Golf selon ERMEL - Les activités RPP dans la littérature professionnelle

4.4 Les activités RPP dans la littérature professionnelle

4.4.1 Golf selon ERMEL

Nous avons choisi d’analyser le problème Golf , que l’on retrouve dans deux ouvrages de la collection ERMEL139_{, programmé dans (ERMEL CE2, p. 62-64) en fin d’année scolaire et dans} (ERMEL CM2, p. 56-62) en début d’année scolaire ce qui en fait a priori un bon candidat pour un enseignant du cycle 3 qui souhaiterait débuter dans la pratique des activités orientées preuve entre pairs notamment parce qu’il est proposé au début et à la fin de ce cycle. Ainsi, chaque classe de ce niveau est concernée ainsi que les classes à double ou triple niveau du même cycle. Le fait que l’équipe ERMEL ait probablement testé ce problème dans de nombreuses classes du cycle 3 est un critère important pour dire que ce problème peut être proposé à des élèves de ce cycle d’enseignement.

Conceptions d’ERMEL sur l’apprentissage-enseignement

Les auteurs de la collection ERMEL présentent leurs conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement au début leurs ouvrages. Celles-ci sont ouvertement de type socio-constructivistes et les auteurs reprennent, notamment dans leur partie intitulée ✭✭ Des problèmes pour apprendre à chercher ✮✮, des idées similaires à celles des promoteurs sur les ✭✭ problèmes ouverts ✮✮ étudiées plus haut. Comme eux, ils les distinguent des activités ONT et évoquent certains risques des mises en commun : présentation exhaustive et fastidieuse des productions, dérive vers une correction du problème pour montrer ✭✭ la ✮✮ bonne solution, risque de la non-intervention laissant les élèves à eux-mêmes. Dans le cas des ✭✭ situations de recherche très ouvertes ✮✮, pour reprendre leurs propres termes, et dont l’objectif est ✭✭ d’apprendre à chercher ✮✮ (ERMEL CE2, p. 23), les mises en commun servent à :

– préciser à nouveau le contrat d’une situation de recherche ; il n’y a pas nécessai- rement une seule bonne solution (celle du leader de la classe), il faut essayer de formuler sa réponse par rapport à la question réellement posée, etc. ;

– revenir sur les contraintes de la situation particulière qui n’ont pas été intégralement respectées par certains enfants ;

– mettre l’accent sur la richesse et la diversité des procédures employées140_{, sans en} effectuer un relevé systématique, sans mépris des productions erronées ou valorisa- tion excessive de procédures géniales mais marginales que les autres élèves peuvent difficilement s’approprier.

138_{Cf. la liste citée à la note 134 page 124.}

139_{ERMEL = Équipe de Recherche Mathématique à l’École Élémentaire.} 140_{Cette première partie de phrase est en gras dans le texte original.}

Le maître va donc tenter de dresser un tableau des procédures effectivement utilisées par les élèves de manière à mettre en évidence et même à valoriser la multiplicité, voire l’originalité : ✭✭ Vous voyez, on peut faire comme Arnaud, mais aussi comme Leïla. Il y a plusieurs façons de faire ✮✮. Il est important, dans ce cas, que le maître sache saisir l’occasion qui lui est offerte de développer des modes de pensée dits ✭✭ divergents ✮✮, in- dispensables à la créativité mathématique. Mais il lui faudra organiser la présentation et l’analyse des différentes procédures de façon rapide et dynamique pour conserver l’attention des élèves et ne pas les lasser, ce qui le conduirait à travailler seul au tableau !(ERMEL CE2, p. 23).

À la première lecture des présentations de (ERMEL CE2) et de (ERMEL CM2), les différences nous ont paru peu nombreuses ou mineures en ce qui concerne les activités RPP mais il y a pour- tant une différence importante d’approche entre les deux ouvrages. En effet, la présentation reprise ci-dessus illustre la position des auteurs sur les mises en commun en CE2 dont nous retenons qu’il s’agit moins d’orienter les mises en commun vers des débats sur la validité des procédures que sur un exposé des procédures en privilégiant la diversité des approches ou la proximité de la forme des solutions des élèves par rapport au problème posé. Les auteurs n’excluent pas la première option mais ils ne la retiennent pas dans leur présentation. Pourquoi se limiter à l’exposition des procédures sans discuter de leur pertinence par rapport au fond du problème ? Les procédures permettent-elles de façon sûre de résoudre le problème posé et pourquoi ? Dans le développement d’une ✭✭ atti- tude à chercher ✮✮ (ERMEL CE2, p. 36) chez les élèves, on pourrait souhaiter une insistance plus explicite pour un débat sur la validité des solutions produites. L’interrogation sur la validité des productions fait pleinement partie d’une stratégie de recherche, or, ce choix des auteurs n’est pas discuté. Ces activités ne serviraient-elles qu’à ✭✭ débloquer ✮✮ des élèves bridés par un enseignement un peu trop directif en occultant une partie essentielle de ce qui composent les mathématiques ? À l’inverse, (ERMEL CM2) évoque, lui, plusieurs fois le mot preuve et des possibilités de débats de validation dont le problème Golf fait d’ailleurs explicitement partie (ERMEL CM2, p. 50). On lit par exemple : ✭✭ Il nous paraît nécessaire de présenter explicitement aux élèves des situations dont l’enjeu principal se situe au niveau de la preuve ✮✮ (ERMEL CM2, p. 31). Cette différence de considération entre les deux niveaux d’enseignement n’est pas explicitée alors qu’on trouve des situations de preuve similaires à des niveaux inférieurs d’enseignement comme par exemple Tours et Triangles colorés dans (ERMEL CP). Enfin, nous interrogeons la pertinence de la longueur des textes consacrés aux choix des auteurs141_{. Tout d’abord, cette longueur peut sembler rédhibitoire} pour certains enseignants d’autant que les choix faits sont pleinement cohérents avec les I.O. en vigueur au moment de notre expérimentation142_{, ce qui rend donc un peu moins utile une lecture} intégrale143_{. Mais surtout, il y a peu de renvois précis entre les parties réservées à la présentation et} celles consacrées directement aux activités, ce qui nuit, selon nous, à l’utilisabilité de l’ouvrage144

141_{Une dizaine de pages au format A5 pour ce qui concerne directement les activités RPP et une trentaine de pages pour}

des éléments concernant l’ensemble de l’ouvrage.

142_{Ceci est probablement dû à l’influence d’ERMEL sur la rédaction des I.O. 2002.}

143_{Bien sûr, les ouvrages ERMEL perdurent même si les I.O. changent, ce qui justifient la présence de textes précisant}

les choix des auteurs.

144_{De plus, quand il y a des renvois vers des activités, les numéros de pages ne sont pas indiquées. Il faut donc ensuite}

consulter le sommaire pour retrouver les quelques activités citées. Inversement, dans les parties consultées consacrées aux problèmes, il n’y a pas de renvoi aux parties de présentation, par exemple pour des indications générales concernant sur les mises en commun.

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

. Comme cela se constate parfois dans l’étude des EIAH, des informations sont fournies mais elles ne sont pas rendues accessibles pour des raisons de mise en forme et d’interface.

Présentation et analyse didactique du problème Golf

La présentation du problème correspond à une équation diophantienne du type a = mb + nc à résoudre dans N dans laquelle a, b et c sont trois entiers naturels, choix implicites à l’école primaire. L’équation admet au maximum un nombre fini de solutions145_{. Quand le problème admet une solu-} tion, en supposant b > c et q le quotient de la division euclidienne de a par b, on obtient toutes les solutions en q + 1 tests de divisibilité de a − kb par c, avec k ∈ N et 0 6 k < q146_{. Cette méthode ne} permet pas de connaître le nombre de solutions sans les chercher toutes. Une autre méthode consiste à trouver la valeur M de m la plus proche possible de q (ou, ce qui revient au même, N la valeur de n la plus proche possible de 0). On a donc a = Mb + Nc, puis on utilise le fait que b × c = c × b (com- mutativité de la multiplication) pour trouver systématiquement les autres solutions en remarquant que si M > c :

a = (M − c + c) × b + N × c = (M − c) × b + c × b + N × c = (M − c) × b + (N + b) × c

Ainsi, tant que le facteur m de b est supérieur à c, on obtient de manière exhaustive une nouvelle solution à chaque itération en soustrayant c à m et en ajoutant b au facteur n de c. Si Q est le quotient de la division euclidienne de M par c, on connaît donc le nombre de solutions Q + 1 sans chercher toutes les solutions. Notons que le quotienta_b (resp.M_c) dans la première méthode (resp. la seconde) est une variable de différenciation car le nombre de calculs à effectuer pour trouver les solutions augmente avec lui.

On peut proposer ce problème à des élèves de cycle 3, en utilisant ou non le terme multiple, en le présentant sous forme d’une somme de deux multiples (forme multiplicative) ou sous forme d’une somme de b et de c égale à a. Il est évident que certaines valeurs de (a;b;c) facilitent les calculs ou permettent de trouver plus rapidement une solution de par les propriétés des nombres ou de par leur taille respective. En particulier, nous venons d’évoquer le rôle dea

bet deMc. L’usage de la calculatrice peut éviter des calculs répétitifs aux élèves ou éventuellement permettre à l’enseignant d’apporter une aide spécifique aux élèves ayant des difficultés à faire des calculs, sous réserve qu’ils aient déjà utilisé une calculatrice147_{. Ces éléments créditent l’adaptabilité de ce problème pour son} utilisation au cycle 3.

On peut supposer que les élèves, ou les enseignants de cycle 3, confrontés à ce problème vont d’abord faire quelques essais. Des élèves s’arrêteront probablement dès qu’ils auront trouvé un couple (m;n) satisfaisant la condition, notamment par manque d’habitude de traiter des problèmes à 145_{Dans le cas d’une résolution dans Z, l’équation admet une infinité de solutions si a est un multiple du PGCD(b,c) et}

aucune solution dans le cas contraire.

146_{On peut utiliser cette méthode et un tableur pour obtenir l’ensemble des solutions. On liste dans une colonne les}

valeurs potentielles de m c’est à dire les premiers nombres entiers de 0 à q. La deuxième colonne contient des recopies de la formule équivalente à (a − mb)/c. Il suffit alors de retenir les lignes qui contiennent deux nombres entiers positifs, la cellule de la deuxième colonne contenant alors n. Cette technique permet d’obtenir rapidement toutes les solutions si on veut utiliser d’autres valeurs ou simplement expérimenter des variations dans les solutions obtenues

plusieurs solutions. Un exemple de levier que l’enseignant peut mobiliser pour favoriser des débats est de proposer successivement deux cas à traiter aux élèves. On peut par exemple proposer une première situation comprenant deux solutions en demandant dès le départ de chercher toutes les solutions. Les élèves vont en trouver une et peut-être les deux mais ne seront pas, s’ils ne sont pas déjà habitués à traiter de tels problèmes, convaincus qu’il faille aller plus loin que la simple recherche plus ou moins raisonnée de solutions pour prouver qu’ils les ont toutes trouvées. Un deuxième cas, avec un nombre plus important de solutions – par exemple avec 5 ou 6 – leur permet collectivement d’en trouver au moins deux puis trois ou peut-être plus en fonction du temps de recherche, ce qui peut déjà attirer leur attention sur la variation possible du nombre de solutions et sur une incertitude de leurs résultats pour le cas en cours mais aussi pour le précédent. L’enseignant n’aurait ici qu’à ✭✭ soutenir ✮✮ cet effet en faisant remarquer aux élèves qu’ils en avaient trouvé une (ou 2) la fois précédente et qu’ils en trouvent plus cette fois mais qu’ils n’ont pour l’instant toujours pas traité la question posée ✭✭ chercher toutes les solutions ✮✮ et que, s’ils pensent avoir trouvé toutes les solutions, il faut qu’ils trouvent des méthodes, des arguments pour convaincre leurs pairs que personne ne trouvera d’autre solution plus tard. Les élèves pourront à partir de ce moment travailler à répondre à cette question pour le cas en cours ou pour le précédent et découvrir des méthodes ou des éléments de méthodes de résolutions données plus haut. Ainsi, la consigne est toujours la même depuis le début et c’est l’interprétation des élèves qui évolue. Il ne reste à l’enseignant qu’à soutenir cette évolution : trouver des solutions, trouver le ✭✭ maximum ✮✮ de solutions selon le temps imparti à la recherche, selon leur conviction de tous les avoir trouvées ou aussi selon leur motivation, et enfin prouver que l’on ne peut trouver d’autre solution. Les potentiels de recherche, de débat, de résistance et de résistance dynamique de ce problème sont affirmés dans la gestion que nous proposons pour des élèves de cycle 3. Le potentiel didactique principal, commun à ce genre de problèmes de recherche exhaustive de solutions, est constitué d’une part par la compréhension et l’acceptation par les élèves de l’intérêt de prouver l’exhaustion au-delà de la recherche de plusieurs solutions et d’autre part, dans une moindre mesure par rapport aux I.O. actuelles, par les méthodes sous-jacentes pour prouver l’exhaustivité. Il faut aussi mentionner le réinvestissement de ce qui touche aux calculs relativement nombreux et aux phénomènes de compensation.

Le problème Golf selon ERMEL

Nous examinons ici la version CE2 puis ensuite la version CM2 en faisant des liens entre les deux. Dans (ERMEL CE2), la présentation propose en deux pages et demi au format A5 une description rapide à destination des enseignants, les objectifs spécifiques, l’énoncé à destination des élèves et le déroulement découpé en trois phases. La situation est proposée dans un contexte de monnaie, il aurait pu être proposé sous une forme ✭✭ abstraite ✮✮, c’est à dire strictement mathéma- tiques148_{. Trois cas sont prévus : il s’agit avec des pièces de 2 e et de 5 e d’obtenir 23 e dans une} première phase, 54 e dans la deuxième, 81 e et 33 e dans la troisième. On verra plus loin, avec le cas ✭✭ 54e ✮✮, qu’il y a une ambiguïté non signalée dans l’énoncé149_{. Les objectifs annoncés sont} de ✭✭ gérer des procédures par essais pour chercher toutes les possibilités, identifier les variables caractérisant un essai [...], relire les essais antérieurs pour comparer les solutions ✮✮ mais dans la 148_{D’autres problèmes proposés sont ✭✭ abstraits ✮✮. Les auteurs sont conscients de cette différence, puisqu’ils l’évoquent}

en début d’ouvrage (ERMEL CE2, pp. 19-20), mais il ne l’évoquent pas à propos de ce problème.

149_{L’énoncé est le suivant : ✭✭ On veut faire 23 e (ou 54 e ou 81 e) avec des pièces de 2 e et des pièces de 5 e. Quel}

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

formulation de l’énoncé et les explications de cette première phase, on ne sait pas vraiment s’il faut chercher ✭✭ des ✮✮ solutions ou ✭✭ les ✮✮ solutions. D’autre part, le choix de (b;c) = (2;5) n’est pas justifié par les auteurs mais il nous semble judicieux car les seules tables de multiplication exigibles à la fin du cycle 2 sont celles de 2 et de 5150_{. Cette situation étant proposée en fin d’année, on peut} supposer que les élèves les connaissent très bien ce qui peut éventuellement favoriser l’apparition de notations multiplicatives. Enfin, l’intérêt possible de la calculatrice ou des valeurs pour (b;c) n’est pas discutée ce qui peut limiter l’adaptabilité et donc l’utilisabilité.

La première phase vise l’appropriation du problème par les élèves : la recherche est prévue pour 5 à 10 minutes, seule durée précisée dans le déroulement complet de l’activité. Les auteurs demandent à l’enseignant de repérer les élèves qui ont les plus grandes difficultés à comprendre le problème et proposent une aide possible pour l’enseignant dans un cas particulier. La mise en commun qui suit la recherche a pour objectif de ✭✭ permettre aux élèves de mieux saisir toutes les contraintes de l’énoncé en s’appuyant sur des erreurs commises ✮✮. Les erreurs possibles des élèves sont évoquées, elles sont directement liées à l’adéquation des réponses avec l’énoncé : utilisation de soustractions, oubli d’une contrainte de l’énoncé, formulation des solutions en réponse directe à l’énoncé. Les auteurs précisent ensuite que : ✭✭ Il s’agit aussi de montrer qu’il y a plusieurs solutions en affichant des productions telles que :5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 = 23 et 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 23 ✮✮. Bien que cette éventualité soit probable car il n’y a que deux solutions, ils ne disent pas ce qu’il faut faire si les élèves ont tous la même solution. Ils écrivent aussi que ✭✭ Les élèves devront comprendre qu’il ne suffit pas de faire des calculs ; ils doivent les interpréter et formuler les réponses dans les termes de l’énoncé ✮✮ et donnent quatre exemples différents basés sur des démarches de recherche d’élèves différentes pour finir par le commentaire suivant :

Il faudra faire formuler le raisonnement suivi et les réponses sans pour cela institutionnaliser ce mode d’organisation. Le maître montrera qu’il y a plusieurs écritures pour représenter une solution en affichant des productions telles que :

– 5 + 2 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 = 23 ; – 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 = 23 ;

– et (3 × 5) + 2 + 2 + 2 + 2 = 23 (écritures additives utilisant la commutativité de l’addition) ;

– ou (3 × 5) + (4 × 2) = 23 (écritures additives utilisant la multiplication).

À la suite des diverses méthodes de recherche et façons de présenter une solution qui sont évo- quées, l’enseignant peut donc constater que les productions des élèves peuvent être relativement variées. Paradoxalement, la description de ce qu’il doit prioritairement faire, bien que riche, n’est pas claire. D’une part, il est demandé, sans que la raison en soit donnée, à l’enseignant de ne pas institutionnaliser un mode d’organisation151 _{et, d’autre part, il est aussi demandé, sans plus d’ex-} plication, de montrer plusieurs écritures bien qu’il ne soit pas sûr qu’elles apparaissent dans les productions effectives des élèves152_{. Enfin, en supposant que c’est un des objectifs que d’aller vers} la recherche de toutes les solutions – nous avons vu que ce n’est pas sûr –, rien n’est dit à ce sujet et notamment les solutions et le nombre de solutions (2) de ce cas ne sont pas donnés. Autrement

150_{Cf. (Ministère de l’Éducation Nationale 2002a).}

151_{Les auteurs auraient pu ici rappeler que ce n’est pas l’objectif de l’activité ou renvoyer à leur présentation du module}

et de l’ouvrage.

152_{On peut penser que ces propositions sont vraisemblablement étayées par les nombreuses expérimentations menées}

dit, plusieurs éléments utiles sont donnés à l’enseignant mais les éléments de guidage des décisions qu’il devra prendre ne sont pas entièrement explicités alors que le milieu dans lequel évoluera probablement l’enseignant pendant le déroulement effectif s’annonce relativement incertain. Ceci nous semble réduire l’utilité et l’utilisabilité du document. À l’inverse, l’utilité est créditée lorsque les auteurs expliquent le choix du nombre de 23 : ✭✭ il provoque toutes les erreurs signalées précédem- ment permettant de mettre l’accent sur les contraintes de l’énoncé ; le nombre 24, par exemple, donnerait rapidement une solution à partir de la décomposition canonique (20 + 4) sans pour cela garantir la compréhension totale du problème ✮✮.

La deuxième phase est proposée avec l’énoncé : ✭✭ Il faut faire 54 e avec des pièces de 5 e et de 2 e. Il y a 5 façons différentes de prendre des pièces de 5 e et de 2 e, vous les cherchez toutes ✮✮. Les auteurs indiquent que 54 ✭✭ permet d’employer la multiplication, la gestion des écritures additives étant plus difficile qu’avec le nombre 23. Le fait de donner le nombre de solutions incite les élèves à chercher plusieurs solutions ✮✮. Ils indiquent une première étape de recherche individuelle et de confrontation par deux, suivie d’une mise en commun : ✭✭ [...] on insiste plus sur les reformulations en termes de pièces à partir des procédures multiplicatives et surtout sur la nécessité d’organiser ses essais pour être sûr de ne pas récrire la même solution ✮✮. Exceptées les indications concernant les modalités de travail des élèves – individuelle, confrontation par groupes – ces indications sont donc similaires à celles de la première phase et n’incitent pas à conclure sur la question d’avoir obtenu ou non toutes les solutions comme l’indique un des objectifs annoncés de cette activité. La taille des groupes – deux élèves – ne fait pas l’objet d’explication. D’autre part, nous notons que le nombre de solutions, qui cette fois est indiqué, écarte implicitement une solution et met en évidence une ambiguïté dans l’énoncé. En effet, le texte de l’énoncé indique ✭✭ des pièces de 5 e et

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