Fibres d’un préfaisceau avec transferts B 1 -invariant

∆¹_rig׈_k∆^m_rig

id×c

∆ⁿ_rig ^h(a) //∆¹_rig׈k∆ⁿ_rig.

On construira un tel h avec h(a) des applications affines. Par le lemme 2.2.53 ci-dessous, une application affine h(a) : ∆ⁿ_rig // ∆¹_rig׈k∆ⁿ_rig est uniquement déterminée par les images desn+ 1 sommets de∆ⁿ_rig. Les sommets de

∆ⁿ_rig sont les images des morphismes∆rig(e:0→n), pour0≤e≤n. On prendra alors pourh(a)l’application affine qui à l’image de∆rig(e:0→n)associe l’image de

∆⁰_rig ^{(∆rig(a◦e),∆rig(e))} // ∆¹_rig׈k∆ⁿ_rig.

Il est clair quehdéfinit une cohomotopie. c.q.f.d.

Unk-affinoïdeX muni d’une action simplement transitive deB^mk (considéré comme unk-affinoïde en groupe pour la loi d’addition) est appelé un espace affine rigide. Le choix d’un point de X définit un isomorphisme X ' B^mk. Étant donnés deux espaces affines rigides(X,B^mk )et (Y,Bⁿk), on appelle application affine (à ne pas confondre avec

« morphisme affine ») la donnée d’un morphisme deB¹k-modulesl: B^mk // Bⁿk et d’un morphismeB^mk-équivariant f : X // Y. On vérifie facilement que l est uniquement déterminé par f. On dira donc que f est un morphisme affine, s’il existel comme ci-dessus.

Lemme 2.2.53 — Soient (X,B^mk) et (Y,Bⁿk) deux espaces affines rigides. On suppose donnés des points k-rationnelsx0, . . . , xmdeX ety0, . . . , ymdeY. On suppose que la famille(−−→x0xi)_1≤i≤mest une base duk^◦-module libre B^mk(k) = (k^◦)^m. Il existe alors une unique application affine f :X // Y telle quef(xi) =yi pour0≤i≤m.

Demonstration La preuve est laissée au lecteur. c.q.f.d.

2.2.5 Fibres d’un préfaisceau avec transferts B

¹

-invariant

Soit F un préfaisceau avec transferts invariant par homotopie au-dessus d’unek-variété rigide lisse B. Soit p∈ M(B)un point maximal. Si l’extension ˆk(p)/k(p)est séparable (voir ci-dessous pour la signification deˆk(p)) ou si la multiplication par l’exposant caractéristique dekest inversible dansF, nous construirons un préfaisceau avec transferts Fpˆ sur une sous-catégorie pleine desk(p)-affinoïdes lisses (voir le théorème 2.2.69). Le préfaisceauˆ Fpˆsera appelé la fibre de F enp; son existence dépend crucialement de l’invariance par homotopie de F. Toutefois, les transferts ne joueront qu’un rôle accessoire dans la construction deFpˆ(voir notamment la remarque 2.2.59) ; ils n’interviennent que pour inverser les morphismes finis, surjectifs et radiciels qui apparaîtront dans la preuve du théorème 2.2.58 lorsque l’extension ˆk(p)/k(p)n’est pas séparable. En particulier, si k est de caractéristique nulle, le théorème 2.2.69 admet une variante pour les préfaisceaux de groupes abéliens sans transferts ; il en est de même du lemme 2.2.71.

Definition 2.2.54 —SoitBunek-variété rigide lisse et soitp∈P(B)un point deB. On appelleAfndCor(B, p) (resp.SmAfnd/(B, p)) la2-colimite des catégoriesAfndCor(U)(resp.SmAfnd/U) suivantU ∈Flt⁰(p). (On rappelle que Flt⁰(p) est le sous-ensemble de Flt(p) formé des voisinages affinoïdes de p.) Concrètement, les objets de cette catégorie sont des couples (X, U) avec U ∈ Flt⁰(p) et X un U-affinoïde lisse. Un tel objet sera simplement noté Ztr(X/U)(resp. X/U). Étant donnés deux tels objetsZtr(X/U)etZtr(Y /V)(resp.(X/U)et(Y /V)), on a

homAfndCor(B,p)(Ztr(X/U),Ztr(Y /V)) = Colim

W∈Flt⁰(p), W⊂U∩VCorW(X׈UW, Y ׈V W) (resp. homSmAfnd/(B,p)(X/U, Y /V) = Colim

W∈Flt⁰(p), W⊂U∩VhomSmAfnd/W(X׈UW, Y ׈VW)).

On notera simplementCorB,p(X/U, Y /V)le groupe ci-dessus. Un foncteur additifF :AfndCor(B, p)^op // Ab(avec Ab la catégorie des groupes abéliens) est appelé un préfaisceau avec transferts sur SmAfnd/(B, p). Ces préfaisceaux avec transferts forment une catégorie abélienne qu’on noteraAfndPST(B, p).

Remarque 2.2.55 —Gardons les notations de la définition précédente et supposons que la k-variété rigide B est affinoïde (ce qui ne restreint pas la généralité). Alors, l’identité deX induit un isomorphisme entreX/U etX/Bdans SmAfnd/(B, p). Ainsi, dans la suite on identifieraSmAfnd/(B, p)etAfndCor(B, p)avec leurs sous-catégories pleines formées des objets de la formeX/B. Par ailleurs, siX/B etY /Bsont deux objets deSmAfnd/(B, p), on dispose d’un isomorphisme évident

Cor_B,p(X/B, Y /B) = Colim

W∈Flt(p)Cor_B(X׈_BW, Y).

En effet, on a une identification

Cor_W(X׈BW, Y ׈BW) =Cor_B(X׈BW, Y) qui découle du fait que(X׈BW) ˆ×W(Y׈BW) = (X׈BW) ˆ×BY.

Le résultat suivant est une évidence. Il admet bien entendu une version sans transferts.

Lemme 2.2.56 —SoitB unk-affinoïde lisse et soitp∈P(B). SoitF un préfaiceau avec transferts surSmAfnd/B.

On définit un préfaisceau avec transfertsF_(B,p) sur SmAfnd/(B, p) en posant F_(B,p)(X/B) = Colim

U∈Flt⁰(p)

F(X׈BU)

pourX un B-affinoïde lisse. Le préfaisceau avec transfertsF_(B,p) est appelé la préfibredeF en p.

Soient X/B et Y /B desB-affinoïdes lisses. On définit π₀Cor_B,p(X/B, Y /B)comme étant le coégalisateur de la double flèche

CorB,p(B¹X/B, Y /B)

s^∗₀

//s^∗₁

// CorB,p(X/B, Y /B).

(Bien entendu,s^∗₀ ets^∗₁ sont les morphismes induits par les sections nulle et unité.) On a des identifications évidentes π0CorB,p(X/B, Y /B) = Colim

U∈Flt(p)π0CorU(X׈BU, Y ׈BU) = Colim

U∈Flt(p)π0CorB(X׈BU, Y).

De plus, les éléments deπ₀Cor_B,p(−,−)sont les flèches de la catégorie additiveπ₀AfndCor(B, p)égale à la2-colimite desπ₀AfndCor(U)suivantU ∈Flt⁰(p).

Le groupe π0CorB,p(X/B, Y /B) est le premier groupe d’homologie du complexe Cor_B,p(X/B, Y /B) associé au groupe simplicial CorB,p(∆^•_rig׈kX/B, Y /B). Le i-ème groupe d’homologie du complexe Cor_B,p(X/B, Y /B) est noté πiCorB,p(X/B, Y /B). Il est clair que Cor_B,p(X/B, Y /B) (resp. πiCorB,p(X/B, Y /B)) est la colimite des Cor_B(X׈BU, Y)(resp.πiCorB(X׈BU, Y)) suivant U ∈Flt(p).

Par la proposition 1.1.35, on dispose d’une valuation naturelle k.kp sur le corps résiduel k(p) = OB,p/mp. On notek(p)ˆ le complété dek(p)pour cette norme et pˆ= Spm(ˆk(p)). On dispose d’un foncteur de changement de base SmAfnd/(B, p) // SmAfnd/pˆqui àX/B associe lek(p)-affinoïde lisseˆ X_pˆ=X׈_Bpˆ(égal par définition au spectre maximal de la ˆk(p)-algèbre affinoïde Γ(X,O) ˆ⊗_Γ(B,O)k(p)). Ce foncteur s’étend aux catégories des correspondancesˆ finies comme le montre la proposition suivante.

Proposition 2.2.57 — Pour toutk-affinoïde B et tout pointp∈P(B), il existe un foncteur φ_B,p:AfndCor(B, p) // AfndCor(ˆp)

qui envoieZtr(X/B)sur Ztr(Xpˆ)et qui rend commutatif le carré SmAfnd/(B, p) //

 _

SmAfnd/ˆ _ p

AfndCor(B, p) ^φB,p //AfndCor(ˆp).

Les foncteursφB,p sont caractérisés par les deux propriétés suivantes.

(i) Soitk⊂k⁰ une extension de corps valués complets. NotonsB⁰=B׈kk⁰ et soitp⁰∈P(B⁰)au-dessus dep. Alors le carré

AfndCor(B, p) ^φB,p //

AfndCor(ˆp)

AfndCor(B⁰, p⁰)

φ_B0,p0

//AfndCor(ˆp⁰)

commute modulo les isomorphismes d’associativité du produit fibré (les foncteurs verticaux étant ceux déduits de la proposition 2.2.22).

(ii) SoitD // B un morphisme dek-affinoïdes lisses et soitq∈P(D) au-dessus dep. Alors le carré AfndCor(B, p) ^φB,p //

AfndCor(ˆp)

AfndCor(D, q) ^φD,q //AfndCor(ˆq)

commute modulo les isomorphismes d’associativité du produit fibré (les foncteurs verticaux étant ceux déduits des propositions 2.2.22 et 2.2.37).

Demonstration En utilisant la propriété (i) aveck⁰ = ˆk(p), on peut ramener la construction du foncteur φ_B,p au cas oùpest un point fermé. Dans ce cas, le foncteurφ_B,p est déterminé par la propriété (ii). c.q.f.d.

De la proposition précédente, on déduit un morphisme de complexes (2.36) Cor_B,p(X/B, Y /B) // Cor_pˆ(X_pˆ, Y_pˆ)

pourX/BetY /BdansSmAfnd/(B, p). Dans la suite, il sera commode de fixer un sous-anneauΛ⊂Qet de considérer le morphisme de complexes deΛ-modules :

(2.37) Cor_B,p(X/B, Y /B)⊗Λ // Cor_pˆ(Xpˆ, Ypˆ)⊗Λ.

(On ne perdra rien à supposer queΛ =ZouΛ =Z[1/ec(k)]avecec(k)l’exposant caractéristique dek.¹⁰) Le résultat principal de ce paragraphe affirme que (2.37) est un quasi-isomorphisme si p est un point maximal (et si certaines conditions techniques sont satisfaites).

Theoreme 2.2.58 — Soit B un k-affinoïde lisse et soit p ∈ M(B) un point maximal. Soient X/B et Y /B deuxB-affinoïdes lisses. On suppose qu’il existe des morphismes étales deB-affinoïdesX // B^mB etY // BⁿB. On suppose aussi que l’une des deux alternatives suivantes est satisfaite :

— les extensionsk(p)/k et ˆk(p)/k(p)sont séparables ;

— l’exposant caractéristique dekest inversible dans Λ.

Alors, le morphisme de complexes (2.37)est un quasi-isomorphisme.

Demonstration On divise la preuve en deux parties. Dans la première, on se ramène au cas oùmB,p = 0. Ce cas sera traité dans la deuxième partie.

Partie A:Réduction au cas oùm_B,p= 0.

Puisque l’anneau local OB,p est noethérien, son idéal maximal mB,p est de type fini. Il est donc engendré par des germes d’éléments de Γ(U,O) pour un U ∈ Flt(p) suffisamment petit. Quitte à remplacer B par un voisinage affinoïde dep, on peut donc supposer qu’il existe des élémentsa1, . . . , ar∈Γ(B,O)tels quemB,p=Pr

i=1ai·OB,p. Le sous-affinoïde fermé et réduitC =B/p

(a₁, . . . , a_n)contient alors un unique point maximalq ∈M(C)au-dessus de p. De plus, on am_C,q= 0. (Bien entendu, en identifiantM(C)à un sous-ensemble deM(B), on ap=q; on a préféré noterqle pointpvu comme élément deM(C)pour plus de clarté.)

PuisqueC est réduit, son lieu non régulierC_nr⊂Cest un sous-affinoïde fermé partout de codimension non nulle.

(En effet, l’anneau Γ(C,O)est excellent d’après [Kie69].) La propriété m_C,q = 0 entraîne alors que q6∈ C_nr. Ainsi, quitte à remplacer une nouvelle foisB par un voisinage affinoïde dep, on peut supposer queCest régulier et intègre.

On veut se ramener au cas oùC est lisse surk; pour cela, on distingue deux cas.

— Supposons d’abord que l’extension k(q)/k est séparable. Puisque mC,q = 0, k(C)/k est une sous-extension de k(q)/k. Il s’ensuit que l’extension k(C)/k est séparable, ce qui entraîne queC est génériquement lisse sur k.

Le même raisonnement utilisé ci-dessus (avec le lieu singulier à la place du lieu non régulier) permet alors de supposer queC est lisse surk.

— Supposons maintenant que l’exposant caractéristique de k est inversible dansΛ. (C’est le cas, par hypothèse, lorsque l’extensionk(q)/k est inséparable.)

On peut trouver une extension finie purement inséparable k⁰/k telle que (C⊗ˆkk⁰)red est génériquement lisse.

(L’existence de k⁰/k découle du fait que k(C)/k contient une sous-extension séparable d’indice fini que l’on peut obtenir en appliquant le lemme de normalisation de Noether en géométrie rigide.) Le même raisonnement utilisé ci-dessus (avec le lieu singulier à la place du lieu non régulier) permet alors de supposer que(C⊗ˆkk⁰)_red est lisse surk. Par ailleurs, d’après la proposition 2.2.37, il suffit de montrer que le morphisme

Cor_B0,p⁰(X⁰/B⁰, Y⁰/B⁰)⊗Λ // Cor_pˆ0(X_p⁰_ˆ0, Y_pˆ⁰0)⊗Λ,

avec†⁰=†⊗ˆ_kk⁰ etp⁰∈M(B⁰)l’unique point au-dessus dep, est un quasi-isomorphisme. Ceci nous ramène au cas oùC est lisse surk.

10. Dans ce paragraphe, on évitera de noterpl’exposant caractéristique dekpour ne pas le confondre avec le pointp∈P(B).

À ce stade, nous disposons d’un sous-affinoïde fermé C ⊂ B, lisse sur k, et d’un point q ∈ M(C) au-dessus de pavec mC,q = 0. Quitte à remplacer une nouvelle fois B par un voisinage affinoïde de p, on peut trouver un carré cartésien

où les flèches verticales sont étales et la flèche horizontale inférieure est déduite de la section nulle deB^dk. Par le lemme 2.2.60 ci-dessous, il existe∈ |k^×|et un carré cartésien

C׈_kB^dk(o, ) ^j //

B

B^ck׈kB^dk(o, ) //B^ck׈kB^dk.

D’autre part, grâce à la condition sur lesB-affinoïdes X et Y, on dispose de carrés commutatifs

X // fonctorialité dans le lemme 2.2.60 ci-dessous, on obtient deux carrés cartésiens

X0׈kB^dk(o, ) //

Étant donné qu’on peut remplacerB par n’importe quel voisinage affinoïde dep, on se ramène grâce à la discussion précédente à traiter le cas oùB =B^dC,X =B^dX0,Y =B^dY0, et p=o×qavec ole zéro de B^dk et q∈M(C)un point maximal vérifiantm_C,q= 0. On a dans ce cas un isomorphisme

Cor_B,p(X, Y)' Colim

V∈Flt(q)Colim

λ∈|k^×| Cor_Bd

C(o,λ)(B^d_X0׈_CV(o, λ),B^dY0(o, λ)).

En effet, le lemme 2.2.61 ci-dessous affirme que les ouverts de la formeB^dV(o, λ), avecV ∈Flt(q)et λ∈ |k^×|, forment un sous-ensemble cofinal deFlt(p). Le morphisme (2.36) se factorise de la manière suivante :

Colim

V∈Flt(q)Colim

λ∈|k^×| Cor_Bd

C(o,λ)(B^d_X0׈_CV(o, λ),B^dY0(o, λ)) // Colim

V∈Flt(q)Cor_C(X0׈CV, Y0) // Cor_qˆ((X0)qˆ,(Y0)qˆ).

Pour se ramener au casmB,p = 0 (remarquer que X0/C et Y0/C vérifient l’hypothèse technique de l’énoncé), il est donc suffisant de montrer que les morphismes de complexes

(2.38) Cor_Bd

C(o,λ)(B^d_X0׈CV(o, λ),B^dY₀(o, λ)) // Cor_C(X0׈CV, Y0) sont des quasi-isomorphismes pour toutV ∈Flt(q)etλ∈ |k^×|. Remarquons pour cela que

Cor_Bd

C(o,λ)(B^d_X0׈_CV(o, λ),B^dY0(o, λ)) =Cor_C(B^d_X0׈_CV(o, λ), Y0)'Cor_C(B^d_X0׈_CV, Y0)

(la dernière identification provient du fait queλ∈ |k^×|). De plus, modulo ces identifications, le morphisme (2.38) est celui induit par la section nulle deB^dk. Le résultat découle maintenant de la proposition 2.2.44.

Partie B :Le cas oùmB,p= 0.

À partir de maintenant, on travaille sous l’hypothèse supplémentaire quemB,p= 0; puisqueB est lisse, l’extension k(p)/k est séparable. (Le morphisme étaleX // B^mB qui a servi dans la partie A de la preuve ne jouera plus aucun rôle dans la suite. Nous aurons besoin toutefois du morphisme étaleY // BⁿB pour construire l’immersion ouverte Y ,→P^an ci-dessous.)

On note A = Γ(B,O) et D = Γ(Y,O). Le morphisme étale Y // BⁿB correspond à un morphisme étale de k-algèbres affinoïdesA{τ1, . . . , τ_n} // D. Par le lemme 1.1.52, il existe une présentation

D' A{τ1, . . . , τn+r} (f₁, . . . , f_r) avecfj∈A[τ1, . . . , τn+r]pour1≤j≤r. On pose

E= A[τ1, . . . , τn+r]

(f₁, . . . , f_r) et P = Spec(E).

AlorsP est unA-schéma affine de type fini et il existe une immersion ouverte canonique Y ,→P^an. (Dans la suite dans la preuve, le morphisme étaleY // BⁿB ne servira plus ; nous utiliserons uniquement l’immersion ouverte deY dans l’analytifié duA-schéma de type finiP.)

Pour un anneau L et un entier n ∈ N, rappelons que ∆ⁿ_L désigne le schéma Spec(L[t0, . . . , tn]/(1−Pn i=0ti)).

Introduisons quelques notations supplémentaires.

— On pose

Cⁿ= Γ(∆ⁿ_rig׈kX,O) = Γ(X,O){t0, . . . , t_n} (1−Pn

i=0ti) et Cˆⁿ= Γ((∆ⁿ_rig׈kX)pˆ,O) = Γ(X_pˆ,O){t0, . . . , t_n} (1−Pn

i=0ti) . Les anneaux Cⁿ et Cˆⁿ sont des algèbres affinoïdes sur k et k(p)ˆ respectivement. D’après le lemme 2.2.62 ci-dessous, laO(∆ⁿ_ˆ

k(p))-algèbreCˆⁿ est régulière. Grâce au théorème de Popescu [Pop85, Pop86] (voir aussi [Spi99]),Cˆⁿ est une colimite filtrante deO(∆ⁿ_L)-algèbres lisses de type fini avecL⊂ˆk(p)des sous-A-algèbres de type fini. L’hypothèsemB,p = 0 assure queSpec(L) // Spec(A)est dominant. Ainsi, quitte à raffiner L (dans l’ensemble des sous-A-algèbres de type fini de ˆk(p)), on peut supposer qu’il existe un B-affinoïde fini, surjectif et radicielB⁰= Spm(A⁰)tel que laA⁰-algèbre(L⊗AA⁰)redest lisse. (Bien entendu, lorsque l’extension ˆk(p)/k(p)est séparable, on peut prendreB⁰ =B, i.e., on peut supposer que laA-algèbreLest lisse.)

— Identifions Y à son image par l’immersion ouverte Y ,→ P^an. Étant donné un B-affinoïde lisse Q, on notera Cor^Y_B(Q, P) le sous-groupe de Cor_Spec(A)(Spec(Γ(Q,O)), P)¹¹ librement engendré par les correspondances finies élémentaires[Z]avecZ ⊂Spec(Γ(Q,O))×_Spec(A)P intègre, fini et surjectif sur une composante connexe deSpec(Γ(Q,O)), et vérifiant la condition supplémentaire suivante :

la A-algèbre Γ(Z,O) est affinoïde puisque finie sur Γ(Q,O). On note Z^an le B-affinoïde Spm(Γ(Z,O)).

Par la proposition 1.1.21, le morphisme deA-schémasZ // P équivaut à la donnée d’un morphisme de B-variétés rigidesZ^an // P^an. Alors,[Z]est dansCor^Y_B(Q, P)si et seulement si l’image deZ^andansP^an est contenue dansY.

Il est clair que l’association[Z] [Z^an] fournit un isomorphisme

(2.39) Cor^Y_B(Q, P)'CorB(Q, Y).

— Etant donné unk(p)-affinoïde lisseˆ R, on noteraCor^Y_B(R, P)le sous-groupe de Cor_Spec(A)(Spec(Γ(R,O)), P) librement engendré par les correspondances finies élémentaires[Z] avecZ ⊂Spec(Γ(R,O))×_Spec(A)P intègre, fini et surjectif sur une composante connexe deSpec(Γ(R,O)), et vérifiant la condition supplémentaire suivante : lak(p)-algèbreˆ Γ(Z,O)est affinoïde puisque finie surΓ(R,O). On noteZ^anlek(p)-affinoïdeˆ Spm(Γ(Z,O)).

Par la proposition 1.1.21, le morphisme deA-schémasZ // P équivaut à la donnée d’un morphisme de ˆk(p)-variétés rigidesZ^an // P^an⊗ˆ_kk(p). Alors,ˆ [Z]est dansCor^Y_B(R, P)si et seulement si l’image deZ^an dansP^an⊗ˆkˆk(p)est contenue dansY⊗ˆkˆk(p).

Il est clair que l’association[Z] [Z^an] fournit un isomorphisme (2.40) Cor^Y_B(R, P)'Corpˆ(R, Ypˆ).

Les isomorphismes (2.39) et (2.40) sont naturels en Q et R (où pourCor^Y_B(−, P) on utilise le « pull-back » des cycles relatifs suivant des morphismes entre schémas noethériens réguliers). Avec ces notations, on doit prouver que

(2.41) Colim

W∈Flt⁰(p)

Cor^Y_B((∆^•_rig׈kX) ˆ×BW, P) // Cor^Y_B((∆^•_rig׈kX)_pˆ, P)

est un quasi-isomorphisme (après application de− ⊗Λ). On divise la preuve en deux sous-parties : dans la première on traite la surjectivité en homologie et dans la seconde on traite l’injectivité. Étant donné que les preuves de la

11. Il s’agit du groupe de correspondances finies algébriques au-dessus deSpec(A)entreSpec(Γ(Q,O))etP.

surjectivité et de l’injectivité se ressemblent, nous donnerons beaucoup plus de détails dans la première sous-partie que dans la seconde.

Sous-partie B.1 :On montre ici que (2.41) induit des morphismes surjectifs en homologie. Soitn∈Nun entier naturel et soitα∈Cor^Y_B((∆ⁿ_rig׈kX)pˆ, P)⊗Λ une correspondance finie (à coefficients dansΛ) définissant un cycle dans le complexe normalisé associé au groupe simplicial Cor^Y_B((∆^•_rig׈kX)pˆ, P)⊗Λ, i.e., telle que α◦dn,i = 0 pour tout 0≤i≤n, avec

dn,i: (∆ⁿ⁻¹_rig ׈kX)pˆ,→(∆ⁿ_rig׈kX)pˆ

l’inclusion de la face d’équationti= 0. Nous allons construire successivement des correspondances finies,α⁰,α⁰⁰etα⁰⁰⁰ et nous montrerons queα⁰⁰⁰ fournit un antécédent àα. L’argument étant long, on le divise en trois étapes.

Étape B.1.1 :PuisqueP est unA-schéma de type fini, il existe par le théorème de Popescu [Pop85,Pop86] une sous-A-algèbre de type finiL⊂ˆk(p), un ∆ⁿ_L-schéma affine et lisse H˜0, un morphisme de ∆ⁿ_L-schémasSpec( ˆCⁿ) // H˜0, et une correspondance finieα˜⁰₀∈CorSpec(A)( ˜H0, P)⊗Λtelle que αest égale à la composition de

Spec( ˆCⁿ) // H˜0

˜ α⁰₀

// P.

Quitte à raffinerLet H˜₀, on peut supposer aussi queα˜⁰₀◦( ˜H₀/(t_i),→H˜₀) = 0 pour0≤i≤n.

Quitte à raffinerL, on peut supposer qu’il existe un B-affinoïde fini, surjectif et radicielB⁰ = Spm(A⁰)tel que la A⁰-algèbre(L⊗_AA⁰)_redest lisse. Soitqune puissance de l’exposant caractéristique dektelle que leq-ième morphisme de Frobenius absolu deA se factorise par le morphismeA // A⁰. Par le choix deA⁰, laA-algèbre(L⊗_A,FrobqA)_red est lisse. Il s’ensuit aussitôt que le∆ⁿ_A-schéma

H0= ( ˜H0×∆ⁿ_A,Frob_q∆ⁿ_A)red

est également lisse. (Ci-dessus, le changement de base est suivant leq-ième morphisme de Frobenius absolu de∆ⁿ_Aqui se factorise par le morphismeid∆ⁿ×Frobq : ∆ⁿ×Spec(A) // ∆ⁿ×Spec(A).) Par ailleurs, leq-ième morphisme de Frobenius absolu deH˜₀fournit un morphisme de∆ⁿ_A-schémasH˜₀ // H₀. Ce dernier morphisme étant fini, surjectif et radiciel, il admet un inverseγ∈Cor_∆ⁿ

A(H₀,H˜₀)⊗Λ. On pose alorsα⁰₀= ˜α⁰₀◦γ.

On a ainsi trouvé un ∆ⁿ_A-schéma affine et lisse H0, un morphisme de ∆ⁿ_A-schémas Spec( ˆCⁿ) // H0, et une correspondance finieα⁰₀∈CorSpec(A)(H0, P)⊗Λ telle queαest égale à la composition de

Spec( ˆCⁿ) // H0

α⁰₀ // P.

De plus, on aα⁰₀◦(H0/(ti),→H0) = 0pour0≤i≤n.

Pour la suite, on pose H =H₀×∆ⁿ_ASpec(Cⁿ)et on note α⁰ la composition de α⁰₀ avec la projectionH // H₀. On dispose également d’un morphisme canonique deCⁿ-schémasSpec( ˆCⁿ) // H et la composition de

Spec( ˆCⁿ) // H ^α

0 // P

est égale àα. Bien entendu, on a encoreα⁰◦(H/(t_i),→H) = 0pour0≤i≤n.

Étape B.1.2 :NotonsZ⁰⊂H×Spec(A)P le support deα⁰. C’est un schéma réduit, fini et surjectif surH. On pose Z= (Spec( ˆCⁿ)×HZ⁰)red.

AlorsΓ(Z,O)est uneCˆⁿ-algèbre affinoïde finie etZ^an= Spm(Γ(Z,O))est le support de la correspondance finieαde (∆ⁿ_rig׈_kX)_pˆdans(P^an)_pˆ. Par construction, on a un carré cartésien (à nil-immersion près)

Z^an //

(Z^0an)pˆ

(∆ⁿ_rig׈kX)pˆ Spm( ˆCⁿ) //(H^an)pˆ.

La flèche horizontale inférieure est une section au morphisme(H^an)pˆ // (∆ⁿ_rig׈kX)pˆdéduit du morphisme évident H^an // ∆ⁿ_rig׈kX. En particulier, les flèches horizontales dans le carré ci-dessus sont des immersions fermées.

Puisque αest dansCor^Y_B((∆ⁿ_rig׈_kX)_pˆ, P), le morphismeZ^an // (P^an)_pˆse factorise par l’ouvert affinoïdeY_pˆ. On a donc un carré commutatif

Z^an //

(Z^0an)pˆ

Y_pˆ //(P^an)_pˆ.

Ainsi,Z^anest contenu dans(Z^0an׈P^anY)pˆ. PuisqueZ^an est un affinoïde (et donc quasi-compact) et que lak-variété rigideZ^0an׈P^anY peut s’écrire comme une union croissante d’une suite d’ouverts affinoïdes, on peut trouver un ouvert affinoïdeR⊂Z^0an tel que :

— l’image deRpar le morphismeZ^0an // P^anest contenue dansY ⊂P^an;

— R_pˆcontient le ferméZ^an,→(Z^0an)_pˆ.

On définit alors un sous-ensemble T ⊂ H^an en posant T = (Z^0an → H^an)(R) avec les notations du lemme 2.2.63 ci-dessous. (Le lemme en question suppose qu’on travaille avec desk-affinoïdes ; on se ramène à ce cas en remplaçant H^an par un ouvert affinoïde dont l’image inverse par Z^0an // H^an contient R.) Toujours d’après le lemme 2.2.63 ci-dessus, T est un ouvert affinoïde et Tpˆ contient le fermé (∆ⁿ_rig׈kX)pˆ ,→ (H^an)pˆ. (En effet, l’image inverse de ce fermé par (Z^0an)pˆ // (H^an)pˆ est égale à Z^an qui est bien contenu dans Rpˆ.) On note alors α⁰⁰ la composition de α⁰ avec Spec(Γ(T,O)) // H. Par construction, α⁰⁰ est un élément de Cor^Y_B(T, P) = Cor_B(T, Y). De plus les compositions deα⁰⁰avec les inclusionsT /(t_i),→T sont nulles pour0≤i≤n.

Étape B.1.3 :À ce stade, nous avons construit un∆ⁿ_rig׈kX-affinoïde lisseT, muni d’une section s: (∆ⁿ_rig׈kX)pˆ // Tpˆ

définie après extension des scalaires àˆk(p), ainsi qu’une correspondance finieα⁰⁰∈Cor_B(T, Y)⊗Λtelle que(α⁰⁰)_pˆ◦s=α etα⁰⁰◦(T /(ti),→T) = 0pour0≤i≤n. Par le lemme 2.2.64 ci-dessous, on peut supposer queT =B^dk׈k(∆ⁿ_rig׈kX) =

∆ⁿ_rig׈_kB^dX (quitte à remplacerB par un voisinage affinoïde dep). Dans ce cas, on peut considérerα⁰⁰comme un cycle dans le complexeCor_B(B^dX, Y)⊗Λ. Appelonsπ:B^dX // X la projection évidente. D’après la proposition 2.2.44, il existe une correspondance finieα⁰⁰⁰∈Cor_B(∆ⁿ_rig׈_kX, Y)⊗Λ, qui est un cycle dans le complexe normalisé associé au groupe simplicialCorB(∆^•_rig׈kX, Y)⊗Λ, et telle queα⁰⁰est homologue àα⁰⁰⁰◦π. Soitβ ∈CorB(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kB^dX, Y)⊗Λ une homologie entreα⁰⁰ etα⁰⁰⁰◦π. Ainsi,β vérifieβ◦dn+1,0=α⁰⁰−α⁰⁰⁰◦πetβ◦dn+1,i= 0pour 1≤i≤n+ 1.

Appelons

h: (∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX)pˆ // (∆ⁿ⁺¹_rig ׈kB^dX)pˆ

le morphisme obtenu du morphisme de(∆ⁿ_rig׈kX)pˆ-affinoïdess: (∆ⁿ_rig׈kX)pˆ // Tpˆ= (∆ⁿ_rig׈kB^dX)pˆpar change-ment de base suivant le morphisme de dégénérescence(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX)pˆ // (∆ⁿ_rig׈kX)pˆcorrespondant à

(t0, . . . , tn+1) (t0+t1, t2, . . . , tn+1).

On a donc un carré cartésien

(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX)pˆ h //

(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kB^dX)pˆ

(∆ⁿ_rig׈kX)pˆ

s //(∆ⁿ_rig׈kB^dX)pˆ

et h est un morphisme de (∆ⁿ⁺¹_rig ׈_kX)_pˆ-affinoïdes. En particulier, pour tout 0 ≤ i ≤ n+ 1, on dispose de carrés cartésiens

(∆ⁿ_rig׈kX)pˆ hi //

d_n+1,i

(∆ⁿ_rig׈kB^dX)pˆ d_n+1,i

(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX)pˆ

h //(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kB^dX)pˆ.

De plus,h0=sde sorte queh◦dn+1,0= dn+1,0◦s. (Cette égalité est aussi vraie pouri= 1, mais nous n’en aurons pas besoin.) Ainsi, la correspondance finie(β)pˆ◦h∈Corpˆ((∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX)pˆ, Ypˆ)⊗Λvérifie les identités suivantes

(β)pˆ◦h◦dn+1,i=







(α⁰⁰)_pˆ◦s−(α⁰⁰⁰)_pˆ◦π_pˆ◦s si i= 0,

0 si 1≤i≤n+ 1.

Puisqueα= (α⁰⁰)_pˆ◦set quesest une section à la projectionπ_pˆ: (∆ⁿ_rig׈kB^dX)_pˆ // (∆ⁿ_rig׈kX)_pˆ, la correspondance finie(β)_pˆ◦hfournit une homologie entreαet (α⁰⁰⁰)_pˆ. Ceci termine la preuve de la surjectivité.

Sous-partie B.2 :On montre maintenant que (2.41) induit des morphismes injectifs en homologie. Soitn∈Nun entier naturel et soitα∈Cor^Y_B(∆ⁿ_rig׈kX, P)⊗Λune correspondance finie définissant un cycle dans le complexe normalisé associé au groupe simplicial Cor^Y_B(∆^•_rig׈kX, P)⊗Λ, i.e., telle que α◦dn,i = 0 pour tout0 ≤i ≤n. On suppose qu’il existe une correspondance finieβ ∈Cor^Y_B((∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX)pˆ, P)⊗Λtelle queβ◦dn+1,0=αpˆetβ◦dn+1,i= 0pour 1≤i≤n+ 1.

Puisque P est un A-schéma de type fini, on peut appliquer le théorème de Popescu [Pop85, Pop86] et le rai-sonnement de l’étape B.1.1 pour obtenir un Cⁿ⁺¹-schéma affine, lisse et de type fini H, muni d’un morphisme de Cⁿ⁺¹-schémasSpec( ˆCⁿ⁺¹) // H, et une correspondance finieβ⁰ ∈Cor_Spec(A)(H, P)⊗Λ telle queβ est égale à la composition de

Spec( ˆCⁿ⁺¹) // H ^β

0 // P.

En raffinantLetH˜0 (voir le début de l’étape B.1.1), on peut aussi garantir queβ⁰◦(H/(t0),→H) =α◦(H/(t0)→ Spec(Cⁿ))et β⁰◦(H/(ti),→H) = 0pour1≤i≤n+ 1.

En raisonnant comme dans l’étape B.1.2, on peut construire un ouvert affinoïde T ⊂H^an tel que Tpˆcontient le fermé(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX)pˆ,→(H^an)pˆet tel que la restriction de(β⁰)^anàT se factorise parY. On noteβ⁰⁰∈CorB(T, Y)⊗Λ la correspondance finie ainsi obtenue. Par construction, on a

(2.42) β⁰⁰◦(T /(t0),→T) =α◦(T /(t0)→∆ⁿ_rig׈kX) etβ⁰⁰◦(T /(t_i),→T) = 0pour1≤i≤n+ 1.

D’après le lemme 2.2.64 ci-dessus, on peut supposer queT =B^dk׈k(∆ⁿ⁺¹_rig ׈kX) = ∆ⁿ⁺¹_rig ׈kB^dX(quitte à remplacer Bpar un voisiage affinoïde dep). Notonss0la section nulle deB^dX et posonsβ⁰⁰⁰=β⁰⁰◦s0. Alorsβ⁰⁰⁰◦dn+1,i= 0pour 1≤i≤n+ 1. D’autre part, la relation (2.42) entraîne queβ⁰⁰⁰◦dn+1,0=α. Ceci montre queαest homologue à zéro.

Le théorème est démontré. c.q.f.d.

Remarque 2.2.59 —Dans le cas où les extensionsk(p)/ketˆk(p)/k(p)sont séparables (ce qui est automatique sik est de caractéristique nulle), la preuve du théorème 2.2.58 fonctionne encore en remplaçant partout « correspondances finies » par « combinaisons linéaires de morphismes ». Ainsi, le morphisme de groupes simpliciaux

Z⊗hom_Afnd/(B,p)(∆^•_rig׈kX/B, Y /B) // Z⊗hom_Afnd/ˆp(∆^•_rig׈kXpˆ, Ypˆ)

induit un quasi-isomorphisme sur les complexes simples associés (en supposant bien entendu queX et Y admettent des morphismes étales vers des boules de Tate relatives).

Dans la preuve du théorème 2.2.58, nous avons utilisé quelques lemmes de géométrie rigide. Il s’agit des lemmes 2.2.60, 2.2.61, 2.2.62, 2.2.63 et 2.2.64 ci-dessous (que nous avons ordonnés par ordre d’utilisation).

Lemme 2.2.60 — SoientU et V desk-variétés rigides quasi-compactes. On suppose donné un morphisme étale e:V // U׈kBⁿk. On note o le centre deBⁿk, Z =V׈_Bⁿ_ko ete₀ :Z // U le morphisme évident. Pour ∈ |k^×| suffisamment petit, il existe un unique morphismej:Z׈kBⁿk(o, ) // V rendant commutatif le carré

(2.43) Z׈kBⁿk(o, ) ^j //

e0×id

V

e

U׈kBⁿk(o, ) //U׈kBⁿk

et tel que (j)_|Z׈_ko : Z // V est l’inclusion évidente de Z dans V. De plus, le morphisme j est une immersion ouverte et le carré ci-dessus est cartésien.

Le morphisme j est fonctoriel au sens suivant. Supposons donné un carré commutatif

V^{0 g} //

e⁰

V

e

U⁰׈kBⁿk

f×id//U׈kBⁿk

avec e et e⁰ étales. Notons j⁰ : Z⁰׈kBⁿk(o, ) // V⁰ le morphisme associé à e⁰ comme ci-dessus. Alors, le carré suivant commute

(2.44) Z⁰׈kBⁿk(o, ) ^g0×id//

j⁰

Z׈kBⁿk(o, )

j

V^{0 g} //V.

Demonstration On construit d’abord le morphisme j. On pose W = V׈UZ. On a un morphisme diagonal Z // W. Le diagramme

Z

V oo W //Z׈kBⁿk

commute et ses flèches horizontales sont étales. Par le corollaire 1.1.56 et le lemme 2.2.61 ci-dessous, il existe pour ∈ |k^×|suffisamment petit un morphismeZ׈kBⁿk(o, ) // W rendant commutatif le diagramme

W

Z // 11

Z׈_kBⁿk(o, ) // 33 Z׈_kBⁿk. Considérons la composition de

j:Z׈kBⁿk(o, ) // W // V.

Par construction, le diagramme

W

Z׈kBⁿk(o, ) //

e₀×id

33

Z׈kBⁿk e₀×id

V

xx e

U׈kBⁿk(o, ) //U׈kBⁿk

commute. Il vient quej rend commutatif le carré (2.43).

Remarquons à présent que j est un morphisme de U׈_kBⁿk-variétés rigides étales. Or, un tel morphisme est uniquement déterminé par son changement de base suivant l’inclusionU׈ko ,→U׈kBⁿ carZ׈korencontre toutes les composantes connexes deZ׈kBⁿk(o, ). Ainsi, la condition que(j)_|Z׈koest l’inclusion évidente force l’unicité du morphismej.

Montrons maintenant que j est une immersion ouverte (quitte peut-être à prendre unplus petit). Étant donné que le triangle

Z׈_kBⁿk(o, )

Z 77 //

V

commute et que le morphisme vertical est étale, une deuxième application du corollaire 1.1.56 montre qu’il existe un voisinage quasi-compactQ⊂Z׈kBⁿk(o, )deZ tel que la composition de

Q // Z׈kBⁿk(o, ) // V

est une immersion ouverte. Par le lemme 2.2.61 ci-dessous, on peut trouver 0 < ⁰ < , avec ⁰ ∈ |k^×|, tel que Z׈kBⁿk(o, ⁰)est contenu dansQ. D’où le résultat.

On montre maintenant que (2.43) est cartésien (quitte peut-être à prendre un plus petit). On dispose d’une immersion ouverteZ׈kBⁿk(o, ),→V׈_Bⁿ_kBⁿk(o, ). Or, la famille desV ׈_Bⁿ_kBⁿk(o, )est cofinale parmi les voisinages ouverts de Z dans V. On peut donc trouver 0 < ⁰ < , avec ⁰ ∈ |k^×|, tel que V׈_Bⁿ_kBⁿk(o, ⁰) est contenu dans j(Z׈kBⁿk(o, )). On a alors nécessairementZ׈kBⁿk(o, ⁰)'V ׈_Bⁿ_kBⁿk(o, ⁰).

Pour terminer, il reste à voir que le carré (2.44) commute. Comme (2.43) est cartésien, la fonctorialité du produit fibré fournit un morphismea:Z⁰׈_kBⁿk(o, ) // Z׈_kBⁿk(o, )faisant commuter le diagramme

U⁰׈kBⁿk(o, )

Z⁰׈kBⁿk(o, ) //

oo

a

V⁰

U׈_kBⁿk(o, )oo Z׈_kBⁿk(o, ) //V.

CommeZ⁰׈kBⁿk(o, )et Z׈kBⁿk(o, )sont étales surU⁰׈kBⁿk(o, )etU׈kBⁿk(o, )respectivement, il existe au plus un morphismea induisant le morphismeg0 : Z⁰ // Z. Commeg0×id convient, on a forcément a=g0×id. Ceci

termine la preuve du lemme. c.q.f.d.

Lemme 2.2.61 — Soit X une k-variété rigide quasi-compacte. Soit U ⊂ X׈kBⁿk un ouvert quasi-compact et notonsZ =U ∩(X׈ko)⊂X. Pour∈ |k^×|suffisamment petit, on a Z׈kBⁿk(o, )⊂U.

Demonstration La question est locale en X et U. On peut donc supposer que X est unk-affinoïde et queU est un domaine rationnel D_Bⁿ

X(f₀|f1, . . . , f_r) défini par des éléments f₀, . . . , f_r engendrant Γ(X,O){t1, . . . , t_n} en tant qu’idéal. Écrivons, pour0≤i≤r,

X(f₀|f1, . . . , f_r) défini par des éléments f₀, . . . , f_r engendrant Γ(X,O){t1, . . . , t_n} en tant qu’idéal. Écrivons, pour0≤i≤r,

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