e o`u les ordresn = ±2,±3, . . .apparaissent dans la fi-gure de diffraction.
Approximation deBORN 157 r´eseau est de l’ordre de l’unit´e. Cette observation indique que le d´eveloppement au premier ordre enǫ, qui est `a la base de l’approximation de BORN, n’est pas le choix optimal pour caract´eriser la diffraction d’atomes dans le r´egime quan-tique. Dans le chapitre 10, nous pr´esentons une approche alternative inspir´ee par l’analogie au miroir m´etallique ondul´e : en partant du mod`ele d’une barri`ere de potentiel infinie dont la position est modul´ee, nous nous servirons de la m´ethode de RAYLEIGHpour calculer la fonction d’onde, en supposant que la modulation de la barri`ere est faible devant la longueur d’onde incidente. Il se trouve que ce mod`ele n’est pas restreint `a des valeurs faibles du contraste et permet d’obtenir des expressions approch´ees pour les populations des ordres sup´erieurs dans la figure de diffraction.
158 Diffraction