Un extrait du spécial Grand N ✭✭ Points de départ ✮✮

4.4 Les activités RPP dans la littérature professionnelle

4.4.2 Un extrait du spécial Grand N ✭✭ Points de départ ✮✮

Cette section est consacrée au numéro spécial de la revue Grand N intitulé ✭✭ Points de départ ✮✮ (IREM de Grenoble 2003) qui regroupe une cinquantaine de problèmes présentés, généralement sans indication ni solution, dans des numéros antérieurs de la revue158_{. Pour étudier son intérêt} pour la pratique des activités RPP, nous présentons une analyse didactique et ergonomique de son introduction et d’un exemple, le problème ✭✭ Rectangles ✮✮159_{, qui nous semblent représentatifs de} ce qui est proposé par la revue : ✭✭ Activités et problèmes mathématiques pour les élèves de l’école primaire (cycle III) et du collège. Il s’agit à la fois :

– de points de départs pour les élèves, avec des activités attrayantes et stimulantes dans lesquelles ils vont s’engager avec plaisir ;

– mais aussi de points de départ pour les maîtres qui pourront trouver matière pour enrichir leurs séquences d’enseignement, en reprenant certains éléments, en les modifiant, en trouvant avec leurs élèves des prolongements possibles.

Une fiche est caractérisée par des mots-clés pour faciliter le choix de l’enseignant. Chaque point de départ est accompagné d’un commentaire qui explicite son intérêt, précise les choix opérés par les rédacteurs et propose éventuellement quelques prolongements. Des éléments de solution des différents "points de départ" sont regroupés à la fin du fascicule ✮✮ (ibid., quatrième de couverture). Ainsi, cette brochure se présente elle-même comme un outil pour les enseignants qui propose des situations adaptables à leur pratique et ✭✭ stimulantes ✮✮ pour leurs élèves. Les problèmes bé- néficient d’indications susceptibles de faciliter la préparation des enseignants mais on s’aperçoit ensuite que seuls des éléments partiels de solutions, qui nous semblent souvent insuffisants pour des professeurs des écoles non scientifiques160_{, sont proposés à la fin de la brochure. Les auteurs} indiquent d’ailleurs : ✭✭ [...] nous invitons les lecteurs à commencer par se plonger eux-mêmes dans 158_{Selon l’éditeur, Grand N est une ✭✭ revue de mathématiques, sciences et technologie pour les maîtres de l’enseigne-}

ment primaire ✮✮.

159_{Ce problème a des similitudes avec celui proposé dans notre expérimentation mais ce n’est pas le même.} 160_{Nous verrons que c’est souvent le cas (cf. page 260).}

ces “points de départ” ✮✮ (IREM de Grenoble 2003, p. 8). Ainsi, l’hypothèse des auteurs est que l’enseignant doit chercher lui-même les réponses ou les trouver par un autre moyen. Dans une pre- mière approche, cette stratégie implicite d’auto-formation basée sur l’homologie161_{semble vouloir} renforcer l’utilité de la ressource. Dans une seconde approche, elle implique donc une tension sup- plémentaire susceptible de renforcer l’insécurité latente de ce genre d’activités et donc de nuire à l’acceptabilité et à l’utilité de la ressource, comme nous le verrons plus en détail avec l’exemple analysé plus bas.

Les problèmes sont répertoriés dans un tableau à double entrée dès le début de la brochure, par leur nom et des mots-clés. Cet élément est de nature à créditer l’adaptabilité et l’utilisabilité de la brochure mais nécessite la maîtrise des mots-clés, maîtrise qui, pour être complète, demande une lecture de l’introduction. Dans celle-ci, on trouve une référence explicite au programme de l’école primaire – c’est la seule et rien n’est dit concernant le collège – rappelant la place centrale de la résolution de problèmes dans l’enseignement des mathématiques162_{. La diversité des problèmes en-} visageables est évoquée sous forme d’une liste s’appuyant sur différents travaux puis ensuite sur les deux catégories problèmes d’application et problèmes de recherche163_{. Cette typologie, proche} de celles des I.O., semble de nature à favoriser l’utilité car l’enseignant peut ainsi faire le lien entre les deux types de documents. À la lecture des explications, on comprend que les ✭✭ points de départ ✮✮ centrés sur la méthodologie sont des problèmes RPP car ils ✭✭ permettent d’exercer des compétences méthodologiques de recherche ✮✮ et que les mots-clés ✭✭ Notionnel ✮✮ et ✭✭ Utilitaire ✮✮ permettent respectivement de trouver les problèmes ONT et les problèmes de réinvestissement. Plu- sieurs mots-clés identifient des contenus mathématiques. Un enseignant pourra donc, par exemple, trouver un problème de recherche permettant aussi de réinvestir des notions figurant dans les programmes. Ces considérations écologiques créditent l’ergonomie des mots-clés et de la brochure. Cependant, l’utilité et l’utilisabilité de certains mots-clés semblent parfois moins évidentes, comme le montre les trois exemples suivants : ✭✭ Logique ✮✮, ✭✭ Défi ✮✮ et ✭✭ Essais ✮✮. Concernant les deux premiers et de par leur définition164_{, ✭✭ Logique ✮✮ et ✭✭ Essais ✮✮ visent en réalité, pour le premier,} l’ensemble des problèmes proposés et, pour le second, l’ensemble des problèmes qui ne relèvent pas de l’application directe. Ainsi, le problème ✭✭ Rectangles ✮✮ que nous étudions plus bas est qua- lifié du mot-clé ✭✭ Défi ✮✮ mais on peut aussi lui attribuer les mots-clés ✭✭ Logique ✮✮ et ✭✭ Essais ✮✮. Quant à ✭✭ Défi ✮✮, ce mot-clé est, lui, plus discriminant puisqu’il repère les problèmes qui ✭✭ com- porte[nt] une multiplicité de solutions ✮✮. Cependant, la suite de sa définition nous paraît moins pertinente : ✭✭ il s’inscrit obligatoirement dans la durée. Il y a défi car la question y a-t-il une nouvelle solution ? se pose toujours. L’enseignant valorise les solutions nouvelles, [...] : il peut faire

161_{En référence aux stratégies de formation basées sur l’homologie (Houdement et Kuzniak 1996).} 162_{Cf. (IREM de Grenoble 2003, p. 5).}

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✭✭ Les points de départs sont d’une grande diversité. Certains sont plutôt du côté des problèmes d’application, d’autres plutôt du côté des problèmes de recherche pour lesquels les élèves ne disposent pas de solution éprouvée. Toutes les fiches comportent un enjeu pour les élèves, qui doit susciter le désir d’entrer dans l’activité. La solution n’est jamais immédiate et la résolution peut prendre plus ou moins de temps. Certaines pourront d’ailleurs susciter un véritable questionnement de la part des élèves, transformant le problème de recherche en situation de recherche [cette dernière expression n’étant pas définie] ✮✮ (ibid., p. 6).

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✭✭ Logique ✮✮ cible les problèmes qui ✭✭ nécessitent la mise en route d’un raisonnement : mettre en rapport et articuler des informations afin d’en trouver de nouvelles. [Ces problèmes] devraient permettre aux élèves d’enchaîner (ou de commencer à enchaîner) des pas de résolution de type déductif ✮✮ (p. 7).. ✭✭ Essais ✮✮ cible, lui, un problème ✭✭ de recherche [qui] oblige à faire des essais, émettre des hypothèses et étudier ce qu’elles donnent, mettre en oeuvre des stratégies diverses, connecter des notions entre elles... ✮✮

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

de temps en temps le point pour voir si des éléments de systématisation ont été trouvés ✮✮ (p. 7). D’une part, la référence à la durée nous semble peu précise, d’autant que les auteurs précisent : ✭✭ Certaines activités peuvent être conduites sur plusieurs jours, voire plusieurs semaines ✮✮ (p. 6) puis ils évoquent quelques modalités de travail, individuel ou en groupe, en classe ou à la maison, mais sans rentrer dans les détails. On peut aussi interpréter le texte comme le fait que certains pro- blèmes sont ✭✭ sans fin ✮✮, or, comme nous l’avons constaté en tant que formateur ou lu, par exemple, dans (Eysseric 2002), les enseignants évoquent souvent des contraintes de temps quand il s’agit de mener des activités longues en mathématiques. La référence à la durée nous semble donc affaiblir l’utilité et l’acceptabilité du mot-clé ✭✭ Défi ✮✮, voire de la brochure puisque, à l’inverse des ouvrages de l’équipe ERMEL, on ne sait pas si les problèmes ont été testés dans des classes. D’autre part, concernant l’aspect défi, l’intérêt d’une recherche exhaustive de solutions nous paraît minorée alors qu’elle peut être le moteur même d’un défi, comme nous allons le voir maintenant avec le problème ✭✭ Rectangles ✮✮ (IREM de Grenoble 2003, pp. 10-11).

Présentation et analyse didactique du problème ✭✭ Rectangles ✮✮

(a) Figure originale. (b) Notre interprétation.

FIG. 4.1: Figure du problème ✭✭ Rectangles ✮✮ (ibid., p. 10) et notre interprétation.

Dans ce problème, il s’agit de déterminer le nombre total de rectangles de la figure 4.1(a). On peut considérer que quatre rectangles de cette figure forment de nouveaux rectangles, comme on le montre sur la figure 4.1(b). Un moyen de déterminer le nombre de rectangles est d’imaginer que l’on ✭✭ pose ✮✮ les rectangles un par un sur la figure, puis de dénombrer la totalité des rectangles ajoutés ou créés à chaque étape. À chacune de ces étapes, on peut aussi décomposer ce dénombre- ment lors du tracé de chaque côté du rectangle concerné. En ✭✭ posant les rectangles de gauche à droite ✮✮, on peut ainsi trouver successivement 1, 2, 5 puis 8 rectangles de plus à chaque étape, soit un total de 16 rectangles. Le petit nombre de rectangles trouvé à chaque étape fait qu’on peut être rapidement convaincu par cette preuve. Si le nombre de rectangles est plus grand ou les intersec- tions plus nombreuses, il est plus difficile de ne pas oublier de rectangles à chaque étape et on peut décomposer de la façon qui suit. Pour chaque rectangle à (re)tracer, on (re)trace ✭✭ par parties ✮✮ ses côtés successifs en partant d’un de ses sommets. Dès que l’on crée une nouvelle intersection dans la figure – appelons-la In – on procède au comptage des éventuels nouveaux rectangles ainsi créés. Pour effectuer ce comptage, on considère le demi-plan Pn défini par la droite ∆n qui passe par In

perpendiculairement au segment que l’on vient de tracer et qui contient ce segment. Dans ce demi- plan Pn, on cherche les diagonales des rectangles qui ont pour extrémité le point In. En effet, l’autre demi-plan ne contient pas de nouveau segment à cette étape et donc aucun nouveau rectangle. Pour dénombrer toutes les diagonales, on parcourt successivement, chaque segment vertical – ou bien horizontal – de la figure situé dans le demi-plan Pn. À chaque point d’intersection rencontré sur ces segments, on regarde si le segment qui le joint à Inest la diagonale d’un rectangle de la figure et on compte un rectangle de plus à chaque fois que c’est le cas. De cette manière, on parcourt une seule fois l’ensemble des points susceptibles de former une nouvelle diagonale d’un nouveau rectangle et on ne recompte pas les rectangles de l’étape précédente puisque Inest un point nouvellement créé à cette étape. Il reste que ce comptage nécessite tout de même attention et persévérance quand le nombre de rectangles augmente.

Des élèves de cycle 3 ne trouveront probablement pas du premier coup le nombre de rectangles ou une méthode correcte, mais ce dénombrement nous semble à leur portée, du fait du nombre ré- duit de rectangles. À la manière du problème Golf étudié précédemment, les élèves vont d’abord chercher ✭✭ des ✮✮ rectangles puis le ✭✭ maximum ✮✮ de rectangles. Ils ne vont probablement pas tous trouver le même nombre et les échanges vont permettre d’aboutir, avec le soutien de l’enseignant qui pourra notamment souligner les avancées et les incertitudes, à la question de la preuve de l’exhaus- tivité des solutions. Les potentiels de recherche, de débat, de résistance et de résistance dynamique sont donc intéressants pour le niveau du cycle 3. Le potentiel didactique est constitué par le travail d’identification des sous-figures et d’organisation des recherches pour obtenir l’exhaustivité des solutions.

Le problème ✭✭ Rectangles ✮✮ selon Grand N

La présentation du problème dans la brochure occupe deux pages au format A4. La première est une fiche élève composée, dans le premier quart de page : du titre ✭✭ Rectangles ✮✮, de la figure 4.1(a) page précédente accompagnée de la question ✭✭ Combien y a-t-il de rectangles dans cette figure ? ✮✮ et, dans le reste de la page : de neuf reproductions réduites de la figure accompagnées de l’indication ✭✭ Tu peux utiliser les reproductions ci-dessous pour t’aider dans tes recherches ✮✮. Sur la deuxième page, on trouve un bref descriptif de l’intérêt du problème. La solution figurant à la fin de la brochure (p. 133) donne le nombre de rectangles sans plus de précision.

Les neuf figures de la fiche élève constituent une aide qui ne favorise pas, a priori, les méthodes que nous avons proposées plus haut pour résoudre le problème et pour lesquelles une page blanche serait peut-être plus indiquée. Elle incite plutôt à faire des dénombrements en catégorisant les rectangles – peut-être par taille – ou à identifier des rectangles différents sur chaque figure fournie pour mieux les distinguer, ce qu’une figure unique ne permet pas de faire165_{. Cette aide est donc suscep-} tible de favoriser une certaine dévolution puisque la fiche propose en substance de faire des essais, de trouver des sous-figures. Au sens précisé dans la brochure, les mots-clés ✭✭ Défi ✮✮ et ✭✭ Sous- figures ✮✮ qui qualifient ce problème sont donc adaptés : il s’agit essentiellement de la découverte de nouvelles figures au sein d’une figure donnée. Ceci crédite donc l’utilité du document. En se référant aux évaluations nationales de CE2 et de sixième, les auteurs le confirment en écrivant que l’identification de sous-figures pose problème aux élèves et commentent le choix de la configuration 165_{À propos des neuf figures, les auteurs précisent qu’il s’agit de ✭✭ leur permettre de colorier tous les rectangles sans}

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

retenue : ✭✭ Le nombre de rectangles à trouver est raisonnable, mais celui-ci est suffisamment grand et la recherche suffisamment complexe. On espère que cela entraînera de la part des enfants des ré- sultats différents ce qui motivera la relance de la recherche après une phase de bilan sur le nombre de solutions trouvées ✮✮ (p. 11). La formulation de ce commentaire confirme donc notre analyse. Cependant, le même argument dans notre analyse a priori nous a fait conclure à un enchaînement logique sur la recherche exhaustive des solutions. Or, les auteurs ne la proposent que comme un prolongement possible et ajoutent que : ✭✭ La configuration proposée ne se prête pas bien à des sys- tématiques possibles : si on veut travailler cet aspect, tout en conservant l’objectif principal indiqué plus haut, on peut proposer plutôt des configurations (qui comportent des éléments de régularités) du type suivant [voir figure 4.2] ✮✮. Il y a donc désaccord entre notre analyse a priori et celle des auteurs.

(a) (b)

FIG. 4.2: Figures alternatives du problème ✭✭ Rectangles ✮✮ (IREM de Grenoble 2003, p. 11).

Nous notons donc (1) que les auteurs n’expliquent pas, en contradiction avec notre analyse a priori, pourquoi la figure initiale ne convient pas et (2) qu’ils n’explicitent pas non plus pourquoi les deux autres figures sont plus appropriées que la première, notamment en quoi les ✭✭ régulari- tés ✮✮ – qui par ailleurs ne sont pas définies – facilitent la recherche systématique des solutions. En cherchant le problème avec les nouvelles figures, on trouve effectivement que, le tracé de certains côtés crée des rectangles d’un côté de la droite qui supporte ce tracé et que l’on retrouve des rectangles similaires dans l’autre demi-plan, ce qui évite de nouveaux dénombrements. Cependant, il reste aussi des ✭✭ irrégularités ✮✮. Avec notre procédure, le traitement de la figure 4.2(a) permet de traiter la figure 4.2(b) car elle n’en diffère que d’un rectangle ✭✭ horizontal ✮✮. On passe alors de 13 à 56 rectangles. Dans ce dernier cas, on ne sait pas si le nombre de rectangles, que l’enseignant aura peut-être la surprise de découvrir, est toujours ✭✭ raisonnable ✮✮ pour chercher toutes les solutions. Selon nous et contre les apparences, ces aspects ne créditent donc pas l’utilité et l’utilisabilité de la ressource.

Enfin, il faut souligner que la brochure, si elle donne le nombre des rectangles pour la figure initiale, ne dit rien concernant celui des autres figures et sur les méthodes possibles de résolution, alors que celles-ci ne sont pas tout à fait évidentes. Les enseignants de l’école primaire, rarement de formation scientifique, qui se lancent dans la recherche de ce problème ne peuvent donc pas vérifier si leur procédure est correcte, quand bien même ils trouvent la solution. Par ailleurs, si la brochure propose une aide aux élèves que nous avons analysée plus haut, la brochure propose finalement peu

d’éléments permettant à l’enseignant de préparer la gestion d’une mise en oeuvre de ce problème. En effet, nous venons de voir que plusieurs éléments étaient manquant pour utiliser et adapter cette ressource ce qui semble compromettre son utilité globale.

Conclusion

Comme dans nos analyse des I.O. et des ouvrages ERMEL présentées plus haut, on retrouve aussi dans le spécial Grand N ✭✭ Points de départ ✮✮ des éléments susceptibles de favoriser la pratique d’activités RPP : plusieurs activités RPP sont proposées dont certaines possibles à mettre en oeuvre dès le cycle 3, des mots-clés permettent de les sélectionner, des liens sont faits avec les programmes en vigueur, des indications sont données pour favoriser la mise en oeuvre. Cependant, l’analyse didactique et ergonomique a aussi révélé plusieurs manques : manque de pertinence de certains mots-clés, minoration de l’intérêt d’une recherche l’exhaustive des solutions, manque d’éléments pour résoudre le problème, manque d’éléments pour aider à la mise en oeuvre, ce qui risque, selon nous, de compromettre l’utilisabilité, l’utilité et l’acceptabilité de cette brochure.

Selon notre analyse a priori, dont une partie était uniquement centrée sur le problème ✭✭ Rec- tangles ✮✮, ces ✭✭ points de départ ✮✮ risquent donc d’être insuffisants pour favoriser la pratique d’ac- tivités RPP, d’autant que les publications des IREM peuvent être méconnues des enseignants, notamment ceux de l’enseignement primaire.

4.4.3 Conclusion sur la littérature professionnelle consultée

À la suite d’un étude didactique et ergonomique des I.O., nous avons sélectionné deux ressources parmi celles listées dans le document d’accompagnement des I.O. intitulé Des problèmes pour chercher. Dans chacune d’elles, nous avons isolé une activité RPP susceptible de favoriser la pratique de ces activités par des enseignants novices avec leurs élèves. Nous avons ensuite fait une analyse didactique et ergonomique a priori des documents retenus. Celle-ci a montré que ces deux activités proposaient une recherche exhaustive de solutions et qu’elles étaient des activités RPP adaptées à des élèves de cycle 3. Nous avons aussi mis en évidence que les deux ressources d’où elles sont extraites, ainsi que les I.O., soulignaient le rôle important de l’enseignant dans la gestion de celles-ci et qu’elles donnaient plusieurs éléments susceptibles de favoriser leur mise en oeuvre, créditant ainsi leur ergonomie globale.

Cependant, notre analyse a aussi mis en évidence des manques qui mettaient en défaut l’ergonomie d’une activité en particulier ou, plus globalement, du document dont elle était extraite. Ces principaux manques sont relatifs aux points suivants :

– les procédures de résolution et les solutions du problème sont souvent absentes alors qu’elles pourraient permettre à l’enseignant de mieux maîtriser le problème, d’autant que nous savons que les enseignants de l’école primaire sont rarement de formation scientifique. Il semble donc difficile d’attendre d’eux qu’ils résolvent ces problèmes sans aide et de manière suffisamment sûre, d’autant que ce ne sont pas des problèmes standards dans leur pratique d’enseignement et dans le parcours scolaire et universitaire qu’ils ont eux-mêmes suivi. Le fait de donner une solution ne constitue pas toujours une aide suffisante. Ainsi, ils ne peuvent avoir d’assurance ni sur le résultat, ni sur la preuve et ne peuvent se livrer seuls au jeu de preuves et réfutations166 _{au cours de leur recherche personnelle. À cet égard, nous pensons}

4. ACTIVITÉS DE RECHERCHE ET DE PREUVE ENTRE PAIRS

que le fait de proposer des procédures de résolution ou bien d’accompagner les enseignants est indispensable pour favoriser la pratique des activités RPP dans les classes, même si on peut aussi y trouver des limites.

– des options de mises en oeuvre ne sont pas évoquées par les auteurs alors qu’elles semblent

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