Préfaisceaux avec transferts B 1 -invariants : propriétés élémentaires

SoitB unek-variété rigide. Suivant [VSF00], on fait la définition suivante.

Definition 2.2.40 — Soient X et Y deux B-variétés rigides lisses sur k, et soient α, β ∈ CorB(X, Y) des correspondances finies. On dit que α est B¹-homotope (ou simplement homotope) à β s’il existe γ ∈CorB(B¹X, Y) telle que α=γ◦s0 et β =γ◦s1 avec s0, s1 :X // B¹X les sections nulle et unité. La correspondance finie γ est appelée une homotopiedeαàβ. On écrira α∼_B1 β lorsqueαest B¹-homotope àβ.

On a le lemme facile suivant.

Lemme 2.2.41 — La relation de B¹-homotopie est une relation d’équivalence compatible à l’addition et à la composition des correspondances finies.

Demonstration On garde les notations de la définition 2.2.40. On a clairementα∼_B¹ α. En effet, il suffit de prendre γ=p◦αavecp:B¹X // X la projection évidente. Si γ est une homotopie deαà β, on obtient une homotopie de β à αen prenantγ◦τ avecτ :B¹X // B¹X un endomorphisme qui échange les sections nulle et unité (par exemple l’involution deX{t}qui envoietsur1−t). Enfin, siγest une homotopie deαversβ etψune homotopie deβ versδ, on obtient une homotopie deαversδen prenant γ+ψ−β◦p. La compatibilité avec l’addition des correspondances

finies et leur composition est claire. c.q.f.d.

Definition 2.2.42 — Pour X et Y deux B-variétés rigides lisses sur k, le quotient Cor_B(X, Y)/∼_B¹ sera notéπ₀Cor_B(X, Y). C’est le groupe des correspondances finies à homotopie près. La catégorie obtenue deRigCor(B) (resp. AfndCor(B), RigCor⁰(B) et AfndCor⁰(B)) par passage au quotient par la relation de B¹-homotopie sera notéeπ₀RigCor(B)(resp.π₀AfndCor(B), etc.).

On peut également définir des groupes supérieurs de correspondances finiesπiCorB(X, Y)en utilisant lek-affinoïde cosimplicial∆^•_rig donné en degrén∈Npar

∆ⁿ_rig= Spm

k{t0, . . . , tn} (1−Pn

i=0t_i)

.

Definition 2.2.43 — SoientXetY deuxB-variétés rigides lisses surk. On noteCor_B(X, Y)le complexe associé au groupe simplicialCorB(∆^•_rig׈kX, Y). Les groupes d’homologie Hi(Cor_B(X, Y))seront notésπiCorB(X, Y).

Il est clair que le π₀Cor(−,−) de la définition 2.2.42 est le même que celui de la définition 2.2.43. Le produit direct de groupes abéliens étant exact, on aπiCorB(`

α∈IXα, Y) =Q

α∈IπiCorB(Xα, Y)pour toute famille au plus dénombrable(Xα)_α∈I dek-variétés rigides lisses.

La proposition ci-dessous est un cas particulier de la proposition 2.2.52 où l’on prend K le préfaisceau Z^tr(Y) = Cor(−, Y)placé en degré zéro.

Proposition 2.2.44 — SoientX etY desB-variétés rigides lisses surk. Pour touti∈N, le morphisme π_iCor_B(X, Y) // π_iCor_B(B¹X, Y),

induit par la projection évidenteB¹X // X, est inversible.

Dans la suite, on fixe une sous-catégorie pleine V ⊂ SmRig/B stable par coproduits finis et par passage aux composantes connexes. On suppose de plus que V contient la boule de Tate B¹B et qu’elle est stable par produits directs finis (i.e., produits fibrés au-dessus deB).

Definition 2.2.45 — Soit F un préfaisceau avec transferts sur V à valeurs dans une catégorie abélienne A (admettant les produits directs pertinents). On dit queF est invariant par homotopie(ou simplement B¹-invariant) si pour toutX ∈Ob(V), le morphisme

F(X) // F(B¹X),

induit par la projection évidente B¹X // X, est inversible. On notera PreStr_B1(V,A) la sous-catégorie pleine de PreStr(V,A) dont les objets sont les préfaisceaux avec transferts invariants par homotopie. (Comme d’habitude,

« A» sera omis de la notation lorsque Aest la catégorie des groupes abéliens.)

La définition 2.2.45 garde un sens pour des préfaisceaux sans transferts sur V. On parlera alors de préfaisceaux invariants par homotopie(ou simplementB¹-invariants) . Tous les résultats démontrés dans la suite de ce paragraphe sont encore valables pour les préfaisceaux de groupes abéliens surV.

Proposition 2.2.46 — Pour une k-variété rigide X ∈Ob(V), notons s₀ et s₁ les sections nulle et unité de la boule de Tate relative p : B¹X // X. Soit F un préfaisceau avec transferts sur V à valeurs dans une catégorie abélienneA. Les deux conditions ci-dessous sont équivalentes.

(i) F est invariant par homotopie.

(ii) Pour toutX ∈Ob(V), les deux flèchesF(s₀), F(s₁) :F(B¹X) // F(X)sont égales.

Demonstration Les deux flèches F(s₀) et F(s₁)sont des sections de la flèche F(p). Lorsque F est invariant par homotopie,F(p)est inversible etF(s0) =F(p)⁻¹=F(s1). Ceci prouve l’implication (i)⇒(ii).

Pour montrer l’implication réciproque, on utilsera la structure d’objet en anneau surB¹k. Notons en effet µ:B¹k׈kB¹k // B¹k

la multiplication deB¹k. Pour X ∈Ob(V), considérons le diagramme commutatif B¹k׈kX

s₁

id

''

B¹k׈kB¹k׈kX ^µ //B¹k׈kX.

B¹k׈kX

s0

>>

s₀◦p

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La condition (ii) appliquée à la variété rigideB¹k׈_kX montre que l’identité deF(B¹k׈_kX) est égale àF(s₀◦p) = F(p)◦F(s₀). Étant donné quep◦s₀= id_X, on trouve queF(s₀)est un inverse à droite et à gauche deF(p). c.q.f.d.

SoitF un préfaisceau avec transferts sur V à valeurs dans une catégorie abélienne A. Pour une variété rigide X dansV, on notera hom(X, F)le préfaisceau avec transferts surV défini par

hom(X, F)(U) =F(X׈BU)

pour toutU ∈Ob(V). Pourf :X // Y un morphisme de variétés rigides dansV, on notera f^∗: hom(Y, F) // hom(X, F)

le morphisme de préfaisceaux avec transferts déduit def.

Definition 2.2.47 — Soit F un préfaisceau avec transferts sur V à valeurs dans une catégorie abélienne A (admettant les produits directs pertinents). On pose

h^B₀¹(F) = Coker (s^∗₀−s^∗₁: hom(B¹B, F) // F).

On obtient ainsi un endofoncteurh^B₀¹dePreStr(V,A). Le préfaisceau avec transfertsh^B₀¹(F)est appelé, vu le corollaire 2.2.48 ci-dessous, le préfaisceau avec transfertsB¹-invariant associéàF.

Corollaire 2.2.48 — On garde les hypothèses et notations de la définition 2.2.47. Le préfaisceau avec transferts h^B₀¹(F) estB¹-invariant. De plus, le foncteur

h^B₀¹(−) :PreStr(V,A) // PreStr_B1(V,A) est un adjoint à gauche du foncteur d’inclusion.

Demonstration L’invariance par homotopie deh^B₀¹(F)est un cas particulier de la proposition 2.2.52 où l’on prend n= 0et K le préfaisceauF placé en degré zéro. On peut aussi l’obtenir directement en vérifiant la condition (ii) de la proposition 2.2.46 pourh^B₀¹(F). Le reste de l’énoncé est laissé au lecteur. c.q.f.d.

On notera π0Cor(V)la sous-catégorie pleine deπ0RigCor(B)admettantOb(V)pour objets.

Proposition 2.2.49 — SoitF un préfaisceau avec transferts surV à valeurs dans une catégorie abélienne A (admettant les produits directs pertinents). Les deux conditions suivantes sont équivalentes.

(i) F est invariant par homotopie.

(ii) Le foncteurF se factorise à travers π0Cor(V), i.e., il existe un foncteur additifF⁰:π0Cor(V)^op // Aet un isomorphismeF 'F⁰◦(Cor(V)π0Cor(V)).

Ainsi,PreStr_B1(V)est canoniquement isomorphe à la catégorieHOM^⊕(π0Cor(V)^op,A)des foncteurs contravariants deπ0Cor(V)dansAqui transforme les coproduits directs deV en produits directs.

Demonstration Supposons que F est invariant par homotopie et montrons que l’action des correspondances finies Cor_B(X, Y) // hom_A(F(Y), F(X))

se factorise parπ₀Cor_B(X, Y)pourX etY dansV. Soient α, β∈Cor_B(X, Y)etγ∈Cor_B(B¹X, Y)une homotopie deαà β. On a alors les égalités

F(α) =F(γ◦s0) =F(s0)◦F(γ) =F(s1)◦F(γ) =F(γ◦s1) =F(β).

D’où l’implication(i)⇒(ii).

Réciproquement, supposons queF se factorise parπ0Cor(V). SoitU uneB-variété rigide dansV. Il suffit, compte tenu de la proposition 2.2.46, de montrer queF(s0) =F(s1)avecs0, s1:U // B¹U les sections nulle et unité. Mais, les deux correspondances finies s0, s1 ∈ CorB(U,B¹U) sont homotopes ; une homotopie est donnée par l’identité de

B¹U. c.q.f.d.

La définition ci-dessous généralise la construction du préfaisceauB¹-invariant aux complexes de préfaisceaux.

Definition 2.2.50 — Soit K = K• un complexe de préfaisceaux avec transferts sur V à valeurs dans une catégorie abélienne A (admettant les coproduits directs et produits directs pertinents). Le complexe simple associé à l’objet simplicial en complexehom(∆^•_rig, K)sera noté Sing^B•¹(K). C’est le complexe de chaînes rigides à valeurs dans K.

Remarque 2.2.51 —Soitn ∈∆ K•(n) un objet simplicial à valeurs dans la catégorie des complexes d’une catégorie abélienne admettant des coproduits dénombrables. Le complexe simpleS(K)associé àK•(−)est le complexe simple associé au bicomplexeK• • obtenu en prenant la somme alternée des faces simpliciales. Ainsi, on a :

S(K)_n= M

(r,s)∈Z×N, r+s=n

K_r(s).

En particulier, le foncteurS(−)commute aux colimites.

Proposition 2.2.52 — Soit K = K• un complexe de préfaisceaux avec transferts sur V à valeurs dans une catégorie abélienneA(admettant les coproduits directs et produits directs pertinents). Pour toutn∈N, le préfaisceau d’homologieH_n(Sing^B1(K))est invariant par homotopie.

Demonstration La preuve de l’énoncé correspondant en géométrie algébrique (voir par exemple [VSF00]) s’étend sans changement au cadre de la géométrie rigide. On la reprend pour la commodité du lecteur. On montrera que les deux morphismes d’objets simpliciaux

(2.33) s^∗₀, s^∗₁: hom(B¹k,hom(∆^•_rig, K)) // hom(∆^•_rig, K)

sont simplicialement homotopes. Ceci suffit par la proposition 2.2.46. On peut réécrire les deux morphismes (2.33) (2.34) s^∗₀, s^∗₁: hom(B¹k׈k∆^•_rig, K) // hom(∆^•_rig, K).

Il suffit donc de montrer que les deux morphismes dek-affinoïdes cosimpliciaux (2.35) s0, s1: ∆^•_rig // B¹k׈k∆^•_rig

sont cosimplicialement cohomotopes. Pour cela, on identifieraB¹k avec∆¹_rig. Une telle cohomotopie est la donnée pour touta:n→1d’un morphismeh(a) : ∆ⁿ_rig // ∆¹_rig×∆ⁿ_rig tel que :

— h(0 :n→1) =s0 eth(1 :n→1) =s1,

— pourc:m→n, le carré suivant commute :

∆^m_rig ^h(a◦c)//

c

∆¹_rig׈_k∆^m_rig

id×c

∆ⁿ_rig ^h(a) //∆¹_rig׈k∆ⁿ_rig.

On construira un tel h avec h(a) des applications affines. Par le lemme 2.2.53 ci-dessous, une application affine h(a) : ∆ⁿ_rig // ∆¹_rig׈k∆ⁿ_rig est uniquement déterminée par les images desn+ 1 sommets de∆ⁿ_rig. Les sommets de

∆ⁿ_rig sont les images des morphismes∆rig(e:0→n), pour0≤e≤n. On prendra alors pourh(a)l’application affine qui à l’image de∆rig(e:0→n)associe l’image de

∆⁰_rig ^{(∆rig(a◦e),∆rig(e))} // ∆¹_rig׈k∆ⁿ_rig.

Il est clair quehdéfinit une cohomotopie. c.q.f.d.

Unk-affinoïdeX muni d’une action simplement transitive deB^mk (considéré comme unk-affinoïde en groupe pour la loi d’addition) est appelé un espace affine rigide. Le choix d’un point de X définit un isomorphisme X ' B^mk. Étant donnés deux espaces affines rigides(X,B^mk )et (Y,Bⁿk), on appelle application affine (à ne pas confondre avec

« morphisme affine ») la donnée d’un morphisme deB¹k-modulesl: B^mk // Bⁿk et d’un morphismeB^mk-équivariant f : X // Y. On vérifie facilement que l est uniquement déterminé par f. On dira donc que f est un morphisme affine, s’il existel comme ci-dessus.

Lemme 2.2.53 — Soient (X,B^mk) et (Y,Bⁿk) deux espaces affines rigides. On suppose donnés des points k-rationnelsx0, . . . , xmdeX ety0, . . . , ymdeY. On suppose que la famille(−−→x0xi)_1≤i≤mest une base duk^◦-module libre B^mk(k) = (k^◦)^m. Il existe alors une unique application affine f :X // Y telle quef(xi) =yi pour0≤i≤m.

Demonstration La preuve est laissée au lecteur. c.q.f.d.