Analyse du contenu des I.O

L’analyse du contenu des I.O. consiste à parcourir ces documents, à noter et commenter les de- mandes et recommandations qui concernent les activités RPP. En premier lieu, nous allons étudier simultanément le programme et le document d’application du cycle 3. En effet, leur complémen- tarité est explicitement évoquée dans les programmes104_{et plusieurs extraits sont redondants entre} les deux documents. Nous allons reprendre en partie le plan que nous avons déjà utilisé plus haut pour l’étude des expérimentations en étudiant successivement : le projet global, ce qui relève de la nature des activités proposées aux élèves et ce qui relève des acteurs. Nous étudierons en second lieu du document d’accompagnement Des problèmes pour chercher, essentiellement en suivant le plan du document. Ceci doit nous permettre de savoir s’il apporte des informations supplémentaires et utiles par rapport aux deux premiers documents.

Le programme et le document d’application

Commençons par une présentation générale du projet d’intégration des activités de mathéma- tiques et en particulier des activités RPP au sein de l’enseignement et des apprentissages.

La durée hebdomadaire de l’enseignement de mathématiques est compris entre 5h et 5h30. Cet enseignement doit faire l’objet d’un lien avec l’enseignement de la maîtrise de la langue orale et écrite qui est qualifiée d’✭✭ objectif majeur ✮✮ (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a, p. 167) de

d’applicationou aux documents d’accompagnement.

102_{L’école primaire en France comprend l’école maternelle (enfants de moins de 6 ans) et l’école élémentaire (enfants}

de 6 ans à 10 ans). La scolarité est découpée en cycles. Le cycle 1 ou cycle des apprentissages premiers comprend toutes les classes de l’école maternelle. Le cycle 2 ou cycle des apprentissages fondamentaux comprend la dernière année de maternelle et les deux premières années de l’élémentaire. Le cycle 3 ou cycle des approfondissements comprend les trois dernières années de l’école élémentaire.

103_{Cf.http://www.education.gouv.fr/bo/.} 104

✭✭ Les présents programmes renouent avec la tradition qui consistait à expliciter de manière détaillée non seulement les contenus d’enseignement arrêtés, mais aussi les méthodes et l’organisation des activités susceptibles de les appliquer de manière efficace et cohérente. [. . .] Néanmoins, sur plusieurs points, ils méritent d’être encore plus explicités, [. . .] Ils sont donc complétés par des documents d’application qui donnent toutes les précisions nécessaires à leur mise en oeuvre ✮✮ (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a, p. 54).

l’école élémentaire. L’enseignement de la maîtrise de la langue est aussi liée à d’autres enseigne- ment disciplinaires : ✭✭ Le [cycle 3] a pour objectif central d’assurer la maîtrise du langage, à l’oral comme à l’écrit. Chaque activité pédagogique, chaque situation scolaire sont autant d’occasions d’un travail sur l’expression qui constitue la moitié de l’horaire ✮✮ (Ministère de l’Éducation Na- tionale 2002a, p. 33). Des précisions sont apportées quant aux compétences à travailler, plusieurs concernent directement notre sujet et un tableau récapitule de manière concise certaines des com- pétences liées à la maîtrise de la langue qui sont particulièrement à travailler en mathématiques en cycle 3 dans les domaines de l’oral, de la lecture et de l’écriture105_.

Les activités de mathématiques sont aussi à placer dans ✭✭ le cadre d’une éducation scientifique large ✮✮ (ibid., p. 38) et sont ✭✭ tout naturellement centré[es] sur la résolution de problèmes ✮✮ (ibid., p. 38). L’apprentissage a une visée plus large que d’acquérir des connaissances mathématiques :

Les connaissances et les savoir-faire développés au cycle 3 doivent contribuer au dé- veloppement d’une pensée rationnelle, à la formation du citoyen, et permettre de bé- néficier au mieux de l’enseignement donné au collège. Ce triple impératif concerne aussi bien les connaissances que doivent acquérir les élèves que leur capacité à les mobiliser, de façon autonome, pour résoudre des problèmes(ibid., pp. 225-226). La portée de l’enseignement est encore précisée dans le document d’application :

Une dimension culturelle

Faire des mathématiques, penser des objets ✭✭ abtraits ✮✮ comme les nombres, les fi- gures, débattre du ✭✭ vrai ✮✮ et du ✭✭ faux ✮✮ en utilisant des connaissances partagées qui permettent de dépasser l’argument d’autorité, c’est commencer à s’approprier des éléments de la culture scientifique. Cette culture se caractérise certes par des connais- sances, mais elle s’exerce principalement à travers les activités de résolution de pro- blèmes et les débats auxquels peuvent donner lieu les solutions élaborées par les élèves (Ministère de l’Éducation Nationale 2002c, p. 5).

Enfin, l’utilisation des manuels est assez explicitement requise : ✭✭ Les manuels doivent rede- venir les instruments de travail qu’ils n’auraient jamais dû cesser d’être. Ils offrent aux élèves de multiples occasions de lectures et de recherches autonomes que ne permet pas la multiplication de photocopies, expression du savoir fragmenté ✮✮ (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a, p. 54).

Dans ces documents, on trouve donc une vision large et ambitieuse de l’enseignement des ma- thématiques.

Nature des activités Les contextes envisageables pour mener les activités mathématiques et les modalités de gestion doivent être variés106_{. Le document d’application donne des indications sur} l’organisation de la classe : ✭✭ Les séances d’enseignement comportent en général différentes phases, avec des modes d’organisation diversifiés. Les phases de recherche sont souvent plus efficaces et plus riches si elles sont conduites en petits groupes ou en ateliers, facilitant la confrontation des idées entre pairs et favorisant l’intérêt de tous les élèves pour la tâche proposée ✮✮ (Ministère de

105_{Cf. notamment (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a, pp. 170-171, 175).} 106

✭✭ Les situations sur lesquelles portent les problèmes proposés peuvent être issues de la vie de la classe, de la vie courante, de jeux, d’autres domaines de connaissances, ou s’appuyer sur des objets mathématiques (figures, nombres, mesures. . .). Elles sont présentées sous des formes variées : expérience concrète, description orale, support écrit (texte, document, tableau, graphique, schéma, figure) ✮✮ (ibid., pp. 225-226).

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

l’Éducation Nationale 2002c, p. 10). Il précise aussi, par exemple, la manière dont on peut présenter les problèmes : à l’oral avec l’aide d’un matériel, à l’oral avec l’aide de quelques éléments écrits au tableau, sous forme d’un énoncé écrit qui devra ensuite être reformulé et explicité à l’oral107_{. Par} ailleurs, les programmes soulignent l’attention que les enseignants doivent porter aux productions des élèves à divers moments de leur enseignement. On retrouve à plusieurs endroits l’insistance sur (1) l’intérêt des procédures personnelles et (2) le thème de la continuité avec les apprentissages initiés en cycle 2108_.

Le document d’application présente spécifiquement les ✭✭ problèmes de recherche ✮✮, autrement dit, les activités RPP, en mettant l’accent sur plusieurs de ses caractéristiques109 _{et en insistant à} plusieurs endroits sur le rôle primordial de l’enseignant. On lit par exemple que :

Dans ces activités, l’enseignant doit créer les conditions d’une réelle activité intel- lectuelle des élèves. Lors de la résolution d’un problème, les élèves ne doivent pas se lancer trop vite dans un calcul avec les nombres de l’énoncé, ou appliquer ce qui vient d’être étudié en classe, sans s’interroger sur la pertinence des connaissances utilisées et sur la plausibilité du résultat. Ils doivent être mis en situation de prendre en charge les différentes tâches associées à la résolution d’un problème :

– faire des hypothèses et les tester ;

– élaborer une démarche pertinente afin de produire une solution personnelle ; – organiser par un raisonnement différentes étapes d’une résolution ;

– vérifier par eux-mêmes les résultats obtenus ; – formuler une réponse dans les termes du problème ; – expliquer leurs méthodes, les mettre en débat, argumenter (ibid., p. 8).

D’une part, les activités RPP sont distinguées des activités RPP/ONT et des exercices d’applica- tions plus ou moins directes et, d’autre part, il est souligné, implicitement, que les potentiels d’une activité dépendent du contexte de la classe et de la gestion de l’enseignant110_.

107_{Cf. (Ministère de l’Éducation Nationale 2002c, pp. 8-9).}

108_{On lit par exemple que : ✭✭ Au travers de ces activités, le développement des capacités à chercher, abstraire, raisonner,}

prouver, amorcé au cycle 2, se poursuit. Pour cela, il est nécessaire de prendre en compte [Dans le document d’application (pp. 225-226), c’est l’expression “porter une attention particulière” qui est utilisée] les démarches mises en oeuvre par les élèves, les solutions personnelles qu’ils élaborent, leurs erreurs, leurs méthodes de travail, et de les exploiter dans des moments de débat ✮✮ (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a, pp. 225-226).

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✭✭ Dès l’école élémentaire, les élèves peuvent être confrontés à de véritables problèmes de recherche, pour lesquels ils ne disposent pas de solution déjà éprouvée et pour lesquels plusieurs démarches de résolution sont possibles. C’est alors l’activité même de résolution de problèmes qui est privilégiée dans le but de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d’ordre méthodologique : émettre des hypothèses et les tester, faire et gérer des essais successifs, élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter. Ces situations peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leur imagination et leur désir de chercher, leurs capacités de résolution et la confiance qu’ils peuvent avoir dans leurs propres moyens ✮✮ (Ministère de l’Éducation Nationale 2002c, p. 7).

110

✭✭ Les activités relatives à la résolution de problèmes portent sur : des problèmes de recherche, c’est-à-dire des problèmes pour lesquels l’élève ne dispose pas de démarche préalablement explorée : certains de ces problèmes sont utilisés pour permettre la construction de connaissances nouvelles, d’autres sont davantage destinés à placer l’élève en situation de chercher, d’élaborer une solution originale ; des problèmes destinés à permettre l’utilisation des acquis antérieurs dans des situations d’application et de réinvestissement ; des problèmes destinés à permettre l’utilisation conjointe de plusieurs connaissances dans des situations plus complexes. Certains problèmes offrent l’occasion de mettre en relation des connaissances numériques et des connaissances géométriques, alors que d’autres problèmes peuvent se situer en dehors du domaine numérique (problèmes purement géométriques, problèmes de type logique...). Un même

Les attentes de l’institution sont donc décrites avec un certain souci du détail et avec insistance puisque l’on retrouve plusieurs des extraits proposés ici dans le document Des problèmes pour chercheret dans le document d’application du cycle 2. La liaison avec le collège est aussi évoquée au travers de l’apprentissage de la démarche de preuve111_.

Rôles, motivations et contraintes des acteurs Contrairement à certaines expérimentations étu- diés plus haut, les chercheurs mathématiciens ne sont pas cités dans les documents. En précisant la nature des activités à mener en classe, on a déjà vu le rôle attendu de l’élève. De même, on a vu le rôle important donné à l’enseignant qui est chargé justement de préserver la nature de ces activités, nous n’y reviendrons pas. On note que ce dernier doit s’assurer de la maîtrise de cer- taines compétences exigées des élèves à la sortie du cycle 3 dans les programmes et le document d’application112_:

– utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes ;

– chercher et produire une solution originale dans un problème de recherche, mettre en oeuvre un raisonnement, articuler les différentes étapes d’une solution ;

– formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit et les exposer orale- ment ;

– contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution ;

– identifier des erreurs dans une solution en distinguant celles qui sont relatives au choix d’une procédure de celles qui interviennent dans sa mise en oeuvre ;

– argumenter à propos de la validité d’une solution. (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a, p. 234)

De plus, le lien avec l’apprentissage de la maîtrise de la langue annoncé plus haut est encore explicité. Il prend notamment place dans des phases collectives et de débat où l’enseignant à un rôle à jouer en apportant le vocabulaire spécialisé quand c’est nécessaire. L’enseignant doit aussi être attentif aux difficultés que peuvent causer certains énoncés écrits113_.

Conclusion sur le contenu du programme et du documents d’application Dans le programme et le document d’application, l’accent est donc mis sur l’objectif majeur qui est la maîtrise de la langue. Celle-ci est à travailler dans toutes les disciplines dont les mathématiques, tant à l’oral qu’à l’écrit. L’enseignement des mathématiques est conçu dans le cadre plus large de l’éducation

problème, suivant le moment où on le propose, les connaissances des élèves à qui on le destine et la gestion qui en est faite, peut relever de l’une ou l’autre des catégories ✮✮ (Ministère de l’Éducation Nationale 2002c, p. 13).

111

✭✭ Au cycle 3, les élèves apprennent progressivement à formuler de manière plus rigoureuse leurs raisonnements, s’essaient à l’argumentation et à l’exercice de la preuve ✮✮ (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a, pp. 225-226).

112_{L’ensemble de ces compétences sont rappelées page 13 du document d’application du cycle 3. À la suite de la}

dernière compétence, il a été ajouté ✭✭ [...] produite par soi-même ou par un camarade (ceci suppose que les élèves ne pensent pas que la démarche est unique, et donc que l’enseignant accepte des démarches différentes) ✮✮. L’incidence de l’activité de l’enseignant est donc encore ici mis en exergue.

113

✭✭ Dans les moments de réflexion collective et de débat qui suivent le traitement des situations, l’usage ordinaire de la langue orale et les formulations spontanées des élèves prévalent. Ils sont toutefois complétés par le recours à un lexique et à des formulations spécifiques, nécessaires à la rigueur du raisonnement. Une attention particulière doit être portée aux difficultés de lecture des énoncés que rencontrent de nombreux élèves afin, d’une part, de ne pas pénaliser les élèves dont l’autonomie face à l’écrit est insuffisante, d’autre part, de travailler les stratégies efficaces de lecture de ces types de textes. L’écriture comporte, en mathématiques, différentes formes qui doivent être progressivement distinguées : écrits pour chercher, écrits pour communiquer une démarche et un résultat, écrits de référence ✮✮ (ibid., pp. 225-226).

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

scientifique des élèves et l’importance du rôle de la résolution de problèmes dans l’apprentissage des mathématiques est rappelée. Une typologie propose de distinguer les activités RPP des RPP/ONT et des exercices d’applications plus ou moins directes.

À plusieurs endroits, l’attention de l’enseignant est explicitement attirée sur plusieurs des rôles importants qu’il a notamment à jouer :

– dans le choix judicieux des problèmes de recherche proposés aux élèves en fonction de divers critères ;

– en étant attentif aux difficultés de certains élèves devant les énoncés écrits. Il doit prévoir de faire travailler les stratégies efficaces de lectures des énoncés mathématiques ;

– quant aux choix des supports et des modalités de travail parmi la variété qui est envisageable ; – quant à la nécessité de s’appuyer sur les productions des élèves et sur des débats au sein de la

classe.

Le document d’accompagnement Des problèmes pour chercher

Le document d’accompagnement Des problèmes pour chercher s’appuie sur le plan suivant : – référence au programme de l’école primaire et aux documents d’application des cycles 2 et 3 ; – présentation de quatre fonctions de la résolution de problèmes ;

– narration d’un épisode de recherche en CM1/CM2 ; – caractéristiques du ✭✭ problème pour chercher ✮✮ ;

– pourquoi des ✭✭ problèmes pour chercher ✮✮ à l’école primaire ; – modalités de mise en oeuvre du ✭✭ problèmes pour chercher ✮✮ ; – ✭✭ problèmes pour chercher ✮✮ du cycle 1 au cycle 3

– ressources pour trouver de tels problèmes.

Comme nous l’avons déjà signalé précédemment114_{, le début du document reprend des passages} du programme et des documents d’application. Le paragraphe titré Plusieurs fonctions pour la ré- solution de problèmesprésente, sous une forme différente, la même typologie de problèmes que celle proposée dans le document d’application mais, d’une certaine manière, l’intérêt propre des deux catégories d’activités de recherche, RPP et RPP/ONT, est comme minoré : ✭✭ Dans ce dernier cas, nous parlerons de “problèmes pour chercher” alors que dans les précédents nous pourrions parler de “problèmes pour apprendre”115_{, en soulignant l’aspect réducteur de ces dénominations,} puisque, dans tous les cas, l’élève mobilise des connaissances et se trouve placé en situation de recherche ✮✮. Ainsi, on peut ne plus trop savoir s’il est intéressant de distinguer ou non les deux catégories présentées alors que le document souhaite justement expliquer l’intérêt de la première.

Le document propose, sur deux pages A4, la narration d’un ✭✭ épisode de recherche ✮✮ dans une classe de CM1/CM2. Cet épisode n’est pas analysé, ce qui fait qu’on ne sait pas s’il est ou non fictif, s’il doit être considéré ou non comme un modèle, s’il s’est déroulé ou non comme prévu, si des alternatives sont possibles et intéressantes à mettre en oeuvre. Espérant obtenir de ce texte des informations opérationnelles, nous faisons l’hypothèse plausible qu’il est représentatif d’une séance relativement ✭✭ bien gérée ✮✮ et, sous cette hypothèse, nous avons parcouru la narration de cet épisode en notant les points qui, selon nous, seraient susceptibles d’un questionnement de la part des enseignants. Dans le tableau 4.1 page suivante, nous ne reprenons pas la totalité de notre analyse

114_{Cf. page 115.}

mais seulement quelques extraits représentatifs du document accompagné d’une interprétation ou d’un questionnement plausible d’un enseignant.

Extraits ou résumés d’extraits Interprétation ou questionnement La maîtresse partage sa classe de CM1-

CM2 en cinq groupes de quatre élèves et un groupe de trois élèves.

Il y a possibilité de mener un problème pour chercher dans une classe double niveau. Les groupes n’ont pas à être de même taille mais il n’y a pas d’indications sur la forma- tion des groupes. Faut-il par exemple mélanger les niveaux d’enseignement au sein des groupes ?

[...] [...]

L’enseignante donne les consignes du travail personnel puis en groupes, in- dique des durées

On comprend qu’il faut donner une certaine structure à la recherche et préparer les élèves à la mise en commun avec des consignes précises comme celles données dans l’épi- sode. Les raisons de ces choix ne sont pas indiquées. Y a-t-il des options valables ou non (durées, recours aux af- fiches, etc.) ?

[...] [...]

L’enseignante donne le signal du travail de groupe

Pourquoi travailler en groupes à ce moment ? Y a-t-il des moyens de gérer efficacement ce passage ? Et si les élèves n’ont pas l’habitude de travailler en groupes ?

[...] [...]

L’enseignante passe dans les groupes mais n’apporte pas d’indication sus- ceptible d’orienter le travail des élèves

Est-ce toujours tenable ou utile ? Que faire si des groupes ou des élèves semblent ne pas avancer ?

Ces observations lui permettront de mieux gérer la mise en commun qu’elle va organiser.

Qu’observe l’enseignante pour mieux gérer la mise en commun ? Quelles exploitations en déduit-elle ?

[...] [...]

L’enseignante ouvre un débat sur les différents types d’erreurs puis sur l’uni- cité de la réponse

Comment cela s’est-il déroulé ?

[...] [...]

L’enseignante reprend une semaine plus tard sur un problème de même structure

Raisons de ce choix ? Options ? Risque de tomber dans une ✭✭ application ✮✮ quand bien même chaque groupe aurait des nombres différents ? Est-ce souhaitable ?

TAB. 4.1: Discussion de l’✭✭ épisode de recherche ✮✮.

À partir de ces quelques extraits, nous voyons que l’épisode relaté est susceptible d’évoquer un grand nombre de questions chez l’enseignant souhaitant pratiquer des activités RPP avec ses élèves. Les options qui s’offrent à lui et les moments qui ne se dérouleraient pas comme prévus ne sont pas évoqués dans cet épisode ✭✭ judicieusement bien choisi ✮✮. On pourrait décrire brièvement l’épisode relaté ainsi : ✭✭ C’était une bonne situation et tout s’est bien passé dans cette classe où tous les élèves se sont impliqués sauf peut-être certains dans la phase individuelle du début... ✮✮ et on serait tenter

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS d’ajouter ✭✭ ...comme dans un conte de fées... ✮✮

Les trois sections suivantes sont intitulées Caractéristiques du ✭✭ problème pour chercher ✮✮, Pourquoi des ✭✭ problèmes pour chercher ✮✮ à l’école primaire et Les modalités de mise en oeuvre du ✭✭ problème pour chercher ✮✮, elles apportent davantage d’aides opérationnels aux enseignants. En premier lieu, il faut noter que les cinq objectifs justifiant la pratique des problèmes pour chercher ne sont pas spécifiques aux mathématiques116_{et que le rôle du contre-exemple, de la valeur du vrai} et du faux en mathématiques ne sont, par exemple, pas évoqués. En second lieu, le texte décrit ce qu’il faut faire et différentes manières de le faire. Plusieurs points, dont certains déjà vus dans le