Deux exemples : Golf et Cordes

Le problème Golf

Nous avons fait l’analyse didactique du problème Golf à la section 4.4.1 page 129.

Présentation initiale sur le site Web Les informations présentes sur le site Web concernant Golf et ses modifications successives sont intégralement reproduites à partir de la page 360. Dans ce qui suit et pour faciliter la lecture, nous reproduisons et analysons successivement chaque rubrique de ce problème.

Sur le site Web, la Présentation du problème Golf est ainsi faite : Présentation

Le problème

Le problème consiste à atteindre un nombre à partir de multiples de deux autres nombres. Un exemple

Atteindre 23 à l’aide de multiples de 2 et de 5. On trouve par exemple2 × 4 + 3 × 5 = 23. Cet exemple est proposé dans le ERMEL CM2.

La présentation faite est similaire à celle de (ERMEL CM2, pp. 56-62). Le verbe ✭✭ atteindre ✮✮, aussi employé dans le ERMEL, est relativement peu précis car il n’indique pas explicitement les opérations permises. Son emploi est donc discutable et pourrait inciter les enseignants à le remettre en cause durant l’expérimentation et donc provoquer des échanges à propos de la formulation de l’énoncé pour les élèves et sur le site Web. Nous avons éclairci cet aspect lors de la première réunion181_{. Cependant, une recherche avec des soustractions et des additions de multiples peut} convaincre qu’il y a dans ce cas une infinité de solutions lorsque l’on en trouve au moins une. L’expression ✭✭ additions successives ✮✮ utilisée dans le ERMEL CM2 est remplacée par l’emploi du terme de multiple. L’addition est largement utilisée dans le cycle 2 et le terme multiple est davantage caractéristique du cycle 3 ce qui nous semble susceptible d’attirer l’attention des enseignants et de faciliter l’adoption de ce problème. Enfin, à l’inverse de (ERMEL CM2), nous n’avons pas utilisé plusieurs écritures de la solution. Ceci ne semble pas utile dans cette rubrique où nous présentons le problème et non les différentes façons de le résoudre ou d’écrire une solution.

Passons à la rubrique Exemples :

Exemples

Exemple 1

Atteindre 41 avec 8 et 3

Il y a plusieurs solutions (2 exactement) : – 4 × 8 + 3 × 3

– 8 × 8 + 11 × 3182

Exemple 2

Atteindre 97 avec 8 et 3

Ici, le nombre de solutions est plus grand :

181_{Réunion R1-I, à laquelle seuls 3/7 des enseignants étaient présents.}

182_{Le 9 novembre (II), nous avons corrigé par 1 × 8 + 11 × 3 en 8 × 8 + 11 × 3. Aucun enseignant ne nous a signalé}

– 11 × 8 + 3 × 3 – 8 × 8 + 11 × 3 – 5 × 8 + 19 × 3 – 2 × 8 + 27 × 3

On peut demander aux élèves de chercher le plus de solutions possibles. Exemple 3 Atteindre 92 avec 5 et 3 Les solutions : – 16 × 5 + 4 × 3 – 13 × 5 + 9 × 3 – 10 × 5 + 14 × 3 – 7 × 5 + 19 × 3 – 4 × 5 + 24 × 3 – 1 × 5 + 29 × 3

On peut demander aux élèves de prouver qu’ils obtiennent toutes les solutions. Exemple 4

Atteindre 23 à l’aide de multiples de 2 et de 5. Les solutions :

– 2 × 4 + 3 × 5 = 23 – 2 × 9 + 1 × 5 = 23

Cet exemple est proposé dans le ERMEL CE2.

Quatre instanciations du problème sont proposées c’est à dire autant que dans le ERMEL CE2. Les trois premiers exemples sont ceux du ERMEL CM2, dans le même ordre, et le quatrième est celui qui est proposé en premier par le ERMEL CE2 et qui est aussi donné en illustration de la ✭✭ description rapide ✮✮ du ERMEL CM2. La ressource indique explicitement que le nombre de solutions diffère selon les exemples et les solutions sont toutes données, un peu à la manière du ERMEL CM2183_{. Les exemples 1 et 4 sont différents mais donnent le même nombre de solutions.} La numérotation des exemples, les commentaires qui accompagnent les exemples, peuvent suggé- rer plus ou moins implicitement une progression intéressante dans les exemples. Aucune consigne directement destinée aux élèves n’est proposée, les commentaires sont rédigés sous forme de pro- position et aucun déroulement n’est imposé. Avec ces informations, l’enseignant a donc le choix du ou des exemples qu’il souhaite traiter et de l’organisation didactique. Il peut par exemple :

– ne traiter qu’un cas.

– traiter deux cas avec le même nombre de solutions avec les exemples 1 et 4 : 41 est presque le double de 23, les élèves pourraient être surpris de ne pas trouver un nombre plus grand de solutions.

– traiter deux cas avec le même nombre de solutions (exemples 1 et 4) puis traiter un cas avec un nombre de solutions supérieur (exemple 2 ou 3) ce qui permet de susciter un doute chez les élèves qui auraient pu généraliser hâtivement.

– traiter l’exemple 1 puis le 2 dans le même esprit.

– traiter l’exemple 2 ou 3 puis le 1 ou le 4. Les élèves ayant probablement trouvé plus de deux solutions dans le premier cas, seront d’autant plus surpris de ne pas en trouver autant dans le deuxième.

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

Dans quasiment tous les cas, selon notre analyse a priori, une dynamique fondée sur le nombre trouvé de solutions peut permettre à l’enseignant de favoriser un débat sur l’exhaustivité des so- lutions. Si l’enseignant ne traite qu’un seul cas, cette dynamique est plus improbable mais il peut encore miser sur l’expérience des élèves s’il a pu mener un tel problème avec ces élèves184_.

Nous avons vu plus haut que le terme atteindre de la présentation est imprécis. Le commentaire de l’exemple 1 qui indique qu’il y a exactement deux solutions et la forme des solutions de chaque exemple permet d’écarter implicitement l’utilisation de la soustraction, de la multiplication et de la division de multiples. Enfin, l’accompagnement de la CoP est aussi là pour gérer les interrogations concernant l’interprétation de l’énoncé.

Passons à la rubrique Preuve du problème : Preuve

Prenons l’exemple ✭✭ Atteindre 41 avec 8 et 3 ✮✮, ce problème revient à chercher x et y, deux nombres entiers qui vérifient l’équation à deux inconnues :3x + 8y = 41.

Pour trouver la ou les solutions, on peut tester successivement des valeurs de x et déduire la valeur de y (ou l’inverse). Par exemple, on essaye successivement x = 0,1,2, etc. et on cherche l’éventuelle valeur de y correspondante.

Inversement, si on commence par choisir des valeurs de y, on peut voir plus rapidement si le complément à 41 est un multiple de 3 ou non. En effet, il y a moins de multiples de 8 inférieurs à 41 que de multiples de 3.

On peut aussi utiliser l’égalité : y = (41 − 3x)/8.

Ceci permet, en remplaçant x par la valeur choisie, de calculer directement y. L’utilisation d’un logiciel de type tableur facilite l’obtention de la liste des solutions avec cette formule. Il suffit de ne garder que les solutions entières.

La preuve est similaire à une de celles données dans le ERMEL CM2. Basée sur un cas qui n’a que deux solutions, elle utilise des notations algébriques et le fait que l’on peut tester un en- semble de nombres fini et borné par E[41|8]. Nous jugeons ces éléments comme peu pertinents étant donné la formation mathématiques générale des enseignants de l’école primaire. Cependant, nous les avons tout de même conservés. En effet, la différence, ici, est que le dispositif propose un accompagnement des enseignants et que l’on souhaite favoriser des discussions sur la formulation de cette preuve rédigée à leur intention : Est-elle compréhensible ? Utile ? Faut-il faire des modifi- cations ? Nous n’avons pas indiqué la deuxième méthode décrite dans notre analyse a priori et dans le ERMEL CM2. Cette première preuve est a priori compréhensible par les enseignants et l’ajout de la deuxième aurait nécessité davantage de texte. Cela ne nous a pas paru opportun.

La possibilité d’utiliser un tableur est indiquée pour le cas ✭✭ 41 avec 8 et 3 ✮✮ ce qui peut suggérer d’utiliser cette méthode pour trouver rapidement toutes les solutions. Il aurait été possible de propo- ser le calcul et l’affichage des solutions directement en ligne plutôt que de recourir à un tableur. En cohérence avec la dimension Conçu/Émergent du design de l’expérimentation, nous pensions que cette option était susceptible d’émerger de l’activité de la CoP.

Modifications du problème Golf La partie Commentaires du problème a été ajoutée sur le site Web à l’issue de l’année I185_:

184_{C’est l’idée de problème de référence que nous avons notée dans (Arsac et al. 1991)} 185_{Le 14 janvier (I).}

Commentaires

Éléments de recherche et de débat possibles

Selon les cas envisagés, il n’y a pas le même nombre de solutions. Les élèves, sans forcément les trouver toutes dans un premier temps, peuvent en trouver au moins quelques-unes. Ceci peut permettre d’envisager la question de l’exhaustivité des solutions après une première phase de familiarisation.

Les élèves peuvent donc successivement aborder les aspects suivants : – trouver une solution

– trouver le maximum de solutions – trouver toutes les solutions

Comme précédemment, les éléments sont formulés sous forme de propositions et le texte est concis. Il indique explicitement la variation du nombre de solutions selon les cas et évoque une progression possible du travail des élèves jusqu’à la recherche exhaustive. L’organisation et les consignes pour les élèves sont laissées à l’enseignant et peuvent se déduire des informations don- nées.

Au début de l’année II et suite à quelques remarques plus ou moins informelles des enseignants sur le niveau mathématique des preuves, nous ajoutons le tableau suivant qui vise à faciliter la compréhension de la preuve par le traitement exhaustif du cas ✭✭ 41 avec 8 et 3 ✮✮ :

y 8y comp. à 41 x 0 0 41 - 1 8 33 11 2 16 25 - 3 24 7 - 4 32 9 3 5 40 1 -

Conclusion la version de Golf proposée sur le site Web La version de Golf sur le site Web est largement inspirée par celle d’ERMEL. La présentation en est plus concise, notamment du fait que nous n’y avons pas véritablement développé de scénarios à destination des enseignants, alors qu’ils forment la trame de la présentation pour ERMEL, et que nous n’avons pas abordé, dans une première version, les réponses possibles des élèves. Ce n’est qu’à partir de la deuxième année que nous avons apporté des options en termes d’éléments de recherche et de débats, toujours formulée sous forme concise et de propositions. En cohérence avec nos choix méthodologiques concernant le design de l’expérimentation et avec des considérations ergonomiques, ces choix sont censés favori- ser l’adoption de ce problème par les enseignants et aussi l’activité de la CoP dès son émergence. En suivant la même cohérence, une aide à la compréhension de la preuve a aussi été ajoutée. Fina- lement, l’espace de liberté de l’enseignant est relativement important concernant la mise en oeuvre de ce problème.

Passons maintenant à la présentation et à l’analyse de Cordes avant de conclure sur l’ensemble des problèmes proposés.

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS Le problème Cordes

Analyse didactique Le problème Cordes consiste à chercher le nombre de cordes que l’on peut tracer en fonction du nombre n de points sur un cercle. On peut trouver le nombre de cordes C(n) d’au moins trois façons que nous résumons ainsi :

– procédure ✭✭ additive ✮✮ : (n − 1) + (n − 2) + ··· + 1 – procédure ✭✭ multiplicative ✮✮ : n(n−1)₂

– procédure par récurrence : C(n) = C(n − 1) + (n − 1) avec C(1) = 0.

Sans aide, les élèves peuvent faire des essais, en effectuant des tracés ou non, afin de chercher des premiers résultats. En choisissant un grand nombre de points, sans doute avec un nombre de points de l’ordre d’une ou deux dizaines, ils constateront rapidement qu’il n’est pas possible, ou alors pas de manière sûre, de tracer et compter toutes les cordes possibles de par leur trop grand nombre (variation en fonction du carré du nombre de points). Les cas de 2 et de 3 points sont triviaux pour des élèves de l’école élémentaire. Pour le cas des 4 points (6 cordes), il nous semble qu’une rapide perception visuelle sur une figure permet de voir un quadrilatère et ces deux diagonales. À partir de 5 points (10 cordes), une méthode de comptage peut commencer à paraître nécessaire aux yeux des élèves pour ne pas compter deux fois une corde et pour ne pas en oublier. Les élèves peuvent par exemple chercher à colorier les cordes au fur et à mesure du comptage s’ils pensent les avoir toutes tracées ou bien les compter en les traçant. En essayant des cas successifs tels 3 points, 4, 5, 6, etc., ils peuvent reconnaître une progression régulière du nombre de cordes (3, 6, 10, 15, etc.) en voyant qu’on passe d’un cas à l’autre en additionnant 3, 4, 5, etc. et inférer le phénomène de récurrence qui explique cette régularité : pour résoudre le cas des n + 1 points, on ajoute n cordes au cas précédent des n points. En effet, le n + 1-ième point permet de former n nouvelles cordes avec les n précédents points. Cependant, cette façon de faire ne permet pas de trouver immédiatement le nombre de cordes pour un n donné. Les élèves peuvent aussi aboutir, plus ou moins directement, à la procédure additive qui donne le nombre de cordes : avec n points, le premier point permet de former n − 1 cordes, le deuxième permet de former n − 2 nouvelles cordes et ainsi de suite jusqu’au dernier point qui ne permet pas de tracer de nouvelle corde. Certains élèves peuvent trouver la procédure multiplicative n(n−1)/2 en cherchant à rectifier une conception erronée de la situation. Par exemple pour 5 points, certains penseront qu’il y a 4 cordes par point ce qui donne donc 5 × 4 = 20 cordes. En vérifiant par comptage et grâce à la connaissance des doubles et moitiés travaillés au cycle 2, ils repéreront que le vrai résultat, 10, n’est autre que la moitié de 20 et qu’il convient donc de diviser le résultat précédent par 2. Le traitement de quelques autres cas pourra conforter ce résultat. Certains élèves pourront aller jusqu’à expliquer la validité générale de cette formule en arguant en substance qu’avec la multiplication n(n − 1), chaque corde est comptée deux fois d’où la nécessité de diviser par 2.

Ainsi, le problème possède en lui-même un potentiel de recherche intéressant puisque plusieurs pistes de recherche existent, avec ou sans figure et que ces pistes sont accessibles à des élèves de cycle 3. Ceci est aussi de nature à nourrir des débats sur la validité de telle ou telle formule ou procédure, et ensuite sur son efficacité. Cependant, le potentiel de débat dépend des résultats trouvés par les élèves. S’ils sont identiques, ceci n’est pas de nature à favoriser les débats. Des actions de l’enseignant sont alors possibles pour mieux assurer ce potentiel. Il peut le faire en mettant en exergue que le traitement de quelques cas ne permet pas de conclure dans le cas général ou qu’on ne peut compter à la main les cordes pour un grand nombre de points, nombre qu’il pourra préciser,

ce qui peut mettre en doute la validité ou au moins l’efficacité d’une formule ou d’une procédure aux yeux des élèves. L’enseignant peut chercher à davantage contrôler ces potentiels de recherche et de débat en imposant les nombres de points traités au moins au départ. Pour éviter d’induire la procédure par récurrence, il ne faudrait pas qu’il propose des nombres consécutifs de points. S’il souhaite empêcher le dénombrement sur des tracés effectifs de cordes, il lui suffira d’augmenter le nombre de points.

ERMEL propose ce problème à la fin de l’année de CM2 mais nous l’avons déjà mis en place dès le début du cycle 3, en CE2.

Présentation initiale sur le site Web Voici comment est présenté le problème Cordes sur le site Web au début de l’expérimentation186_:

Présentation

Le problème

On place un certain nombre de points sur un cercle.

Est-il possible de trouver le nombre de cordes (segment joignant deux points du cercle) ?

La présentation est concise. Dans sa ✭✭ description rapide ✮✮, ERMEL propose une prolongation à la recherche de la somme des premiers nombres entiers naturels. Pour notre part, nous considérons que cette ✭✭ deuxième ✮✮ recherche est pleinement incluse dans le problème des cordes et nous ne l’avons donc pas explicitement signalée, la liberté revenant à l’enseignant de la mener ou non à son terme187_{. Des exemples de nombre de points sont proposés sur le site Web de la manière suivante :}

Exemples

On peut commencer par 6 points sur un cercle disposés de façon irrégulière. On obtient 15 cordes.

On peut ensuite passer à 10 points ce qui donne 45 cordes. Les élèves ont peu de chance de pouvoir les compter de façon sûre.

On peut aborder, sans obligatoirement le poser comme tel, le cas général en proposant de chercher une méthode pour trouver relativement facilement le nombre de cordes pour 32 points, 210 points, etc.

Nous avons repris la logique et les nombres de points utilisés dans les trois étapes présentées par ERMEL car ils nous semblent adaptés. Le premier nombre peut favoriser la dévolution du problème et les deux autres cas permettent de mettre difficulté les premières procédures et de dévoluer le problème dans le cas général. À l’inverse du ERMEL, les indications sont ici formulées comme des propositions. L’enseignant peut donc choisir de proposer dès le départ le cas général comme il peut préférer s’appuyer sur les repères proposés. Il peut aussi choisir d’autres nombres.

La preuve du problème est présentée en s’appuyant sur la procédure ✭✭ additive ✮✮ et la procédure ✭✭ multiplicative ✮✮. La procédure par récurrence sera présentée, l’année (II) lors des ajouts sur le site Web, comme une ✭✭ variante ✮✮ de la procédure additive dans le sens où les élèves peuvent relativement facilement passer de l’une à l’autre. Le contenu du site Web est le suivant au début de l’expérimentation :

186_{Cf. l’ensemble de la présentation à partir de la page 365.}

187_{Un peu à l’inverse de l’approche du spécial Grand N ✭✭ Points de départ ✮✮, nous considérons plutôt la recherche non}

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS Preuve

Solutions

Si on placen points sur un cercle, le nombre de cordes est égal à : n(n − 1)/2. Par exemple, pour 6 points, le nombre de cordes est égal à (6 × 5)/2 = 15.

Preuve 1

La preuve revient à calculer la somme (n − 1) + ··· + 3 + 2 + 1.

On effet, on choisit un des points. Il permet d’obtenir (n − 1) cordes. En prenant un autre point, on obtient une corde de moins, c’est à dire (n−2) et ainsi de suite jusqu’à l’avant-dernier point qui ne peut être joint qu’au dernier point, ce qui donne une seule corde.

Le calcul de la somme (n − 1) + ··· + 3 + 2 + 1 s’effectue de la manière suivante. On effectue : (n − 1) + (n − 2) + · · · + 2 + 1 +

1 + 2 + · · · + (n − 2) + (n − 1) ce qui donne : n + n + n + ··· + n (n − 1 fois)

Par conséquent, on a calculé que 2 fois la somme recherchée est égale à (n − 1) × n. Il faut donc diviser cette expression par 2 pour obtenir la somme elle-même.

Preuve 2

Il y a n points. Chaque point est relié à (n − 1) points. Mais, avec cette méthode, chaque corde est comptée 2 fois (une fois par extrémité). On obtient donc n(n − 1)/2 cordes.

Avec la procédure multiplicative, une première section fournit de manière concise un moyen rapide et illustré par un exemple pour calculer le nombre de cordes. Pour les deux preuves propre- ment dites, l’usage de l’algèbre rapporté à ce que nous connaissons de la formation et à l’aisance des enseignants en mathématiques nous semble ✭✭ excessif ✮✮. Comparé au problème Golf , l’appui sur des exemples numériques pourrait être plus important car il pourrait faciliter la compréhension des preuves. Nous avons choisi de procéder ainsi afin d’initier des discussions sur cette ressource dont l’énoncé nous paraît relativement attrayant pour un enseignant du cycle 3, notamment à cause du fait qu’il se situe initialement dans le cadre géométrique,

Modifications sur le site Web La présentation de Cordes a été modifiée d’une part par l’ajout d’images animées et commentées pour illustrer les preuves présentées plus haut ainsi que la preuve par récurrence dans le cas de 6 points et, comme pour les autres problèmes, par l’ajout de commen- taires sommaires sur la gestion du problème en classe.

Voici la rubrique Animation ajoutée au début de l’année II188_: Animation

Les animations illustrent deux stratégies de résolution dans le cas de 6 points : la première stratégie où on ne compte les cordes qu’une unique fois et la deuxième où on les compte toutes deux fois (pour ensuite diviser le nombre obtenu par 2).

Première méthode

[ici, une image GIF animée189_]

Le nombre de cordes est5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

188_{Le 13 janvier (II).}

189_{L’image consiste en un cercle avec six points disposés de manière non régulière sur le cercle. Un point est marqué}