Construction et propriétés élémentaires : cas stable

⊗

k[U,U−1,T1,V] (V p−µU Tq

1)

k[U, U⁻¹, W, S]

(W^d−µU)

=k{U, U⁻¹, T1, V}

V^p−µU T₁^q [W, S]/(W^d−µU, S^p/d−T1W^t, S^q/d−V W^−s).

CommeA⁰ est finie surA, c’est encore unek-algèbre affinoïde. Ainsi, pourr1, r2∈Nsuffisamment grand, l’algèbreA⁰ admet la présentation suivante :

A⁰= k{U, U⁻¹, T1, V, π^r1W, π^r2S}

(V^p−µU T₁^q, W^d−µU, S^p/d−T1W^t, S^q/d−V W^−s).

De la relationW^d−µU = 0, on déduit que l’on peut choisir r₁ = 0. D’autre part, la relation V^p−µU T₁^q = 0 peut être déduites des trois autres. Il vient que

A⁰= k{U, U⁻¹, W, T1, V, π^r2S}

(W^d−µU, S^p/d−T₁W^t, S^q/d−V W^−s) 'k{U, U⁻¹, W}

(W^d−µU) {π^r2S}hW^t|S^p/dihW^−s|S^q/di

=k{U, U⁻¹, W}

(W^d−µU) {π^r2S}hW^dt|S^pihW^−sd|S^qi= k{U, U⁻¹, W}

(W^d−µU) {π^r2S}hµ^t|S^pihµ^−s|S^qi

=k{U, U⁻¹, W}

(W^d−µU) {π^r2S}hµ^tq|S^pqihµ^−sp|S^pqi= k{U, U⁻¹, W}

(W^d−µU) {π^r2S}hµ^tq|S^pqihµ^tq−1|S^pqi

= k{U, U⁻¹, W}

(W^d−µU) {π^r2S}hµ^tq|S^pqi= k{U, U⁻¹, W}

(W^d−µU) {µ^−t/pS}.

Les deux dernières égalités viennent du fait queµ∈k^◦− {0}et quer2 est suffisamment grand. c.q.f.d.

AppelonsH lek-affinoïdeSpm(k{U, U⁻¹, W}/(W^d−µU)) ˆ×_k{U,U⁻¹_}Cet notonsw∈Γ(H,O)la classe deW. On a alors un morphisme fini

H{µ^−t/pS} // Q^rig(X) ˆ×_B¹

kB

qui est un isomorphisme au-dessus deB¹k−o. Notonsh⁰:H{µ^−t/pS} // B¹k le morphisme canonique. Il s’agit donc de prouver que

(1.62) h⁰⁻¹(∂B¹k)⊗E // h⁰⁻¹(B¹−o)⊗E

est une équivalenceB¹-locale. Remarquons pour cela que l’image deT dansΓ(H{µ^−t/pS},O)est égale àU S^p/dw^−t. La norme deT en un pointxde H{µ^−t/pS}coïncide avec la norme de|S(x)| · |µ|^−t/p. Ainsi, l’image inverse de∂B¹ parh⁰ est lek-affinoïde∂B¹H(o, µ^t/p). Le morphisme (1.62) se réécrit donc

∂B¹H(o, µ^t/p)⊗E // (B¹H(o, µ^t/p)−o)⊗E

Le résultat découle maintenant de la proposition 1.3.4. La preuve du théorème 1.3.11 est achevée.

1.3.3 Construction et propriétés élémentaires : cas stable

À partir de maintenant, on suppose que la catégorie de coefficients M est monoïdale symétrique et unitaire. On notera1son objet unité qu’on supposera dansE. En particulier, il est cofibrant et homotopiquement compact. (Ces hypothèses sur l’objet unité ne sont pas essentielles, mais sont satisfaites dans les exemples qui nous intéressent.)

On fixe un remplacement projectivement cofibrantT de

(1.63) A¹_Z⊗1cst

(A¹_Z−o_Z)⊗1^cst = Cofib((A¹_Z−o_Z)⊗1cst→A¹_Z⊗1cst)

dansPreShv(Sm/Z,M). Pour des raisons techniques, on supposera même queT provient d’un remplacement projecti-vement cofibrantT⁰ deA¹_Z⊗1cst/(A¹_Z−o_Z)⊗1cst dansPreShv(SmAf/Z,M)avecSmAf/Z⊂Sm/Zla sous-catégorie pleine des schémas affines et lisses sur Spec(Z). En d’autres termes, on fixe une équivalence faible de préfaisceaux T⁰ // A¹_Z⊗1cst/(A¹_Z−o_Z)⊗1cst dansPreShv(SmAf/Z,M)avecT⁰ projectivement cofibrant et on poseT = a^∗T⁰ avecale prémorphisme de sites (munis des topologies grossières)Sm/Z // SmAf/Z.⁹

On note T^an l’image deT dansPreShv(SmRig/k,M)par le foncteur « image inverse » associé à la composition des prémorphismes de sites

SmRig/k // Sm/k // Sm/Z.

C’est un remplacement projectivement cofibrant de (A¹k)^an⊗1^cst/(A¹k −o)^an⊗1^cst. La catégorie des T^an-spectres symétriques Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/k,M)) sera munie de sa structure projective stable déduite de la structure projective B¹-locale sur PreShv(SmRig/k,M). Cette structure de modèles sera simplement appelée la structure projectiveB¹-locale stable. Pour la définition des catégories de spectres et la construction des structures de modèles stables, le lecteur pourra consulter [Ayo07b, Section 4.3].

Definition 1.3.19 — On note RigSH_M(k) la catégorie homotopique de Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/k,M)) relativement à la structureB¹-locale stable. C’est la catégorie homotopique stable desk-variétés rigidesà coefficients dansM. Voici les cas les plus importants :

— LorsqueMest la catégorie des spectres symétriques, on notera simplementRigSH(k)la catégorie ainsi définie.

— LorsqueMest la catégorie des complexes de groupes abéliens (resp. de Λ-modules pour un anneau commutatif Λ) on noteraRigDA(k)(resp. RigDA(k,Λ)) la catégorie ainsi définie.

Pourp∈N, on dispose d’un foncteur « spectre de suspension »

Sus^p_Tan:RigSH_M(k) // RigSH^eff_M(k).

Ce foncteur provient d’une adjonction de Quillen(Sus^p_Tan,Ev_p)avec Ev_p le foncteur qui à un T^an-spectre symétrique (En)n associe le préfaisceauEp. (On renvoie le lecteur à [Ayo07b, Définition 4.3.10] pour plus de détails.) SiX une k-variété rigide lisse, le motifdeX est leT^an-spectre symétriqueSus⁰_Tan(X⊗1^cst)considéré dans RigSH_M(k); il est notéM(X).

La catégorieRigSH_M(k)est une catégorie triangulée monoïdale symétrique et unitaire (voir [Ayo07b, Théorème 4.3.76]). Par la proposition 1.3.6 et [Ayo07b, Lemme 4.3.34], on dispose d’une adjonction de Quillen

(Rig^∗,Rig_∗) :Spect^Σ_T(PreShv(Sm/k,M)) // Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/k,M)) induisant un foncteur triangulé et monoïdal

Rig^∗:SH_M(k) // RigSH_M(k).

Considérons le foncteurcpl_η: Sm/k^◦ // SmRig^qc/kqui à unk^◦-schéma lisseX associe lak-variété rigide quasi-compacte (X//(π))η. NotonsT^qcl’image inverse de T suivant la composition des prémorphismes de sites (munis des topologies grossières)

SmRig^qc/k

cpl_η

//Sm/k^◦ //Sm/Z.

Alors, T^qc est un remplacement projectivement cofibrant de B¹k ⊗1^cst/∂B¹k ⊗1^cst dans PreShv(SmRig^qc/k,M).

On note aussi T^qc l’image inverse de cet objet suivant le prémorphisme de sites SmRig/k // SmRig^qc/k. C’est un remplacement projectivement cofibrant de B¹k ⊗1^cst/∂B¹k⊗1^cst dans PreShv(SmRig/k,M). On dispose d’une

9. Pour vérifier quea^∗T⁰ // a^∗(A¹

Z⊗1cst/(A¹

Z−o_Z)⊗1cst) =A¹_Z⊗1cst/(A¹

Z−o_Z)⊗1cstest une équivalence faible de préfaisceaux, on procède de la manière suivante. On peut trouver un carré commutatif dansPreShv(SmAf/Z,M)

A ^c //

B

(A¹_Z−o_Z)⊗1cst //_A¹

Z⊗1cst

avecAprojectivement cofibrant,cune cofibration projective et les flèches vertivales des équivalences faibles. On peut alors supposer que T⁰est la cofibre dec. Il vient quea^∗T⁰est la cofibre dea^∗(c). Le résultat s’obtient alors en appliquanta^∗au carré ci-dessus et en utilisant le fait quea^∗préserve les équivalences faibles entre préfaisceaux projectivement cofibrants.

Cet argument, convenablement adapté, montre aussi queT^anest un remplacement projectivement cofibrant de(A¹_k)^an⊗1cst/(A¹_k− o)^an⊗1cst.

transformation naturellecpl_η // Rig◦(−)η induite par le morphisme naturel de la proposition 1.1.31. On a alors un carré commutatif d’équivalencesB¹-locales dansPreShv(SmRig/k,M):

T^{qc ∼B1} //

T^an

B¹k⊗1^cst

∂B¹k⊗1^cst // (A¹k)^an⊗1^cst (A¹k−o)^an⊗1^cst.

Par [Ayo07b, Proposition 4.3.42], on déduit une suite d’équivalences de Quillen à gauche relativement aux structures projectivesB¹-locales stables

Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M))

Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig/k,M))

T^an⊗_Tqc−

Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/k,M)).

La catégorie RigSH_M(k) est donc équivalente à la catégorie homotopique de Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M)).

Pourp∈N, le diagramme de foncteurs de Quillen à gauche

(1.64) PreShv(SmRig^qc/k,M)

Sus^p_Tqc

//

Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M))

Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig/k,M))

T^an⊗_Tqc−

PreShv(SmRig/k,M)

Sus^p_Tqc 22

Sus^p_Tan //Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/k,M))

est commutatif à2-isomorphisme près. L’intérêt de la catégorie de modèlesSpect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M))vient de la caractérisation suivante de ses objets fibrants. (Ci-dessous,Hom(−,−)désigne le bifoncteur « homomorphisme interne » relativement à la structure monoïdale fermée surPreShv(SmRig^qc/k,M).)

Proposition 1.3.20 — Un T^qc-spectre symétrique (En)n est fibrant pour la structure projective stable sur Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M))déduite de la structure projectiveB¹-locale surPreShv(SmRig^qc/k,M)si et seule-ment si les conditions suivantes sont satisfaites :

(i) pour toutek-variété rigide quasi-compacte et lisseX, et toutn∈N, l’objet En(X)∈Ob(M)est fibrant, (ii) pour toutn∈N, le préfaisceauEn vérifie la propriété de Brown-Gersten (voir la définition 1.2.29),

(iii) pour toutek-variété rigide quasi-compacte et lisseX, et toutn∈N, le morphisme En(B¹X) // En(X)est une équivalence faible deM,

(iv) pour tout n ∈N, l’adjoint du morphisme d’assemblage En // Hom(T^qc,En+1) est une équivalence faible de préfaisceaux (i.e.,(En)n est unΩT-spectre).

En particulier, la classe des objets stablementB¹-fibrants dansSpect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M))est stable par co-limites filtrantes.

Demonstration Seule la dernière assertion demande une preuve. En effet, il n’est pas tout à fait clair qu’une colimite deΩ_T-spectres est encore unΩ_T-spectre puisque le foncteurHom(T^qc,−)ne commute pas forcément aux colimites filtrantes. Toutefois, il suffira qu’il y commute à équivalences faibles près de préfaisceaux. On est ainsi ramené à vérifier que les foncteurs

homHo(PreShv(SmRig^qc/k,M))(T^qc⊗X,−) :PreShv(SmRig^qc/k,M) // Ab

commutent aux colimites filtrantes pour toutek-variété rigide quasi-compacte et lisseX. Ceci découle immédiatement du fait queT^qc est faiblement équivalent à B¹k⊗1^cst/∂B¹k ⊗1^cst et que les colimites filtrantes sont exactes dans la

catégorie des groupes. c.q.f.d.

Corollaire 1.3.21 — La catégorie triangulée avec sommes infinies RigSH_M(k) est compactement engendrée par les objets de la formeSus^p_Tan(X⊗A_cst) avecX une k-variété rigide quasi-compacte et lisse, etA∈E.

Demonstration Par le diagramme (1.64), il est équivalent de montrer que la catégorie triangulée avec sommes infinies RigSH⁰_M(k) =Ho_B1−st(Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M)))est compactement engendrée par les objetsSus^p_Tqc(X⊗ Acst). On commence d’abord par montrer que ces objets sont compacts. Il est plus général de montrer que le foncteur (1.65) hom_RigSH⁰

M(k)(Sus^p_Tqc(X⊗Acst),−) :Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M)) // Ab commute aux colimites filtrantes. Ce foncteur est la composition de

(1.66) Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M))

LocB1−st //Spect^Σ_Tqc(PreShv(SmRig^qc/k,M))

Ev_p

PreShv(SmRig^qc/k,M) ^{π0(A,Γ(X,−))} //Ab oùLoc_B¹_−st est un foncteur de remplacement stablementB¹-fibrant. Par la proposition 1.3.7, la transformation natu-relleColim_I◦Loc_B¹_−st // Loc_B¹_−st◦Colim_Iinduit des équivalences faibles de préfaisceaux niveau par niveau pour toute petite catégorie filtranteI. D’où le résultat recherché.

Pour terminer, il reste à vérifier que la familles des foncteurs (1.65) détecte les équivalences B¹-locales stables. Il suffit pour cela de considérer les morphismes entres spectres fibrants pour la structureB¹-locale stable. Le résultat

découle alors de la condition (iii) de la définition 1.2.31. c.q.f.d.

Remarque 1.3.22 — L’objet Sus¹_Tan(1^cst)[2] sera noté 1(−1). Le produit tensoriel − ⊗1(−1) sera simplement noté −(−1). On définit par récurrence les foncteurs −(−n) pour n ∈ N. Par [Ayo07b, Corollaire 4.3.72], on a un isomorphisme canoniqueSus^p_Tan(−)⊗Sus^q_Tan(−)'Sus^p+q_Tan(− ⊗ −). Le T^an-spectre symétrique Sus^p_Tan(X⊗Acst) du corollaire 1.3.21 est donc isomorphe àM(X)⊗Sus⁰_Tan(A_cst)(−p)[−2p] (qui est isomorphe à M(X)(−p)[−2p] lorsque A=1). Il découle aussi de [Ayo07b, Théorème 4.3.38] que le foncteur−(−1)est une auto-équivalence deRigSH_M(k) dont l’inverse est donné par(Sus⁰_Tan(T^an)⊗−)[−2]. Ceci permet donc de définir les−(n)pour toutn∈Z. Ces foncteurs sont appelés lestwists de Tate.

Lorsque kest d’égale caractéristique nulle et que sa valuation est discrète, on a un résultat plus précis.

Theoreme 1.3.23 — Supposons que k = ˜k((π)) avec ˜k un corps de caractéristique nulle. Avec les notations 1.2.35, la catégorie triangulée avec sommes infinies RigSH_M(k) est compactement engendrée par les objets de la formeSus^p_Tan(Q^rig_r (X, f)⊗Acst) avecX un ˜k-schéma lisse, f ∈Γ(X,O^×),p∈N,r∈N− {0} etA∈E.

Demonstration NotonsT⊂RigSH_M(k)la sous-catégorie triangulée avec sommes infinies engendrée par les objets de l’énoncé. En vue du corollaire 1.3.21, il suffit de montrer Sus^p_Tan(Y ⊗Acst) ∈ Ob(T) pour toute k-variété rigide quasi-compacte et lisse et p∈N. On utilise alors le foncteur triangulé Sus^p_Tan :RigSH^eff_M(k) // RigSH_M(k)et le

théorème 1.2.36 pour conclure. c.q.f.d.

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