Incidence normale

L’approche perturbative utilise la trajectoire non perturb´ee de l’atome qui est stricte-ment verticale en incidence normale. Cependant, la vraie trajectoire s’´ecarte de l’axe vertical sous l’influence du gradient horizontal du potentiel. Nous nous attendons `a ce que le calcul perturbatif soit une bonne approximation si le d´eplacement de l’atome dans la direction horizontale est petit `a l’´echelle de la p´eriode du r´eseau. Dans la limite oppos´ee, la trajectoire de l’atome est modifi´ee de fac¸on importante, et l’atome effectue alors un mouvement oscillatoire dans le potentiel.

Pour caract´eriser ces deux r´egimes, consid´erons un atome qui entre dans le poten-tiel au^hhfond d’une vall´eeⁱⁱ, autour de la positionx=a/2. En approximant le potentiel (5.5) au fond de la vall´ee par un potentiel harmonique, on trouve que la fr´equence d’oscillationω_x dans la direction horizontale est donn´ee par

ωx = 2q

sǫ Vmax

M e^−κz (6.27)

Dans la r´egion asymptotique, le potentiel et par cons´equent, la fr´equence ωx

s’annulent. Quand l’atome entre dans le potentiel, ωx augmente et atteint sa valeur maximale `a la position z = z_reb(x = a/2)de la surface de rebroussement (6.16). La valeur maximaleω_x^maxde la fr´equence d’oscillation vaut donc

ω_x^max= q κτ_int

s 2ǫ

1−ǫ. (6.28)

Le d´eplacement de l’atome dans la direction horizontale est faible si le temps d’interaction τint est court, compar´e `a la p´eriode d’oscillation. Cette condition peut s’exprimer sous la forme

ω^max_x τint = q κ

s 2ǫ

1−ǫ ≪1, (6.29)

o`u le param`etre ω^max_x τ_int donne l’ordre de grandeur du nombre d’oscillations pendant le temps d’interaction. Nous appelons ce r´egime celui du r´eseau g´eom´etriquement mince. La situation est illustr´ee sur la figure 6.6.

Le r´egime oppos´e est celui d’un r´eseau g´eom´etriquement ´epais, cas dans lequel l’atome oscille plusieurs fois dans la vall´ee de potentiel pendant le temps d’interaction.

Ce r´egime est caract´eris´e par la condition ω^max_x τ_int = q

κ

s 2ǫ 1−ǫ >

∼1. (6.30)

Mouvement classique 105

x z

Figure 6.6: Trajectoire classique dans un r´eseau g´eom´etriquement mince.

x z

Figure 6.7: Trajectoire classique dans un r´eseau g´eom´etriquement ´epais.

106 Diffraction

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5 1 1.5

2 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3.

Figure 6.8: Transfert de vitesse horizontal maximal en incidence normale, en fonc-tion du contraste. Points : r´esultats num´eriques. Tirets : pr´evision perturbative (6.31).

L’unit´e de vitesse est la vitesse incidentevzi. Les valeurs du param`etre ω_osc^maxτint sont not´ees en haut de la figure. On a prisq =κ.

Nous illustrons cette situation sur la figure 6.7 par une trajectoire qui monte deux fois sur les^hhflancsⁱⁱde la vall´ee.

Nous pr´esentons maintenant les r´esultats d’un calcul num´erique qui met en

´evidence la transition du r´egime du r´eseau g´eom´etriquement mince vers celui du r´eseau g´eom´etriquement ´epais. A cet effet, nous avons int´egr´e les ´equations du mouvement (6.1) num´eriquement, pour un certain nombre de positions initiales dans une demi-p´eriode du r´eseau.⁵ Une fois que l’atome est sorti du r´eseau apr`es la r´eflexion, les vitesses horizontalesvxf permettent de calculer les valeurs maximales et minimales du transfert de vitesse horizontal, et donc la largeur de la distribution de vitesse classique.

Sur la figure 6.8, nous montrons le transfert de vitesse maximal ∆v_x^max, en fonc-tion du contraste de l’onde stafonc-tionnaire. La ligne en tirets correspond `a la pr´evision perturbative (6.25) qui vaut, en incidence normale,

∆v_x^max= 2ǫ(q/κ)vzi. (6.31) On voit sur la figure que le transfert de vitesse augmente lin´eairement avec le contraste ǫ, en accord avec (6.31), jusqu’`a une valeur ǫ ≈ 0.2. Pour un contraste plus grand,

∆v_x^max s’´ecarte de la pr´evision perturbative, et on entre dans le r´egime du r´eseau g´eom´etriquement ´epais. Cette transition a lieu quand le param`etre de la condition du

5En incidence normale, les trajectoires de l’autre demi-p´eriode sont obtenues en utilisant la sym´etrie de r´eflexionx7→ −xdu potentiel (5.5).

Mouvement classique 107

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5 1 1.5

2 ^{1 2 3 4 5 6 7 8}

Figure 6.9: Transfert de vitesse horizontal maximal (voir la figure 6.8), pour un r´eseau plus ´epais (q = 3κ).

r´eseau g´eom´etriquement mince (6.29) vaut

ω_x^maxτint ≈0.7 (6.32)

Dans le r´egime du r´eseau g´eom´etriquement ´epais, le transfert de vitesse sature parce que l’atome oscille dans le potentiel autour du fond d’une vall´ee. Le transfert de vi-tesse est alors d´etermin´ee par l’ouverture angulaire de la vall´ee. Nous notons que cette ouverture est proportionnelle au rapportκ/qentre les ´echelles horizontale et verticale du potentiel.

A titre de comparaison, nous pr´esentons sur la figure 6.9 le transfert de vitesse maximal pour un r´eseau plus ´epais (le param`etreq/κest plus grand). En comparant `a la figure 6.8, on constate que∆v_x^maxaugmente plus vite avec le contrasteǫ, en accord avec (6.31). La transition vers le r´egime du r´eseau g´eom´etriquement ´epais a lieu pour un contrasteǫ plus faible comme pr´evu par la condition (6.30). Nous constatons que dans les deux cas (q = κetq = 3κ), le nombre d’oscillationsω^max_x τ_int est `a peu pr`es le mˆeme (6.32) `a la transition entre les deux r´egimes. Une fois le r´egime du r´eseau g´eom´etriquement ´epais atteint, le transfert de vitesse sature `a un niveau plus bas, de l’ordre de v_zi(κ/q), en accord avec l’id´ee qu’il est fix´e par l’ouverture angulaire des vall´ees de potentiel.

Nous concluons de la comparaison au calcul num´erique que l’approche perturba-tive est valable quand le r´eseau de diffraction est g´eom´etriquement mince [la condi-tion (6.29)].

108 Diffraction

∆υ _x− ρ _cl

∆υ _x+ ∆υ _x 0

Figure 6.10: Exemple de distribution de vitesse finaleρcl(∆vx).