4.5 Les activités mathématiques proposées dans la CoP
4.5.2 Les problèmes proposés
Nous avons proposé cinq problèmes au début de notre expérimentation puis à la demande des enseignants, nous en avons ajouté quatre autres au début de l’année III. Nous n’allons pas présenter l’analyse détaillée de tous ces problèmes mais illustrer notre méthodologie à l’aide de deux pro- blèmes : Golf et Cordes. Pour ce qui concerne les autres problèmes, nous renvoyons le lecteur au tableau 4.2 page ci-contre qui synthétise l’objet du problème et à la présentation faite sur le site Web que nous avons reprise dans l’annexe C à partir de la page 351.
Afin de faciliter la lecture, la mise en forme du contenu du site Web dans ce document n’est pas strictement respectée174. Les problèmes proposés ainsi que les ouvrages dont ils sont extraits sont répertoriés dans le tableau 4.3 page 146175. Afin de montrer leur diversité, nous avons classé
170Généralement, inférieur à trois pages écran.
171Les problèmes Somme des chiffres, Rectangles, Triangles colorés n’avaient pas de section Exemples car elle n’a pas
paru nécessaire.
172Uniquement pour les problèmes Cordes et Piscine. 173Rubrique ajoutée au début de l’année II.
174Quelques copies d’écran liées au problème Golf sont reproduites dans l’annexe C.12 page 372 afin de donner un
aperçu de la mise en forme réelle sur le site Web.
4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS
Noms Résumés
Plus grand produit Parmi les décompositions additives d’un nombre entier donné en en- tiers, trouver celle pour laquelle le produit des termes est le plus grand. Cordes On place des points sur un cercle. Est-il possible de déterminer le
nombre de toutes les cordes qui les rejoignent ?
Piscine Des élèves de différentes écoles vont à la piscine qui ne peut contenir que 180 élèves à la fois. Il faut organiser le planning pour occuper le nombre minimum de créneaux.
Somme et différence On connaît la somme et la différence de deux nombres entiers natu- rels. Est-il possible de retrouver ces deux nombres ?
Golf Trouver toutes les façons d’atteindre un nombre à partir d’additions successives de deux autres nombres.
Problèmes ajoutés pour l’année III
Tours On superpose 4 cubes de couleurs différentes pour former une tour.
Combien de tours différentes peut-on faire ?
Triangles colorés On partage un triangle équilatéral en 3 triangles isométriques à partir de son centre de gravité. On colorie les différentes parties à l’aide de 4 couleurs différentes. Trouver tous les triangles que l’on peut ainsi colorier.
Somme des chiffres Chercher les nombres dont la somme des chiffres est égale à un nombre donné.
Rectangles Dans un pavage rectangulaire 3x3, combien y a-t-il de rectangles ? TAB. 4.2: Résumés des problèmes proposées dans la CoP.
les problèmes, d’une part, selon le cadre initial dans lequel il est posé : numérique, géométrique, matériel et, d’autre part, à l’aide des catégories suivantes : problèmes d’optimisation, problème de recherche exhaustive de solutions, problème de dénombrement de solutions. Deux d’entre eux sont extraits de (ERMEL CP) mais ils restent intéressants à proposer au cycle 3.
Au cours de notre expérimentation, les problèmes ont subi diverses modifications de détails – orthographiques par exemple – et nous n’avons reporté que les modifications importantes. À la suite de l’année I, nous avons proposé d’améliorer le site Web en donnant quelques indications sur les éléments de débats et sur des points intéressant les déroulements possibles. Les enseignants ont accepté à la condition de rester aussi concis que possible. Juste avant la fin de l’année II – début mai – et suite à la réunion R4-II (17 mars), nous avons ajouté une rubrique ✭✭ propositions pratiques ✮✮ concernant la gestion générale des problèmes en classe. Enfin, quatre nouveaux problèmes ont été ajoutés pour l’année III : Tours, Somme des chiffres, Rectangles et Triangles colorés176. Ils peuvent tous être proposés dès le CE1, conformément aux contraintes de la classe CE1/CE2 de Mme
S
cette année-là177. Nous avons fait d’autres modifications pour certains problèmes, elles sont reportées enet d’une analyse dans (Douaire et Hubert 1999).
176Voir tableau 4.2 de la présente page.
Noms Types Cadres initiaux Sources
Plus grand produit optimisation numérique ERMEL CM1
Cordes dénombrement géométrique ERMEL CM2
Piscine optimisation, exhaustivité hors math. ERMEL CM1
Somme et différence exhaustivité, 2 eq. 2 inc. numérique ERMEL CE2, CM2
Golf exhaustivité, 1 éq. 2 inc. numérique ERMEL CE2
Problèmes ajoutés pour l’année III
Tours exhaustivité matériel ERMEL CP
Triangles colorés exhaustivité matériel ERMEL CP
Somme des chiffres exhaustivité numérique ERMEL CE2
Rectangles dénombrement géométrique –
TAB. 4.3: Les problèmes proposées dans la CoP : variété et sources.
annexe C à partir de la page 351.
Revenons sur notre choix des deux problèmes retenus pour cette section. Étant donné que nous avons déjà analysé le problème Golf qui figure dans (ERMEL CE2 ; ERMEL CM2)178, nous allons préciser les points communs et les différences avec ceux de l’approche ERMEL étudiée plus haut179. Quant au choix du deuxième problème, Cordes, il est motivé par les raisons suivantes :
– c’est le problème le plus souvent choisi par les enseignants180;
– Mme
S
, dont nous avons choisi d’étudier plus particulièrement la trajectoire dans la CoP, a rédigé deux comptes-rendus de ce problème après l’avoir mis en oeuvre chaque année et deux de ses séances ont pu être observées ;– il nous permet d’illustrer l’utilisation des images animées sur le site Web ;
– c’est un problème numérique posé dans un cadre géométrique, ce qui permet aussi d’illustrer la variété des problèmes retenus ;
– enfin, comme nous venons de le rappeler, nous l’avons étudié comme exemple de l’approche ERMEL.
La présentation des problèmes Golf et Cordes commence par une analyse didactique composée d’une résolution du problème et d’une analyse a priori. Elle se poursuit en précisant la présentation faite sur le site Web, les modifications effectuées et leurs motivations. Enfin, nous explicitons cer- tains choix laissés aux enseignants pour mettre en oeuvre ces problèmes dans leur classe. En effet, nous avons vu que, pour des raisons liées au design de l’expérimentation, telles la préservation d’un espace de négociation de sens et de liberté pour les enseignants et la taille des documents présentés, tous les éléments nécessaires ne sont pas décrits ou approfondis sur le site Web. L’enseignant doit donc aller au-delà des ressources proposées.
178Nous avons analysé ce problème dans le chapitre précédent à la section 4.4.1 page 129. 179Cf. à partir de la page 4.4.1 page 127.
4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS