Faisceaux f h et multiplicités d’intersection

En géométrie algébrique, les correspondances finies apparaissent naturellement en considérant la topologie f h comme le montre l’article de Suslin-Voevodsky [SV96].⁴Ce point de vue facilite la vérification de certaines propriétés, notamment l’associativité de la composition des correspondances finies. De plus, il fournit beaucoup d’exemples de préfaisceaux avec transferts. Ainsi, nous avons choisi d’introduire les correspondances finies en géométrie rigide via les faisceauxf h. Nous suivrons de près l’article [SV96] en l’adaptant à la géométrie rigide. Rappelons que Afnd/k désigne la catégorie desk-affinoïdes.

Definition 2.2.1 — La topologie f hsur Afnd/k est la topologie associée à la prétopologie formée des familles (f_i:Y_i // X)_i∈I telles que l’ensembleI est fini, et le morphisme ∪_if_i:`

i∈IY_i // X est fini et surjectif.

Étant donné unk-affinoïdeX, le morphisme de normalisationX⁰ // X est un recouvrementf h. Grâce à [SGA 4, Exposé III, Théorème 4.1], on a donc une équivalence de sites

(Afnd/k, f h) // (NorAfnd/k, f h),

où NorAfnd/k ⊂ Afnd/k est la sous-catégorie pleine des k-affinoïdes normaux munie de la topologie induite de la topologief hsurAfnd/k; cette topologie induite est encore notée «f h».

On fera attention que la topologie f h sur NorAfnd/k ne provient pas d’une prétopologie car les morphismes finis et surjectifs ne sont pas quarrables dansNorAfnd/k. Un sous-préfaisceauH du préfaisceau représenté parX ∈ Ob(NorAfnd/k) est un crible couvrant pour la topologie f hsi et seulement si, pour tout F ∈Ob(Shvf h(Afnd/k)), l’application

homPreShv(NorAfnd/k)(X,inc∗(F)) // homPreShv(NorAfnd/k)(H,inc∗(F))

est bijective (avec inc : NorAfnd/k ,→ Afnd/k le foncteur d’inclusion). La définition suivante est l’extension aux k-affinoïdes de [SV96, Definition 5.5].

Definition 2.2.2 — Un morphisme de k-affinoïdes f : Y = Spm(B) // X = Spm(A) est un revêtement pseudo-galoisiensi les conditions suivantes sont vérifiées :

(i) X et Y sont intègres, etf est fini et surjectif ;

(ii) l’extension finieFrac(A)⊂Frac(B)est pseudo-galoisienne de groupe de Galois G; (iii) le sous-annneau B⊂Frac(B)est invariant par l’action deG.

Il est clair que sous les conditions (i) et (ii) de la définition 2.2.2, la condition (iii) équivaut à ce que le morphisme de groupesAut(Y /X)^op // Gsoit inversible. La condition (iii) est automatique lorsque lek-affinoïdeY est normal.

Lemme 2.2.3 — Soitf :Y // X un revêtement pseudo-galoisien de k-affinoïdes. LorsqueX est normal, on a les propriétés suivantes.

1. Pour toute extension finie l/k et tout point l-rationnel x∈X(l), l’action deAut(Y /X)sur les points fermés de Y ׈Xxest transitive.

2. Plus généralement, siX⁰ // X est un morphisme dek-affinoïdes avecX⁰ intègre, le groupeAut(Y /X)permute transitivement les composantes irréductibles deY⁰=Y׈XX⁰. De plus, siY₀⁰ est une composante irréductible de Y⁰ (considérée comme unk-affinoïde réduit), le morphismeY₀⁰ // X⁰ est un revêtement pseudo-galoisien.

4. Dansloc. cit., les auteurs montrent qu’un faisceau pour la topologieqf hadmet naturellement des transferts. Toutefois, leur argument n’utilise que les propriétés d’une topologie moins fine, à savoir, la topologief hengendrée par les familles surjectives de morphismes finis.

Demonstration Pour démontrer la première partie du lemme, on peut supposer que k est algébriquement clos (quitte à le remplacer par la complétion d’une clôture algébrique). Ceci permettra d’identifier les points fermés aux points k-rationnels. On pose A = Γ(X,O) et B = Γ(Y,O). Alors B est une A-algèbre finie munie d’une action de G= Aut(Y /X)^op= Gal(Frac(B)/Frac(A)). LaA-algèbreB^Gest finie et l’extensionFrac(A)⊂Frac(B^G)est purement inséparable. Comme l’anneauAest normal, laA-algèbreB^G est radicielle. Or, le morphismeSpec(B^G) // Spec(A) est fini et surjectif. C’est donc un homéomorphisme universel. En particulier, les idéaux premiers deAsont en bijection avec ceux deB^G. Par ailleurs, d’après [Bou64, Chapitre V, §2, n^◦ 2, Théorème 2], sip est un idéal premier deB^G, le groupeGopère transitivement sur l’ensemble des idéaux premiersq⊂B tels que p=q∩B^G. En se restreignant aux idéaux premiers maximaux, on obtient la première partie du lemme.

On passe à la seconde partie du lemme. On montre d’abord queGpermute transitivement les composantes irré-ductibles deY⁰. Pour cela, on fixe une composante irréductibleY₁⁰ deY⁰ qui domineX⁰. (Il y en a au moins une car Y⁰ // X⁰ est surjectif.) SoitY₂⁰ une autre composante irréductible de Y⁰, distincte de Y₁⁰. Nous allons montrer que Y₂⁰ est l’image de Y₁⁰ par un élément de G(ce qui suffit pour conclure). Soit y2 un point fermé de Y₂⁰ appartenant au lieu régulier deY_red⁰ . Comme Y₁⁰ se surjecte surX⁰, on peut trouver un point ferméy1 deY₁⁰ admettant la même image quey2 dansX⁰. Par la première partie du lemme, il existeσ∈Aut(Y /X)tel queσ(y2) =y1. En particulier,y1

appartient aussi au lieu régulier deY_red⁰ . Commey1∈Y₁⁰∩σ(Y₂⁰), on a forcémentY₁⁰ =σ(Y₂⁰). En effet, l’intersection de deux composantes irréductibles distinctes ne peut pas contenir de points réguliers.

Il reste à voir que f₀⁰ : Y₀⁰ // X⁰ est un revêtement pseudo-galoisien. Notons f⁰ : Y⁰ // X⁰ le morphisme naturel. Notons aussiG₀= Stab_G(Y₀⁰)le stabilisateur dansGde la composante irréductibleY₀⁰. PosonsA⁰ = Γ(X⁰,O), B⁰ = Γ(Y⁰,O)etB₀⁰ = Γ(Y₀⁰,O). Il existe un ouvert non videU ⊂Spec(A⁰)au-dessus duquel Spec(B⁰)est la somme disjointe de ses composantes irréductibles. Six∈U(l)est un pointl-rationnel deU, avecl/k une extension finie, les composantes irréductibles deY⁰ induisent une partition deY⁰׈X⁰x. D’après la première partie du lemme, on déduit queG0agit transitivement sur les points fermés deY₀⁰׈X⁰x. Ceci entraîne que le morphismeSpec(B₀^0G0) // Spec(A⁰) est radiciel (alias universellement injectif, purement inséparable) au-dessus deU. L’extensionFrac(A⁰)⊂Frac(B⁰₀)est

donc pseudo-galoisienne de groupe de GaloisG0. c.q.f.d.

On en déduit la proposition suivante.

Proposition 2.2.4 — Soit F un faisceau f h sur Afnd/k (resp. NorAfnd/k) à valeurs dans une catégorie complète et cocomplète C. Soit f : Y // X un revêtement pseudo-galoisien de k-affinoïdes avec X normal (resp.

avec X etY normaux). Alors, le morphisme évident

F(X) ^∼ // F(Y)^{Aut(Y /X)} est inversible.

Demonstration Un faisceau f hsurNorAfnd/kest la restriction d’un faisceauf hsurAfnd/k, vue l’équivalence de catégoriesShvf h(Afnd/k) ^∼ // Shvf h(NorAfnd/k). Il suffit donc de traiter le cas non respé.

Considérons la famille des morphismes (id, g) :Y // Y ׈XY, indexée parg∈Aut(Y /X). Le morphisme

∪g∈Aut(Y /X)(id, g) : a

g∈Aut(Y /X)

Y // Y ׈XY

est fini. Il est aussi surjectif (sur les points fermés) d’après le lemme 2.2.3. La famille((id, g) :Y // Y׈XY)g∈Aut(Y /X)

est donc un recouvrementf h. Il vient que le morphismeF(Y ׈XY) // Q

g∈Aut(Y /X)F(Y)est un monomorphisme.

On en déduit que la suite

F(X) // F(Y) //// Y

g∈Aut(Y /X)

F(Y)

est exacte. D’où le résultat. c.q.f.d.

Lorsqu’on se restreint auxk-affinoïdes normaux, on obtient la caractérisation suivante des faisceauxf h.

Corollaire 2.2.5 — Soit F un préfaisceau d’ensembles sur NorAfnd/k. Alors, F est un faisceau f h si et seulement si il vérifie les deux conditions suivantes.

(i) F(∅/k) =∗ et l’application évidenteF(X1`X2) // F(X1)×F(X2)est bijective (pour tousk-affinoïdes nor-mauxX1 etX2).

(ii) Sif :Y // X est un revêtement pseudo-galoisien de k-affinoïdes avecX etY normaux, l’application évidente F(X) // F(Y)^{Aut(Y /X)} est bijective.

Demonstration Les conditions sont nécessaires par la proposition 2.2.4. Montrons qu’elles suffisent. On noteinc : NorAfnd/k ,→Afnd/kle foncteur d’inclusion. SoitF un préfaisceau surNorAfnd/kvérifiant les conditions (i) et (ii) de

l’énoncé. On montrera que le morphisme canoniqueF // inc∗af hinc^∗(F)est inversible (où l’on noteinc^∗le foncteur

« image inverse » sur les préfaisceaux suivant le foncteurinc), ce qui permet de conclure.

SoitX unk-affinoïde normal et connexe (donc non vide). Il faut montrer que l’application

(2.21) F(X) // Colim

X⁰→Xfini et surjectifEq inc^∗(F)sep(X⁰) //// inc^∗(F)sep(X⁰׈XX⁰)

est inversible (avecinc^∗(F)sep le préfaisceau séparé associé au préfaisceauinc^∗(F)). En effet, la condition (i) entraîne que le membre de droite dans (2.21) est l’ensemble des sections au-dessus de X du faisceau associé au préfaisceau séparé inc^∗(F)sep (voir [SGA 4, Éxposé II, §3]). Or, tout morphisme fini et surjectif X⁰ // X se raffine par un revêtement pseudo-galoisien de X de source un k-affinoïde normal. On peut donc se restreindre dans (2.21) aux X⁰ // X qui sont des revêtements pseudo-galoisiens de source normale. En reprenant le raisonnement dans la preuve de la proposition 2.2.4, on voit que pourX⁰ // X un revêtement pseudo-galoisien, l’égalisateur dans (2.21) est simplement (inc^∗(F)_sep(X⁰))^Aut(X0/X). Ainsi, grâce à la condition (ii), on terminera la preuve du corollaire en montrant que, pourX⁰ unk-affinoïde normal, l’application évidenteF(X⁰) // inc^∗(F)_sep(X⁰)est bijective.

L’application évidente F(X⁰) // inc^∗(F)(X⁰) est bijective. En effet, c’est le cas pourF représentable, et cette propriété est stable par colimites arbitraires. Il reste à voir que l’applicationinc^∗(F)(X⁰) // inc^∗(F)_sep(X⁰)est injec-tive (la surjectivité étant claire). Il faut donc montrer que l’applicationF(X⁰) = inc^∗(F)(X⁰) // Q

i∈Iinc^∗(F)(Y_i⁰) est injective pour toute famille(fi:Y_i⁰ // X⁰)_i∈I couvrante pour la topologief h. Or, on peut raffiner une telle fa-mille par un revêtement pseudo-galoisienY⁰ // X⁰ avecY⁰ normal. On se ramène alors à montrer que l’application F(X⁰) // F(Y⁰)est injective, ce qui découle de la condition (ii) de l’énoncé. c.q.f.d.

Remarque 2.2.6 —Soit F un préfaisceau sur Afnd/k et notons Fsep le préfaisceau séparé pour la topologie f h associé àF. La preuve du corollaire 2.2.5 montre que

af h(F)(X) = Colim

Y→Xpseudo-galoisienFsep(Y)^{Aut(Y /X)}

pour toutk-affinoïde normal et connexeX. De plus, on peut se restreindre dans la colimite ci-dessus aux revêtements pseudo-galoisiens deX de source normale. Ce fait servira dans la preuve de la proposition 2.2.7 ci-dessous.

SoitV unek-variété rigide. On note Z⊗V le préfaisceau sur Afnd/k qui à unk-affinoideX associe leZ-module Z⊗hom_k(X, V) librement engendré par les éléments dehom_k(X, V). On note alors Zf h(V)le faisceau f hassocié à Z⊗V.

Proposition 2.2.7 — Soit V une k-variété rigide. Pour X un k-affinoïde normal, le groupe Zf h(V)(X) = Γ(X,Zf h(V)) est naturellement isomorphe au Z-module librement engendré par l’ensemble des sous-variétés rigides intègres Z ⊂ X׈_kV telles que la projection évidente Z // X est finie et surjective au-dessus d’une composante connexe deX.

Demonstration Il est facile de voir que (Z⊗V)(Y)'(Z⊗V)_sep(Y) pour tout k-affinoïde intègreY. SoitX un k-affinoïde normal et connexe. D’après la remarque 2.2.6, on a :

Zf h(V)(X) = Colim

On note sv0(X, V) l’ensemble des sous-variétés rigides de X׈kV qui sont intègres, finies et surjectives sur X. (Rappelons queX est supposé connexe.) Étant donné un revêtement pseudo-galoisienc:Y // X et un morphisme f : Y // V, on note Z(c, f) ⊂ X׈kV l’image du morphisme fini (c, f) : Y // X׈kV.⁵ C’est un élément de sv0(X, V). Si σ∈Aut(Y /X), on a Z(c, f◦σ) = Z(c, f). Ainsi, l’applicationZ(−,−) : homk(Y, V) // sv0(X, V) se factorise parhomk(Y, V)/Aut(Y, X). On obtient ainsi une application

Colim

Y→Xpseudo-galoisien

homk(Y, V)

Aut(Y /X) // sv0(X, V).

5. On rappelle que toutes nos variétés rigides sont supposées séparées. Le fait queV soit séparée est utilisé ici pour assurer la finitude du morphisme(c, f).

Nous allons montrer que cette application est bijective, ce qui terminera la preuve de la proposition.

On montre d’abord la surjectivité. SoitZ ⊂X׈kV une sous-variété rigide intègre, finie et surjective sur X. Soit Y // X un revêtement pseudo-galoisien qui domine le morphisme Z // X. On dispose donc d’un diagramme commutatif

Pour l’injectivité, on considère des revêtements pseudo-galoisiens c_i : Y_i // X et des morphismes de k-variétés rigidesf_i :Y_i // V (pouri∈ {1,2}). On suppose queZ(c₁, f₁) = Z(c₂, f₂). On peut trouver un revêtement

ont même classe danshomk(Y, V)/Aut(Y /X). L’injectivité est démontrée. c.q.f.d.

Dans la suite du paragraphe, il sera pratique d’utiliser la notation suivante.

Notation 2.2.8 —Si X est unk-affinoïde intègre, on posek(X) = Frac(Γ(X,O)).

Étant donnée une extension finie de corps L/K, on note [L : K]sep et [L : K]isp le degré et l’indice de la sous-extension séparable maximale deL/K. Ainsi, on a[L:K] = [L:K]sep·[L:K]isp.

Proposition 2.2.9 — SoitF un faisceauf hde groupes abéliens surAfnd/k. Soitf :Y // X un morphisme fini et surjectif entrek-affinoïdes intègres. On suppose queX est normal et on choisit un revêtement pseudo-galoisien g : R // X tel que hom_X(R, Y) est non vide. (Par exemple, on peut prendre pour R le normalisé de X dans la clôture pseudo-galoisienne de l’extension k(Y)/k(X).) Étant donné a ∈ F(Y), on note Trf(a) ou encore Tr_{Y /X}(a) l’unique élément de F(X)dont la restriction àF(R)est donnée par

(2.22)

L’élément Trf(a) est alors indépendant du choix du revêtement pseudo-galoisien g. On obtient ainsi un morphisme canonique de groupes abéliens Trf :F(Y) // F(X)qu’on appelle le morphisme trace.

Demonstration Seule l’indépendance du choix de g est à démontrer. Soit h:P // X un deuxième revêtement pseudo-galoisien avechom_X(P, Y)6=∅. On se ramène immédiatement au cashom_X(P, R)6=∅et on fixet:P // R unX-morphisme. Notons provisoirementTr^g_f(a)et Tr^h_f(a)les traces deacalculées à l’aide de get hrespectivement.

Étant donné que les morphismesF(X) // F(R)etF(t) :F(R) // F(P)sont injectifs, il suffit de montrer l’égalité

Le résultat découle maintenant du fait que l’application(−)◦t: homX(R, Y) // homX(P, Y)est bijective. c.q.f.d.

Soitf :Y // X un morphisme fini et surjectif dek-affinoïdes intègres. Soitg:R // X un revêtement pseudo-galoisien tel que hom_X(R, Y) 6= ∅. Soit s : X⁰ // X un morphisme quelconque de k-affinoïdes avec X⁰ intègre.

Supposons de plus que X et X⁰ sont normaux. Par le lemme 2.2.3, le groupe Aut(R/X)agit transitivement sur les composantes irréductibles deR⁰ =R׈_XX⁰. On en fixe une,R⁰₀⊂R⁰, et on noteg₀⁰ :R⁰₀ // X⁰le morphisme évident.

C’est un revêtement pseudo-galoisien. L’ensemble des composantes irréductible deR⁰est naturellement paramétré par Aut(R/X)/Stab_Aut(R/X)(R⁰₀) via σStab_Aut(R/X)(R⁰₀) σ(R⁰₀). On note {Y_i⁰, i ∈ I} l’ensemble des composantes irréductibles deY⁰=Y ׈XX⁰. Pouri∈I, le morphismef_i⁰:Y_i⁰ // X⁰ est fini et surjectif carY_i⁰ est l’image d’une composante irréductible deR⁰ (qui est nécessairement finie et surjective surX⁰ par le lemme 2.2.3).

Considérons le carré commutatif

Cette application est surjective. Ses fibres forment une partition dehomX(R, Y). La dernière expression dans (2.23) se réécrit

Le lemme suivant calcule les cardinaux des fibres de l’applicationm.

Lemme 2.2.10 — Notons l le nombre des composantes irréductibles de R⁰. Pour i ∈ I, choisissons un X -morphisme R // Y et notons l_i le nombre des composantes irréductibles de R⁰ dont l’image par le X⁰-morphisme R⁰ // Y⁰, obtenu par changement de base duX-morphismeR // Y, est Y_i⁰. (Le nombrel_i ne dépend pas du choix

Demonstration Le groupeStab_Aut(R/X)(R⁰₀)agit sur les ensembleshom_X(R, Y)et`

i∈Ihom_X⁰(R⁰₀, Y_i⁰)par com-position à gauche et le morphisme m est Stab_Aut(R/X)(R⁰₀)-équivariant. De plus, l’action de Stab_Aut(R/X)(R⁰₀) sur homX⁰(R⁰₀, Y_i⁰)est transitive. On en déduit que les fibres des éléments de homX⁰(R₀⁰, Y_i⁰)ont le même cardinal qu’on gauche) par les éléments deStab_Aut(R/X)(R⁰₀). Le quotientH/Stab_Aut(R/X)(R⁰₀)s’identifie à l’ensemble de composantes irréductibles deR⁰ qui s’envoient surY_i⁰ parσvia l’associationτStab_Aut(R/X)(R⁰₀) τ(R₀⁰). On a donc

l_i = |H|

|Stab_Aut(R/X)(R⁰₀)|.

Par ailleurs,H est stable par multiplication à gauche par le sous-groupeAut(R/Y)⊂Aut(R/X)(oùRest considéré

Grâce au lemme 2.2.10, la dernière expression dans (2.24) peut s’écrire [k(Y) :k(X)]isp dek. Ainsi, l’égalité ci-dessus n’a de sens qu’après multiplication par le p.p.c.m.des dénominateurs des repésentants irréductibles des rationnelsn_i. Étant donné queF(g⁰₀)est injectif, on obtient le résultat suivant.

Theoreme 2.2.11 — Supposons donné un carré cartésien dek-affinoïdes Y⁰

avec f fini et surjectif,Y intègre, et X et X⁰ normaux et connexes. On note {Y_i⁰, i∈I} l’ensemble des composantes irréductibles deY⁰, et f_i⁰ et s⁰_i les restrictions de f⁰ ets⁰ à Y_i⁰. Il existe alors une unique famille (ni)_i∈I ∈(Z[1/p])^I telle que, pour tout faisceauf hde groupes abéliensF, on a

p^rF(s)◦Tr_f =X

i∈I

(p^rn_i)Tr_f⁰

i◦F(s⁰_i) avec r∈Nle plus petit entier tel que lesp^rni sont tous dansZ.

Demonstration L’existence est claire par le calcul précédent. Pour l’unicité, on prend F =Z^{f h}(Y) et l’élément idY ∈ Zf h(Y)(Y). On a alors p^r(Tr_{Y /X}(idY))_|X⁰ = P

i∈I(p^rni)Tr_Y⁰

i/X⁰(s⁰_i). Il suffit alors de montrer que les élé-mentsTr_Y⁰

i/X_i⁰(s⁰_i)sont linéairement indépendants dans Zf h(Y)(X⁰). Modulo l’identification de la proposition 2.2.7, Tr_Y⁰

i/X_i⁰(s⁰_i)est un multiple non nul deY_i⁰ vue comme sous-variété rigide deX⁰׈_kY. MaisZf h(Y)(X⁰)est librement engendré par les sous-variétés rigides deX⁰׈kY intègres, finies et surjectives surX⁰. c.q.f.d.

Definition 2.2.12 — Le nombre ni défini ci-dessus est appelé la multiplicité galoisiennede la composanteY_i⁰. On le notera aussin(Y_i⁰),nf(Y_i⁰)oun_{Y /X}(Y_i⁰)selon le contexte.

Corollaire 2.2.13 — On suppose donné un diagramme commutatif dek-affinoïdes à carrés cartésiens Y⁰⁰ //

avec Y intègre,X,X⁰ etX⁰⁰ normaux et connexes. SoitY₀⁰⁰ une composante irréductible de Y⁰⁰. On note{Y_i⁰;i∈I0} l’ensemble des composantes irréductibles deY⁰ telles que Y₀⁰⁰⊂Y_i⁰׈X⁰X⁰⁰. On a alors l’égalité

nY /X(Y₀⁰⁰) =X

i∈I0

nY /X(Y_i⁰)nY_i⁰/X⁰(Y₀⁰⁰).

Demonstration Ceci découle immédiatement de l’unicité dans le théorème 2.2.11. c.q.f.d.

Lorsque X est lisse, les multiplicités galoisiennes coïncident avec les multiplicités de Serre (voir [Ser65]). Plus précisément, on a le résultat suivant.

Proposition 2.2.14 — On garde les notations et les hypothèses du théorème 2.2.11. On suppose de plus que le k-affinoïde X est lisse. Notons A= Γ(X,O),B = Γ(Y,O),A⁰ = Γ(X⁰,O),B⁰ = Γ(Y⁰,O)et p_i ⊂B⁰ l’idéal premier (minimal) définissantY_i⁰. On a alors la formule

(2.26) n_{Y /X}(Y_i⁰) =

∞

X

r=0

(−1)^rlg_B0 pi

Tor^A_r(A⁰, B)⊗B⁰B_p⁰

i

.

En particulier,n_{Y /X}(Y_i⁰)est un entier (strictement positif ).

Demonstration On note provisoirement n⁰_i=n⁰_{Y /X}(Y_i⁰)les nombres donnés par le membre de droite dans l’égalité (2.26). On procède en deux étapes.

Étape 1 : Le but de cette étape est de se ramener au cas oùY⁰ est irréductible. Soit t :X⁰⁰ // X⁰ un morphisme dominant dek-affinoïdes avecX⁰⁰intègre etk(X⁰)⊂k(X⁰⁰)une extension séparable mais non nécessairement algébrique (c’est la cas, par exemple, siX⁰⁰ est un ouvert affinoïde connexe deX⁰). Reprenons les notations du corollaire 2.2.13.

L’ensemble I0 est un singleton ; il correspond en effet à l’unique composante irréductible Y₀⁰ de Y⁰ dominée par le morphismeY₀⁰⁰ // Y⁰. (On utilise ici le fait que le morphismeY⁰⁰ // Y⁰ est dominant.) Le corollaire 2.2.13 fournit donc l’égalitén_{Y /X}(Y₀⁰⁰) =n_{Y /X}(Y₀⁰). Par ailleurs, il est immédiat quen⁰_{Y /X}(Y₀⁰⁰) =n⁰_{Y /X}(Y₀⁰). Il suffit donc de montrer la proposition en remplaçantX⁰parX⁰⁰. En prenant pourX⁰⁰unX⁰-affinoïde étale suffisamment fin, on peut supposer queX⁰est régulier et queY⁰est une somme disjointe de ses composantes irréductibles qui sont régulières et purement inséparables au-dessus deX⁰. On peut aussi supposer qu’il existe un carré cartésien

X⁰ //E

e

X⁰ //X tel que :

— Eest unk-affinoïde connexe eteest un morphisme étale,

— E׈_XY est une somme disjointe `

i∈IF_i telle que(F_i׈_EX⁰)_red=X_i⁰.

En utilisant une deuxième fois le corollaire 2.2.13, on se ramène à traiter le cas du carré cartésien (à nil-immersion près)

Y_i⁰ //

Fi

X⁰ //E.

On peut donc supposer queIest un singleton.

Étape 2 : Par l’étape précédente, on peut supposer queY⁰ est irréductible. Avec les notations du lemme 2.2.10, on a doncl_i=l et la multiplicité galoisienne deY⁰ est simplement

n(Y⁰) = [k(Y) :k(X)]

[k(Y⁰) :k(X⁰)].

Soit P• // B une résolution projective du A-module de type fini B. Comme l’anneau A est régulier, on peut supposer que le complexeP• est borné. La caractéristique d’Euler-Poincaré de P• ⊗_Al, avec l un corps muni d’un morphismeA // l, ne dépend que deB. En prenantl=k(A)et l=k(A⁰), on obtient les égalités suivantes

[k(Y) :k(X)] =

∞

X

r=0

(−1)^rlg_k(A0) Tor^A_r(A⁰, B)⊗B⁰B_p⁰

= [k(Y⁰) :k(X⁰)]n⁰(Y⁰)

avecple nilradical deB⁰. La proposition est démontrée. c.q.f.d.

On aura besoin de généraliser le théorème 2.2.11 à des changements de base par des morphismes d’affinoïdes définis sur des corps valués complets différents. NotonsAfnd//kla catégorie dont les objets sont les couples(X, K)avecK/k une extension de corps valués complets etX un K-affinoïde. Un morphisme (Y, L) // (X, K) est la donnée d’un morphisme isométrique d’extensionsK ,→L et d’un morphisme deL-affinoïdes Y // X⊗ˆKL. Cette catégorie est munie de la topologief h de la manière évidente ; un préfaisceau F sur Afnd//k est un faisceau f hsi la restriction deF àAfnd/K est un faisceauf hpour toute extension de corps valués completsK/k. En particulier, on dispose de morphismes traces pour les faisceauxf hde groupes abéliens.

Theoreme 2.2.15 — Supposons donné un carré cartésien dansAfnd//k (Y⁰, L)

f⁰

s⁰ //(Y, K)

f

(X⁰, L) ^s //(X, K)

avec f fini et surjectif,Y intègre, et X et X⁰ normaux et connexes. On note {Y_i⁰, i∈I} l’ensemble des composantes irréductibles deY⁰, et f_i⁰ et s⁰_i les restrictions de f⁰ ets⁰ à Y_i⁰. Il existe alors une unique famille (ni)_i∈I ∈(Z[1/p])^I telle que, pour tout faisceauf hde groupes abéliensF sur Afnd//k, on a

p^rF(s)◦Trf =X

i∈I

(p^rni)Tr_f⁰

i◦F(s⁰_i) avec r∈Nle plus petit entier tel que lesp^rn_i sont tous dansZ.

Le nombre n_i est appelé la multiplicité galoisienne de la composante Y_i⁰ et on le notera n(Y_i⁰) (ou n_{Y /X}(Y_i⁰)).

Ces multiplicités galoisiennes vérifient une formule d’associativité comme dans le corollaire 2.2.13. De plus, siX est régulier, lesn_i sont des entiers naturels qui sont donnés par la formule de Serre comme dans la proposition 2.2.14.

Demonstration La preuve du théorème 2.2.11 se transporte sans modifications au cas des faisceauxf hsurAfnd//k.

Il en est de même de la preuve du corollaire 2.2.13 et de la proposition 2.2.14. c.q.f.d.

Dans le document Motifs des variétés analytiques rigides (Page 131-138)