h4kzikzn
hφkzn|Vmaxe−2κz|φkzii2, n=±1. (7.A.21) Nous constatons que cette expression est identique au r´esultat (7.34) que nous avons obtenu au paragraphe 7.
7.B Fonction de G REEN pour le potentiel exponentiel
Nous donnons ici la d´emonstration de l’expression (7.30) pour la fonction de GREEN
du potentiel exponentiel. Au cours de cette d´emonstration, nous ´etablissons le com-portement asymptotique (7.B.32) de la fonction de GREEN. Nous calculons ainsi l’int´egrale surkzde la formule (7.31) pour la fonction d’onde diffract´ee et d´emontrons l’expression (7.33) pour les amplitudes de diffraction dans l’approximation de BORN.
Nous allons nous placer end= 2,3dimensions.
7.B.1 D´efinition
Consid´erons l’op´erateur diff´erentiel
D ≡ △ −Ue−2κz+k2, (7.B.22) o`u△est le Laplacien enddimensions et les quantit´esU etk2sont reli´ees `a la hauteur du potentiel exponentielVmaxet `a l’´energie incidenteE(d):
U = 2MVmax
¯
h2 , (7.B.23a)
k2 = 2ME(d)
¯
h2 . (7.B.23b)
La fonction de GREEN G(r,r′)de l’op´erateur diff´erentielDsatisfait aux deux condi-tions suivantes :
Approximation deBORN 163 1. en fonction de la variabler,G(r,r′)est solution `a l’´equation diff´erentielle
DG(r,r′) = δ(r−r′), (7.B.24) o`u la fonction δ du membre droit repr´esente l’op´erateur identit´e dans l’espace des solutions r´eguli`eresψ(r)de l’´equation de SCHRODINGER¨
Dψ(r) = 0, (7.B.25)
c’est-`a-dire des solutions qui s’annulent dans la r´egion classiquement interdite z→ −∞;
2. dans la r´egion asymptotiquez → +∞, G(r,r′)est une superposition d’ondes sortantesexp ik·raveck2 =k2etkz >0.
Nous notons que la premi`ere de ces conditions implique qu’en fonction der, la fonc-tion de GREEN G(r,r′) a un comportement asymptotique analogue aux fonctions d’onde r´eguli`eresψ(r), `a savoir qu’elle s’annule elle aussi dans la limitez → −∞.
7.B.2 Enonc´e
La fonction de GREENG(r,r′)de l’op´erateur diff´erentiel (7.B.22) est donn´ee par G(r,r′) = 4 o`u les vecteurs r et k ont les composantes R et K parall`eles au plan z = 0 et les composanteszetkzle long de l’axeOz. Les fonctions d’ondeφkz(z)sont des solutions de l’´equation de SCHRODINGER¨ stationnaire en une dimension
− d2
164 Diffraction
0 Re kz
x
Im kz
pole k3
Figure 7.22: Chemin d’int´egrationC pour l’int´egrale surkzdans la fonction deGREEN
(7.B.26).
et le d´ephasage∆ϕ(kz)est donn´e par
∆ϕ(kz) =−2kz
κ log(u0/2) + 2 arg Γ(1 + ikz/κ). (7.B.31) Le chemin d’int´egrationC pour la variablekzdans l’int´egrale (7.B.26) est esquiss´e sur la figure 7.22 : il part de l’origine verskz = +∞et contourne, dans le plan complexe, le pˆole situ´e `akz =k3 ≡(k2−K2)1/2en passant par le demi-plan inf´erieur16Imkz <0.
Dans la r´egion asymptotique z → +∞, la fonction de GREEN G(r,r′)a le com-portement asymptotique suivant
z→+∞ : (7.B.32)
G(r,r′) =− 1 (2π)d−1
Z
|K|<k
dKeiK(R−R′)
k3 exp ihk3z+12∆ϕ(k3)iφk3(z′) avec
k3 = +√
k2−K2 pour|K|< k. (7.B.33) Les vecteurs d’onde K avec |K| > k correspondent `a des ondes ´evanescentes qui d´ecroissent de fac¸on exponentielle dans la limitez →+∞.
7.B.3 D´emonstration
Equation diff´erentielle. En ´echangeant l’op´erateur diff´erentielD (7.B.22) avec les int´egrales de la fonction de GREEN(7.B.26) et en utilisant l’´equation de SCHRODIN¨
-16De fac¸on ´equivalente, l’on peut pr´eciser le chemin d’int´egration en remplac¸ant le d´enominateur k2−k2dans (7.B.26) park2−k2+ i0+o `u0+repr´esente une quantit´e infinit´esimale positive. Le p ˆole est ainsi d´eplac´e verskz = (k23+ i0+)1/2 et se trouve donc dans le demi-plan sup´erieurImkz > 0.
En int´egrant alors le long de l’axe r´eelle positive, le p ˆole est ´egalement situ´e au-dessus du chemin d’int´egration.
Approximation deBORN 165
GER(7.B.27) pour les fonctions d’ondeφkz(z), nous trouvons DG(r,r′) = 4 Notons que l’int´egrand n’a plus de singularit´e proche de l’axe r´eelle [voir les fonctions d’onde (7.B.29)], nous pouvons donc remplacer le contourC par l’axe r´eelle positive.
Identit´e dans l’espace de solutions r´eguli`eres. Il reste donc `a montrer que l’int´egrale suivante repr´esente l’op´erateur identit´e dans l’espace des solutions r´eguli`eresφk′z(z′): A cet effet, nous introduisons, en suivant G. ARMAND [103], une boˆıte de quantifica-tion en ajoutant une barri`ere de potentiel infini `a la posiquantifica-tion z = L dans la r´egion asymptotique (L ≫ 1/κ). La condition que les fonctions d’onde φkz(z) (7.B.29) s’annulent pourz =L, entraˆıne alors que les vecteurs d’ondekz sont quantifi´es :
kz =km avec kmL+ 12∆ϕ(km) =mπ, m= 1,2, . . . (7.B.36) A la limiteL≫1/κ, le termekmLdans (7.B.36) l’emporte sur le d´ephasage (7.B.31) et les vecteurs d’onde quantifi´eskm ont un espacement
δkz = π
L. (7.B.37)
Les fonctions d’ondesφkm(z)sont orthogonales
Dφkm|φkm′
E≡
Z
dz φ∗km(z)φkm′(z) = 0 pour m6=m′, (7.B.38) et le comportement asymptotique (7.B.28b) implique que la norme desφkm(z)vaut
hφkm|φkmi= L
2. (7.B.39)
Nous pouvons alors ´ecrire l’op´erateur identit´eIpour les fonctions d’onde r´eguli`eres dans la boˆıte de quantification de la fac¸on suivante :
I= 2 L
X∞
m=1
|φkmi hφkm|. (7.B.40)
166 Diffraction A la limite d’une boˆıte infinie,L→ ∞, la somme sur leskm devient une int´egrale, et avec l’espacementδkz(7.B.37), nous avons la repr´esentation suivante
I= 2 π
Z∞
0
dkz|φkzi hφkz|. (7.B.41) En repr´esentation position, le membre gauche devient une fonction δ(z − z′). Ceci compl`ete la demonstration de la formule (7.B.35) et de l’´equation diff´erentielle (7.B.24) pour la fonction de GREEN.
Comportement dans la r´egion asymptotique z → +∞. Il reste `a ´etudier le comportement asymptotique (7.B.32) de la fonction de GREEN G(r,r′) `a la limite z → +∞. Plus pr´ecis´ement, compte tenu du comportement asymptotique (7.B.28b) des fonctions d’ondeφkz(z), il suffit d’´etablir la formule suivante
2 o`uk3 >0est d´efini `a l’´equation (7.B.33).
En suivant N. CABRERA et al. [58], nous notons qu’en fonction dekz, la fonction d’onde φkz(z′) est impaire.17 Comme le sin dans (7.B.42) donne le comportement asymptotique de φkz(z), il est ´egalement impaire en fonction de kz. Par cons´equent, l’int´egrand dans (7.B.42) est pair, et nous pouvons remplacer l’int´egrale surkz par
Z
−k3 par le demi-plan sup´erieur et celui situ´e `akz = +k3par le demi-plan inf´erieur et se termine `akz = +∞(voir la figure 7.23).
Introduisons maintenant l’expression (7.B.29) pour la fonction d’ondeφkz(z)dans l’int´egrale (7.B.42) ; il vient En utilisant la d´efinition (7.B.31) du d´ephasage ∆ϕ(kz)et la propri´et´e suivante de la fonctionΓ(pourkzr´eel)
|Γ(1 + ikz/κ)|=
vu
ut πkz/κ
sinh(πkz/κ), (7.B.45)
17Voir l’expression (7.B.29) pour φkz(z′). La fonction de BESSEL Kikz/κ(u0e−κz′)est paire en fonction dekz(M. ABRAMOWITZet I. STEGUN, Handbook of Mathematical Functions, formule 9.6.6).
Approximation deBORN 167
Figure 7.23: Chemin d’int´egrationC′pour l’int´egraleIsurkz dans (7.B.44). Le demi-cercle symbolise la fermeture du cheminC′ `a l’infini pour le calcul de l’int´egraleI+ dans (7.B.47). qui donne la continuation analytique du membre gauche `a des valeurs complexes de kz. le chemin d’int´egration C′ par un demi-cercle `a l’infini dans le demi-plan sup´erieur Imkz >0(voir la figure 7.23). A cause de l’exponentielleeikz[z−κ−1log(u0/2)], le demi-cercle `a l’infini ne contribue pas `a la valeur de l’int´egrale. D’apr`es le th´eor`eme de CAUCHY, l’int´egrale (7.B.47) est d´etermin´ee par les pˆoles de l’int´egrand qu’enferme le chemin d’int´egration. Il est bien connu18 que la fonction 1/Γ(1 + ikz/κ) n’a pas de singularit´es dans le plan complexe de la variable kz. Il en est de mˆeme19 pour la fonction de BESSEL Kikz/κ(u0e−κz). L’int´egrand a donc deux pˆoles simples pourkz =
±k3 dont seulement le pˆolekz = +k3 se trouve `a l’int´erieur du chemin d’int´egration
18ABRAMOWITZet STEGUN, op. cit., chap. 6.1.
19ABRAMOWITZet STEGUN, op. cit., chap. 9.1 et formule 9.6.4.
168 Diffraction (au-dessus du cheminC′). Le th´eor`eme de CAUCHY donne alors le r´esultat suivant
I+ = −k3/κ En passant `a la deuxi`eme ligne, nous avons utilis´e la d´efinition (7.B.29) de la fonction d’ondeφk3(z), le d´ephasage∆ϕ(k3)(7.B.31) et la propri´et´e (7.B.45) de la fonctionΓ,
´etant donn´e quek3 est r´eel.
De fac¸on analogue, mais en fermant le chemin d’int´egrationC′par un demi-cercle dans le plan inf´erieurImkz <0, l’on d´emontre que la deuxi`eme int´egrale
I− ≡ − 1 a la mˆeme valeur (7.B.49) que I+. Ceci compl`ete la d´emonstration de la for-mule (7.B.42), ainsi que du comportement asymptotique (7.B.32) de la fonction de GREEN G(r,r′).